贝叶斯统计推断及其主要进展_王佐仁.pdf

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1、书书书第 卷第 期 统 计 与 信 息 论 坛 年 月 ，【统计理论与方法】贝叶斯统计推断及其主要进展王佐仁，杨琳（西安财经学院 统计学院，陕西 西安 ）摘要：贝叶斯统计推断作为现代统计分析方法的重要内容，对于统计学理论的发展具有里程碑的作用。深入总结其研究的主要进展，具有重要的现实意义。在查阅国内外重要学术研究资料的基础上，从贝叶斯统计推断的思想、与古典统计的研究思路比较和贝叶斯统计推断研究的主要进展三个方面作了综述与介绍，力图达到认识贝叶斯统计推断及其研究现状的目的。关键词：共轭分布；先验分布；后验分布；贝叶斯决策中图分类号：文献标志码：文章编号：（）收稿日期：；修复日期：作者简介：王佐仁

2、，男，陕西乾县人，教授，研究方向：抽样技术，统计模型及其应用；杨琳，女，山西平遥人，硕士生，研究方向：统计模型及其应用。一、引言贝叶斯统计推断方法起源于 年的一篇论文 机遇理论中一个问题的解。年，拉普拉斯把贝叶斯思想以贝叶斯定理的形式介绍给世人，从此，关于贝叶斯统计推断方法的研究成果成倍增长，直到现在，已公开发表了数千篇的学术论文和近百部著作和专业书籍。研究成果涉及到理论研究和方法应用研究，包括共轭分布族、先验分布、后验分布、统计计算、估计与检验、基于模型的推断方法、贝叶斯风险决策等，几乎所有古典统计的研究内容都有贝叶斯相应的理论与方法，包括估计与检验、广义线性模型、多层建模、缺失数据、非参数

3、统计和函数估计、顺序数据、模型推断与预测、可靠性和生存分析、序贯分析、信号处理、时间序列、实验设计、决策分析和决策论、空间统计等等。与古典统计一样，贝叶斯统计广泛应用在其它领域里，包括图方法和贝叶斯网络、图像处理、信息论、信号处理、生物科学、工程统计、地理和环境科学、信息技术、物理科学、卫生统计以及社会和经济科学等。以贝叶斯方法为基础的智能化、程式化的应用研究如火如荼，研究成果被编制成各种应用软件，成功地使用在自然科学领域和经济社会的各行各业中。国内外虽有关于贝叶斯统计的综述文献，但也是从某一方面的研究进行总结的。本文在参考这些综述文献和前人的研究成果基础上，力图阐明贝叶斯统计推断的思想及其与

4、古典统计研究思路的比较，较全面的总结贝叶斯统计推断的研究领域及其现状，达到深刻认识贝叶斯统计推断和研究现状的目的。二、关于贝叶斯统计推断思想贝叶斯统计推断方法的原创意义在于提出了主观概率或者先验分布的假设。贝叶斯定理以此假设为条件，在严密的柯尔莫哥洛夫概率公理体系下，以数学形式给出，其基本公式为：（）（）（）（）（）其中（）为先验概率，事件（）为后验概率。由基本公式派生了连续型的分布密度形式和概率空间上的概率测度表示形式，又在此形式的基础上派生出带有参数变量的其他等等形式。基本公式只是数学结论，没有任何物理含义。先验概率（）可以是主观概率，代表人们对于客观事物的认识，或者是实践经验的总结，同时

5、它也可以是客观概率，代表着客观事物的真实状况。此公式的可贵之处在于前者，主观认识的先验概率（）可能与真实状况相差甚远，但是，通过事件的发生（信息的提供）对先验概率（）进行修正，得到的后验概率（）可能会缩小与真实状况之间的差距。在基本公式的基础上，又可以通过事件的发生（信息的再次提供）对先验概率再修正。如果让（）（），又有（）（）。表示提供两次信息后的结果。这种做法可以继续下去，也有（）（）等等。这些公式说明，贝叶斯思想遵循人类认识世界的普遍规律。从人们对客观世界的主观认识（）出发，通过实践（获得信息）、认识（得到后验概率（）、再实践（又获得信息）、再认识（又得到后验概率（）的过程，达到深刻认识

