2002-数三真题、标准答案及解析.pdf

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1、 -1-2002 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一、填空题一、填空题（1）设常数1,2a 则 21limln(12)nnnnana+=.【答答】11 2a【详解详解】因为21lim(1 2)nnnnana+=11(1 2)1 21 21lim1(12)naaanena+=?所以 11 2211limlnln(12)12nannnaenaa+=（2）交换积分次序：()()111422104,yyydyf x y dxdyf x y dx+=_.【答答】()2120,xxdxf x y dy【详解详解】积分区域12,DD

2、D=+其中()11,|0,4Dx yyyxy=()2111,|,422Dx yyyx=于是 D 也可以表示为()21,|0,.2Dx yxxyx=故()()()2111142221004,.yxyyxdyf x y dxdyf x y dxdxf x y dy+=-2-（3）设三阶矩阵122212304=A,三维向量(),1,1.Ta=已知与 线性相关，a_【答答】-1【详解详解】由题设，存在 k，使得k=，即 12221213041ak =即22,212,34,akaakak+=+=+=可得1,1.ak=故所求 a 为1.（4）设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 P Y X 1 0 1

3、 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 则2X和2Y的斜方差()22cos,XY=_【答答】0.02【详解详解】由题设，有 X 0 1 P 0.4 0.6 -3-X 1 0 1 P 0.15 0.5 0.35 且 2X 0 1 P 0.4 0.6 2Y 0 1 P 0.5 0.5 22X Y 0 1 P 0.72 0.28 从而()()()22220.28,0.69,0.5,E X YE XE Y=故()()()()222222cos,0.280.30.02.XYE XYE XY=（5）设总体X的概率密度为()(),;0,xexf xx=若若而12,nXXXL是来

4、自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为_【答答】111niiXn=-4-【详解详解】因为()()01,xE Xxedx+=+所以，由()11,niiE XXXn=即111,niiXn=+=得参数的矩估计量为$111.niiXn=二、选择题二、选择题（1）设函数()f x在闭区间,a b上有定义,在开区间(,)a b上可导,则(A)当()()0f a f b 时仅有零解.（B）当时nm必有非零解.（C）当时mn仅有零解 （D）当时mn必有非零解【答答】D【详解详解】AB为mm矩阵，当mn时，有()()rrnmABA对应()0=AB x 有非零解，故应选 D.（4）设A是 n 阶实对称矩阵

5、，P是 n 阶可逆矩阵.已知 n 维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵()1TP AP属于特征值的特征向量是()()()()()11 TTABCDPPPP【答答】B【详解详解】由已知,A=于是()1,TTTTT=P APP A PP 又由于T=AA,有()1,TTT=P APPP可见矩阵()1TP AP属于特征值的特征向量是TP.（5）设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则（A）X+Y 都服从正态分布 （B）22XY+都服从2分布.（C）2X和2Y都服从2分布.（D）22XY服从F分布.【答答】C【详解详解】由于 X、Y 不一定相互独立,故（A）、（B）、(D)不一定成立，只有（

6、C）为正确选项.三三、（本题满分 8 分）求极限2000arctan(1)lim(1 cos)xuxt dt duxx+【详解详解 1】-6-200000arctan(1)arctan(1)limlim(1 cos)1 cossinxuxxxt dt dut dtxxxxx+=+220002 arctan(1)1lim2limarctan(1)lim2sinsinsincoscosxxxxxxxxxxxxx+=+124 36=?【详解详解 1】220000300arctan(1)arctan(1)lim2lim(1 cos)xuxuxxt dt dut dt duxxx+=220200arct

7、an(1)2arctan(1)2lim2lim36xxxt dtxxx+=2.3 46=?四四、（本题满分 8 分）设函数(,)uf x y z=有连续偏导数,且(,)zz x y=由方程xyzxeyeze=所确定,求du【详解详解 1】设(,),xyzF x y zxeyeze=则 (1),(1),(1).xyzxyzFxe FyeFze=+=+=+故 11,11yx zy zxzzFFzxzyeexFzyFz+=+，而 1,1x zxzxzuzxffffeyxz+=+=+1,1y zyzyzuzyffffeyyz+=+=+所以 -7-11()().11x zy zxzyzuuxydudxd

8、yffedxffedyxyzz+=+=+【详解详解 2】在xxzxeyeze=两边微分,得 ,xxyyzze dxxe dxe dyye dye dzze dz+=+故 (1)(1).(1)xyzx e dxy e dydzz e+=+由(,),uf x y z=得 ,xyzduf dxf dyf dz=+故 11()().11x zy zxzyzxyduffedx ffedyzz+=+五五、（本题满分 8 分）设2(sin),sinxfxx=求()1xf x dxx【详解详解】令2sin,ux=，则有 arcsinsin,arcsin,(),xxu xu f xx=.于是 arcsin()1

9、1xxf x dxdxxx=arcsin(1)2 arcsin11xdxxdxx=12 1arcsin211xxxdxx=+2 1arcsin2.xxxC=+六六、设1D是由抛物线22yx=和,2xa x=及0y=所围成的平面区域；2D是由抛物线22yx=和直线0,yxa=所围成的平面区域，其中02.a -8-（1）试求1D绕 x 轴旋转而成的旋转体体积1;V2D绕 y 轴旋转而成的旋转体体积2;V（2）问当a为何值时，12VV+取得最大值？试求此最大值.【详解详解】（1）()()222514232;5Vxdxa=22224442022.2ayVaadyaaa=（2）设()5412432.5V