6、客观事物的目的。先验概率（信息）是认识过程中的一个动态结果，具有累积效应，在确定的时空上，它可以是静态的，随着时空的演化，它可以不断地增加。这种不断的累积作为先验概率（信息）的丰富和完善，使得后验概率（分布）更接近客观实际，因而有着重要的理论与实践意义。它突破了根据大量信息进行推断的传统的统计思想，拓宽了现代统计学视野。三、贝叶斯学派与古典统计学派的研究思路比较贝叶斯理论和方法的 研究 诞 生 了贝叶 斯学派，之前的统计学奠基人费歇尔体系下的统计理论与方法研究称为古典统计学派。两者在研究方法上存在着明显的差异，集中表现在以下两个方面：一是对概率的解释不同。古典统计学派认为概率必须符合科学的要求

7、，可以用大量重复试验的频率去解释。贝叶斯学派认为可以根据对此事件的了解和积累的经验作出关于此事件发生可能性的判断，概率是认识主体对事件出现可能性大小的相信程度，不依赖于实验能否重复。二是在进行统计推断时使用的信息不同。古典统计学派依据两类信息：一类是样本信息。样本是来自于具有一定概率分布的总体，而总体中的参数是普通的未知变量，这是制定统计方法的基础。另一类是数据信息，即观察或试验的结果。费歇尔把统计学的任务概括为三个问题：选定模型、确定统计量和统计量的分布。根据费歇尔的观点，信息量包含在样本中，但样本为数众多，因此须用少数几个统计量把信息集中起来，而抽样分布则决定了统计量的全部性质。贝叶斯学派

8、引进了先验分布和先验信息（先验信息主要来源于经验和历史资料，反映了试验前对总体参数分布的认识），其理论与方法的研究基于样本信息和先验信息，贝叶斯定理中的后验分布是把先验信息和样本信息综合后得到的。同古典统计一样，贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系统地阐述和解决统计问题的方法。普遍的观点认为，一个完全的贝叶斯分析包括数据分析、概率模型的构造、先验信息和效应函数的假设以及最后的决策。由于两个学派研究方法的不同，因而产生的基础理论和方法也不同。在估计理论方面，贝叶斯学派点估计的总体分布为后验分布，而古典统计学派则不然。极大似然估计都作为最重要的估计方法被采用，但古典中的极大似然估计是贝叶斯中

9、的最大后验估计的特殊情况。在取得合理的先验信息时，贝叶斯统计可以利用更多的信息达到更好的估计效果，特别是在小样本的情况下，点估计和区间估计可以有比古典统计更加优良的结果。在假设检验方面：遵循奈曼皮尔逊的一般检验原则，古典统计根据样本信息，依据小概率事件是否发生作为假设真伪的判别标准；在贝叶斯统计中，先验信息直接影响着检验标准，检验标准是根据后验分布设定的，是先验信息的随机函数。在样本信息给定的条件下，假设真伪性的判别依赖于先验信息，也就是说，得出原假设的拒绝域依赖于先验信息，如果先验信息仅仅依赖参数，则真伪性的判别就取决于这个参数。由此可以得出，古典统计学派的统计推断是“从无到有”的过程，常常

10、在总体分布或许是一无所知，或是已知含有未知参数的总体分布族的情况下讨论，推断方法的使用效果依赖于所使用的统计量的针对性和实际问题与总体分布的相近性，在大样本情况下有较好的效果。贝叶斯统计推断则不然，它是一个“从有到有”的过程，遵循由浅入深、由表及里的认识论思想，完全符合人类认识世界普遍规律的一般方法。另外，从贝叶斯统计的研究结果看，它以不断从实践中获得知识和经验为出发点，将历史信息与样本信息结合在一起，形成一套比古典统计更加灵活、更加直观、更加易于理解的统计方法。虽然贝叶斯统计在很多方面比古典统计有明显优势，但是古典统计学派认为，贝叶斯统计仍然有许多本身存在的问题和缺陷。在理论方法的讨论上，先

11、验概率（分布）是贝叶斯方法的关键，如果先验分布已知（符合客观实际），问题已经清楚，无需用贝叶斯方法再研究；如果先验分布一无所知，先验分布的假定就纯粹是主观上的认识，其价值值得斟酌；如果先验分布的部分信息已知，符合这种部分信息的分布将是一个分布族，当这些部分信息不是样本信息时，依据后验分布进行的推断是否能保证其科学性。陈希孺院士也说，关于统计基础的问题，很难用几句话做出确切的表述，大体上可以说，它包括以下两个方面，一是在进行统计推断（及判决）时，应该和不应统计与信息论坛该使用那些知识或信息（如样本、损失、先验分布等），二是应该以怎样的方式去使用这些知识和信息。对于这些问题，贝叶斯学派的解释是，对

12、于研究的同一问题，我们获取样本信息都相同的情况下，几乎没有什么统计分析能够保证是客观的，或者是近似客观的，只有知道全部数据的概率结构时，才会得到明显的客观性，就在此时，贝叶斯统计也得出同样的结论。无疑，贝叶斯学派强调自己拓宽了研究视野，使得古典学派的研究成为自己研究的一部分。更多的是，以模型作为特性的描述对结论会产生重要的影响。实际上，在许多研究问题中，模型的选择对结论产生的影响比先验分布的选择要大得多。古典学派主张只使用样本信息，而且任何优良性的评价都必须在频率概率（即大量次数重复）的体系下，而贝叶斯学派则主张除样本信息外还必须考虑可以是纯主观的先验分布，并依据贝叶斯原则。四、贝叶斯统计研究

13、的主要进展贝叶斯统计推断方法的研究建立在数学理论的基础上。理论研究上，变量的取值从欧氏空间、度量空间、拓扑空间到更广义的仿射空间，概率空间的概率测度选择也突破了勒贝格测度的局限。方法研究上，紧密结合现代信息技术，也尽可能的选择古典统计的方法体系。（一）共轭先验分布族的研究关于贝叶斯理论的先验分布和后验分布的概率结构是长期探讨的问题，符合柯尔莫哥洛夫概率公理体系的共轭分布族还在不断地分类中。在分布族的密度函数首先规定了似然核结构的概念基础上，以勒贝格测度定义了自然共轭分布族，即具有似然核结构的分布族称为自然共轭分布族（和 的定义），一些学者（如 和 的定义）使用标准共轭分布族，这一类分布族的主要

14、特征之一是抽样的封闭性。从这个意义上说，标准共轭分布族中的先验分布通过贝叶斯理论的修正，可以得到仍属于该族的后验分布。在此定义下，对于熟知的分布已经有明确的结论，如对正态分布（，）而言，当已知，未知时，的共轭分布族为逆伽玛分布；当，未知时，参数的共轭分布族为正态 逆伽玛分布；均值向量已知，协方差阵的逆未知时，协方差阵的逆的共轭分布族为逆维希特分布；均值向量、协方差阵的逆均未知时，参数的共轭分布族为正态 逆维希特分布。然而，抽样的封闭性并不是标准共轭族的充分条件，因为对任何密度函数，就某种测度（尤其是勒贝格测度）而言，具有似然结构（未必是似然核结构）的分布族都会在抽样中是封闭的。尽管如此，抽样中

15、的封闭性常被视为定义共轭族的条件。和 提出先验分布族带来的额外性质常被称为共轭，一个特殊但很重要的情况是指数族似然，他们发现关于正则参数的标准共轭族可以用均值参数的后验期望的线性性质来描述。这一结果促使一些学者再定义共轭，和 称任何先验分布族且服从于后验线性性质的族为 共轭。然而，如 指出的，尽管这种共轭定义说明了共轭族的性质，但对于一些指数族的似然性，共轭族并不符合在实际使用中代表性的共轭族，如，考虑方差协方差矩阵已知的多元正态分布的均值的标准共轭分布族。这是由多元正态分布密度以方差协方差矩阵给出的，它与成比例，这类典型的常用共轭族适用于任意方差协方差矩阵。而且，对于一些指数族，例如均值和方

16、差未知的正态族，这一类能够被称为共轭，但不能给出均值参数的后验线性。实际使用的共轭族实质上是标准共轭族的扩展。除了在抽样中封闭，共轭族常提供了先验分布，在至少两方面是易求的：一是对于许多指数族似然，常数随机变量的共轭密度已发现；二是简单描述一些重要的关于任何共轭族分布的函数的期望的构成 成 为 可 能。正 如 和 、和 指出，指数族参数的任何基本形式的先验置信可以任意地由共轭先验的组合表示 。由于混合的共轭先验在抽样中是闭集，这一渐近使得在保持易求解的前提下，先验置信的导出更加灵活。尽管数学合理，但在现实应用中似乎不够充分代表先验可信，例如在指数族似然的情况下，通常的共轭族是由单峰密度组成。和