10、VVaa=+=+由()3410.Vaa=得区间()0,2内的惟一驻点1.a=当01a当1a 时，0V。因此1.a=是极大值点即是最大值点 此时12VV+取得最大值，等于1295.七七、（1）验证函数()()()369313!6!9!3!nxxxxy xxn=+LL满足微分方程;xyyye+=（2）利用（1）的结果求幂级数()303!nnxn=的和函数.【详解详解】（1）因为 -9-()()36931,3!6!9!3!nxxxxy xn=+LL()()36931,2!5!8!31!nxxxxyxn=+LL()()47324!7!32!nxxxyxxn=+LL 所以.xyyye+=（2）与xyyy

11、e+=相应的齐次微分方程为0,yyy+=其特征方程为210,+=特征根为1,213.22i=因此齐次微分方程的通解为 21233cossin.22YeCxCx=+设非齐次方程的特解为xyAe=将y代入方程xyyye+=，得13A=，于是 13xye=方程的通解为 212331cossin.223xyYyeCxCxe=+=+当0 x=时，有()()112101313100223yCyCC=+=+得122,0.3CC=于是幂级数数()303!nnxn=的和函数的和函数为()()2231cos,.323xxy xexex=+利用闭区间上连续函数得性质,证明存在一点,a b使 ()()()().bba

12、af x g x dxfg x dx=【详解详解】因为(),(),f x g xa b在上连续,且()0,g x,由最值定理,知()f x在,a b上有最大值M和最小值m,即 (),mf xM 故 ()()()().mg xf x g xMg x ()()()(),bbbaaamg x dxf x g x dxMg x dx ()()()babaf x g x dxmMg x dx.由介值定理知,存在,a b使 ()()()()babaf x g x dxfg x dx=,即()()()().bbaaf x g x dxfg x dx=九九、设齐次线性方程组 1231231230,0,0,nn

13、naxbxbxbxbxaxbxbxbxbxbxax+=+=+=LLLLLL 其中0,0,2.abn试讨论,a b为何值时方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.【详解详解】方程组的系数行列式()()11.nabbbbabbAanbabbbabbbba=+LLLMMMML -11-当(),1aban b且时，方程组仅有零解.（2）当ab=时，对系数矩阵 A 作初等变换，有 11110000.0000abbbbabbAbbabbbba=LLLLLMMMMMMMMLL 原方程组的通解方程组为 120,nxxx+=L 其基础解系为()()()1211,1,0

14、,1,1,0,1,1,1,0,0,1.TTT=LLLL 方程组的全部解是()112212,nnncccc cc=+KK为任意常数x（3）当()1an=对系数矩阵A作初等变换，有()()()()1111 n bbbbbn bbbAbbn bbbbbn b=LLLMMMML()()()12000111100011110001111 000111111111nnnnnnnnnnnnn KLLLLLMMMMMMMMMLLL 34100011000101001010010010100101 00011000111111100000n KKLLLLMMMMMMMMMMLLLL 原方程组的通解方程组为 -1

15、2-121,nnnnxxxxxx=LL 其基础解系为()1,1,1T=L 方程组的全部特解是 xc=（c 为任意常数）.十十、设A为三阶实对称矩阵，且满足22+AA=O已知A的秩为()2.r=A（1）求A的全部特征值；（2）当k为何值时，矩阵kA+E为正定矩阵，其中E诶三阶单位矩阵.【详解详解 1】（1）设为A的一个特征值，对应的特征系向量为，则()0=A 22=A.于是()()222+=+AA 由条件22+AA=O推知()220+=又由于0，故有220+=，因为实对称矩阵A必可以对角化,且()2.r=A所以 220=AA 因此，矩阵A的全部特征值为 1232,0.=（2）矩阵kA+E仍为实对

16、称矩阵，由（1）知，kA+E的全部特征值为 2,2,.kk k+于是，当2k时，矩阵kA+E的全部特征值大于令，因此，矩阵kA+E为正定矩阵.【详解详解 2】同详解 1.（2）实对称矩阵必定可以对角化，故存在可逆矩阵P,使得 -13-1-1P AP=A,A=P P 于是()-1-1-1,kkk+A+E=P PP P=P+E P 所以kkA+E A+E 而 22,2kkkk=+E k+E为正定矩阵，只需其顺序主子式均大于令，即k需满足()()2220,20,20.kkkk 因此，当2k时，矩阵kA+E为正定矩阵.十一十一、设随机变量U在区间2,2上服从均匀分布，随机变量 1,1,1,1,1,1,

17、1,1.UUXYUU=若若若若 试：求（1）X 和 Y 的联合密度分布；（2）().D XY+【详解详解】(1)随机变量(),X Y有四个可能值：()()()()1,1,1,1,1,1,1,1.11,11,1,4P XYP UU=1,11,10,P XYP UU=11,11,1,2P XYP UU=11,11,14P XYP UU=于是，得 X 和 Y 的联合概率分布为()()()()()1,11,11,11,1,.1110424X Y （2）XY+和()2XY+）的概率分布相应为 -14-()220004,1111142422XYXY+由此可见()220;44E XY+=+=()()22.D XYE XY+=+=十二、十二、（本题满分 13 分）假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布,平均无故障工作的时间()EX为5小时.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数()F y.【详解详解】设X的分布参数为.由于1()5,E X=可见1.5=显然min,2.YX=对于0,()0;yF y=对于2,()1.yF y=设02,y有 5()min,21yF yP YyPXyP Xye=于是,Y的分布函数为 50,0,()1,02,1,2.yyF yeyy=