17、 引入的先验共轭族受到统计研究资料的关注。如 、和 定义了指数族似然的共轭指数族先验的分类；定义了先验分布的分类是由权威参数的后验期望的形式所决定；和 依据均值参数的后验线性性质定义共轭族，并讨论了位置参数族的共轭先验，为此做了卓有成效的工作。直至现在，普遍的观点认为，共轭族定义应当是关于抽样是封闭的。由于在此定义下，共轭族相对于给定的抽样过程并不是唯一的，本质上是随机的，需要选择一个合适的共轭族作为先验类。和 针对指数分布族，通过研究标准共轭族（其密度有类似于一致似然函数的形式的核）和 共轭族（具有标准共轭族诱导出的正则王佐仁，杨琳：贝叶斯统计推断及其主要进展参数）的区别与联系，在引出共轭参

18、数化的概念基础上，对 共轭族进一步延伸，提出了“丰富的共轭族”。他们给各种指数族可能的共轭族理论提供一种一致渐近。这个理论的一个重要方面是关于被考虑的指数族重新参数化，同样可使先验置信的诱导更加灵活，同时具备标准共轭族的大部分性质。（二）先验分布选择方法研究先验分布的选择是贝叶斯统计推断的前提，大体上分为无信息先验分布和共轭先验分布两大类。尽管贝叶斯理论建立在先验信息的基础上，但确实存在没有先验信息的情况，无信息先验分布是在此情况下提出的概念。根据贝叶斯假设，无信息先验分布常常被选为均匀分布。寻找无信息先验分布始于 的思想和方法 。认为逻辑判断是客观的，它的对错在于其自身，而不是主观的判断。尽

19、管最初的知识或者初始阶段收集到的数据对于作出推断很重要，当没有理由确认一个假设或一些事件发生比另一些的可能性大时，它们就是等可能的。如果我们想要不等同的看待不同的先验概率，就必须在数据之前阐述其可信度，必须使用确定的原因来阐述。他引入尺度参数和位置参数的概念，当总体分布、参数空间和样本分布都有相同的统计结构时，则认为它们应该有相同的无信息先验分布。了解位置参数和尺度参数在总体分布中的地位，根据参数的地位选择适当的变换，使在此变换下其结构保持不变，由此得到先验分布。更一般的，用费歇尔信息阵的平方根作为先验，他认为先验是按方便的方式选择的，而不是一个独一无二的未知的代表。无信息先验分布一般应满足不

20、变性、边缘分布的相合性、普遍性和容许性，在这样的性质下，理论和方法的数学推导可以顺利进行。多层先验是先验分布选择中的又一方法。由先验和超先验构成的新先验称为多层先验，其优点在于第一步的先验给出是有困难的，常常采用无信息先验作为超先验，这样导致错误结果的风险会小一些。当同时具有未知参数的结构和主观的先验信息，则可按步骤分阶段建立模型。首先，由先验信息确定出未知参数的结构，即导出先验类；其次，在这个先验类上根据一定标准选择先验分布。通过 先 验 信 息 选 择 先 验 分 布 已 有 一 些 方法 。一是当历史数据或者经验足够多时，可以采用直方图法，用频率分布代替先验分布。二是当先验分布的函数族选

21、定后，先验分布含有参数（称为超参数），可以通过历史数据估计数字特征的方法（如矩方法）确定参数，还可以通过估计多阶段分位数的方法确定超参数。三是定分度和变分度法。可以把超参数的值域分成若干个区间，在每个区间上由专业人士给出主观概率；变分度法是把超参数的值域分成两个概率相等的区间，分点由专业人士确定。四是边际分布密度法。充分利用共轭分布族，根据边际分布也是共轭族的成员建立标准，以确定先验分布类型。还有通过似然原理和混合边际分布密度确定超参数的方法等等。这些主观确定参数的方法和古典统计的某些方法（像总体未知情况得到的某些方法）一样，是建立在有一定理由的基础上，得到的统计结论到底可靠性如何，在小样本情

22、况下没有清晰的评价方法，但在极限条件下的大样本情况下，有较丰富的科学研究成果。主观先验的确定方法取得了长足的进展。对于研究的实际问题，在基本假设前提下，常常建立适应范围广泛的默认模型，结合实际问题设计获取先验信息的调查方案，使用形式多样的定性和定量调查、定性判断与定量分析相结合方法获取先验信息。以这种方法获取的先验信息，主观因素占有很大份额，是否符合客观实际，难以在数理逻辑推理中得到科学的评判结论，只能应用实证检验和估计方法以诊断概率模型拟合的效果，最终由是否解决实际问题才能给予确切回答。先验分布选取具有许多特别的形式，包括选择不完全确定的先验分布；选择先验分布对似然函数的范围进行“扩展”，对

23、参数不断进行调整，从而选择合适的先验分布使得结论比较完美。伴随着随机模拟技术方法的发展，这种方法已经被证明是一种非常有效的方法。对这种分析方法的评判，不必要按照贝叶斯的标准去衡量，而应使用其他外在的标准去判别（例如敏感性、模拟精度或应用效果等）。（三）后验分布及其推断方法研究后验分布是贝叶斯统计推断的出发点与关键所在。共轭分布族中后验分布的确定由简单用似然核进行恢复的方法而获得，少数常见分布的后验分布也已经有成熟的方法。对于一般参数先验分布而言，其后验分布的确定相当复杂，很难纳入目前已知的统计分布类别之中，因此后验分布的研究占有重要位置。由于似然核的复杂性，难点是积分计算，因而应用计算机技术研

24、究算法和后验分布的近似计算方法问题成为热点领域。贝叶斯模型比较是行之有效的方法之一。贝叶斯模型比较是通过计算模型自身的后验概率去简单实现的。然而，当各种模型的参数的先验信息很弱时，这个方法是有困难的。局部贝叶斯因子提供了统计与信息论坛解决这一问题的方法，它是通过留出一部分数据作为训练样本，根据训练样本接收每个模型中参数最初的有益后验分布的信息，以从剩余数据中计算出的贝叶斯因子为依据而实现模型比较的。在弱先验信息条件下，局部贝叶斯因子变换在一致性、简易性、稳健性和连贯性的基础上，给出的模型比较方法比其他方法具有一定优势。以模型形式表现的贝叶斯统计推断模型常常伴随着随机模拟抽样技术而得以实现。吉布

25、斯抽样（）迭代方法、连续蒙特卡洛（）方法，特别是马尔可夫链蒙特卡洛技术（）起到了关键作用 。线性回归模型视为在潜在的连续数据中有标准的回归结构。未知的潜在数据可以从适当的截尾标准分布中模拟而得到。从后验分布中能通过 抽样迭代方法抽取新的潜在数据，这样的数据扩增方法提供了分析有序和无序两类多元回归模型的普遍框架。流行于解决连续性贝叶斯模型问 题，特点 是从 概率 分布序 列 中 进行 模拟。技术比 抽样迭代方法和 方法的应用更为广泛，这种带有马尔可夫性的遗传算法几乎适用于所有的贝叶斯模型。在过去的十多年中，技术的诞生使统计学取得突飞猛进的发展，它的应用戏剧般地重塑了统计学家的工作方式，构建了以随

26、机模拟技术为手段的统计研究模式的改革，长期被认为是难以处理的模型，如今已经可以定量研究。研究成果表明，这种以随机模拟技术为工具解决模型的研究问题是越来越流行的研究方法。非参数贝叶斯模型的许多开创性的研究成果是由 （）、（）、和 （）等完成的，尽管直到 世纪 年代后期应用还是很局限，但在先进的计算技术促进下，过去的二十年见证了非参数先验模型研究的剧增。狄利克雷过程混合模型（）是这类文献的一个重要组成部分。单变量 应用在流行病学、基因学、医药学和金融学等领域。在微观经济文献中，单变量 已经在一些研究中得到使用，（）估计了一个贝叶斯随机效应含非参数化特殊冲击的自回归模型；（）等在对工具变量问题中误差

27、项的联合分布建模时使用了，提高了当误差是非正态时的效率。和 （）在有处理性和结果性且不含分布假设的个人随机效应的连续结果平面数据模型中，分析了二进制处理变量的效果。和 （）使用在 先验下无非参数随机效应的平面数据估计了卫生保健的需求。随着计算技术的发展，密切结合计算技术的非参数贝叶斯模型的应用将在广泛领域伴随始终，也将针对不同领域产生出特有的模型和计算技术。（四）贝叶斯决策及其应用统计决策理论是著名统计学家 在 世纪 年代建立起来的，它与古典统计学的差别在于是否涉及后果。古典统计学的统计决策理论重点在统计推断上，它是引入了作为度量效益大小和评价统计推断结果优劣标准的损失函数后，以样本信息为依据

28、给出的统计推断方法。世纪后半叶，贝叶斯分析被引入统计决策当中，它强调的是先验信息要与样本信息结合。在统计决策的三个要素中，损失函数既占有重要地位，同时又是统计决策理论的难点问题。现有的统计决策问题的损失函数构造的理论基础是样本数目趋于无穷大时的渐近理论，但在实际问题中，样本数目往往是有限的，因此一些理论上很优秀的决策方法在实际中却表现得不尽人意。鉴于此，等人从 世纪 年代开始就致力于有限样本统计理论的研究，并将其理论称为统计学习理论（）。世纪 年代中期，该理论开始受到越来越广泛的重视。中国早在 世纪 年代就有学者注意到统计学习理论的基础成果，现在越来越多的学者认识到这个重要的研究方向。分门别类

29、研究损失函数是解决决策的关键，也是使用决策理论时的一个难点。应用贝叶斯决策方法，与决策效果联合起来一并考虑损失函数的选用被一些学者们所关注，以实际应用效果为目的的研究成果也受到人们的追捧。值得指出的是，这种在没有科学理论作指导的条件下，给出再好的实践效果也必须质疑。贝叶斯决策理论作为重要的统计分析方法被广泛引用到模式和模式识别问题的研究中。模式和模式识别是人类的一项基本智能，它是利用统计学、概率论、计算几何、机器学习、信号处理以及算法的设计等工具，以可感知的数据为基础进行推理的多学科交叉的研究方向。模式识别主要有两种基本的方法，即统计模式识别方法和结构（句法）模式识别方法，与此对应的模式识别系

30、统都由两个过程所组成，即设计和实现。此外，还有其他诸如模板匹配的方法和神经网络方法等。贝叶斯决策理论方法是统计模式识别中的一个基本方法，这种方法在对数据进行概率分析的基础上生成分类器，再应用生成的分类器对新数据依据概率方法进行分类。贝叶斯决策规则作为分类器的设计原理被广泛使用，例如，基于最小错误率的贝叶斯决策、基于最小风王佐仁，杨琳：贝叶斯统计推断及其主要进展险的贝叶斯决策、在限定一类错误率条件下使另一类错误率为最小的两类别决策、最小最大决策、基于最小错误率的贝叶斯决策和基于最小风险的贝叶斯决策规则等。这些决策规则和古典统计决策一样，都存在着所采取行动的可信度不高的缺陷。模式识别发展至今，人们

31、的普遍观点是，不存在对所有模式识别问题都适用的唯一模型和解决识别问题的单一技术。我们拥有的只是一个工具箱，在与统计学、心理学、语言学、计算机科学、生物学、控制论、人工智能、图像处理等都有交叉关系的模式和模式识别的问题研究中，贝叶斯决策理论方法研究只有和这些学科结合起来，以所采取行动的效果为目的，寻求多学科的理论依据，研究识别问题的新方法和新技术，以便开拓出新的应用研究领域。参考文献：，（）刘乐平，袁卫现代贝叶斯分析与现代统计推断经济理论与经济管理，（）朱慧明 现代贝叶斯统计理论的基本观点与研究现状 江苏统计，（）谢俊贝叶斯统计方法与传统统计方法的比较分析与展望中国商界，（），：，（），（），（），：，：，（）：，（），（），（），（）：，（），（），（）：，：，王飞，李定主 模式识别中贝叶斯决策理论的研究 科技情报开发与经济，（），（，）：，：，：；（责任编辑：杜一哲）统计与信息论坛