用直线的参数方程求弦长.pdf

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1、32.北)到(一c o,c o)上的一 一映射。最后有两点补充说明:1.以上建立 的一一映射显然不是 唯 一的,本文只是提供了一种有章可循的方法;2.在学完三角函 数和反 三角函数后,=ytgx和y=ar c七gx分别提供了一种从一晋,晋)到(一,c o)上 和从(一c o,c o)中等数学到(一晋,香)上 的一映射。这样就不再需要通过半无穷区间过渡来求整无穷区间和有穷区间相互间的一 一映射了。(作 者单位:天津市燎原 中学)用直线的参 数,方 程求 弦 长黄人杰胡深已知 直线 的参数方程x=x。+at,y=y。+b t和 二由 此,次 曲线ax名+bxy+ey艺+dx+ey+f=o当 直 线

2、 和二次曲线相交时,如何计算弦的长度,这 是解 析 几何中一个常见 的问题。本文试图给 出应 用直 线的参数方程求弦长的一 般万法。设过 点P(x。,y。)的直线L:It,=士训aZ+bZ乞,lt:=士了aZ+bZt:.11/,x=x。+at,y=yo+b 七和 二 次 曲 线ax+bxy+工Li一2一一XeyZ+dx+ey+f=o相交于A、B两 点(如图)。故AB=七:一tl=l士侧a“+bZt:一(士侧a“+bZ七,)I=训aZ+b“t:一t:1.而!七:一七,可由将直线的参数方程代人二次曲线方程得到关于t的一元二次 方 程后通过韦达定 理求得,最后就可以求弦长。以下举例说 明。令PA=七

3、:,口口口口了例1.求直线!与 圆xZ+yZy二3+七PB=t:,IIt:,t:分别表示A、B两点 到P点的有向距离。二5相交的弦长._.耳、二工七一,一一解料“代人圆万“得y二3+t(音,2“一3+,=5整 理得5七:+24七+1 6=。.=了(t:+七:):一4trt:4X1 6_5165!一2 4一5由直线参数方程的含 义易知,A点的坐标为(x。+a七,y.+bt:),B点 的坐标为(x。+a七:,y。+bt:),a七:,b七:,a七2,b 七:分别表示有向线 段PC、CA、P D、D B的长度,亦即A、B两点的坐 标对P点的坐标的改变量。在RtACP和RtBDP中,由勾股定理得PC艺+

4、CA:=PA,P D忿+DBZ=PBZ,t:一七:八1。a=一,艺b=1,弦长d=!t:一t:订aZ+bZ即(at:):+(b 七:)2七:(at:)名+(b 七:)一t:一誉丫:(合):旦侧51984年第五数例2。丝+里164求直线(x二一3十t,与椭 圆y二一3十2七故弦长“=号 了,一护.=1相交所得的弦长。例4.试求直线fx=一3+“认与椭圆、y=3t解将y=一3+t,代人椭圆方程一3+Zt2 X2+4 xy+5y艺一4 X一2 2y十7=0相交所得的弦长。x名+4y急=16得17tZ一5 4t+29=0解直将方程线x=一3+Zt,代人y=3七It:一t:=亿(t:+t:)名一4t:t

5、:=丫帝椭 圆方程得7 7t2一1 3 4七+37=04X29_174/声 五行v”t:一t,.a二lb=2,:.亿a:+b,=了5.弦长d“:一!亿二不石诬二鑫训骊一丫碑翔叮二黔二丫 黯一粼而了4 10训22+3名X2+合。,y=,+宁故弦长“=瑞与抛物线4,言不二;=一二不厂、/O JOU.丫丫初学参数方程的同学容易混淆直线参数.rl二|线直求,O例y名=4x相交所得的弦长。方程的两种形式x=xo+e osot,(夕为常数)y二y。+5ino七(前者是后者的特例),工卜工La权U七+OnXy一一一一Xy了,、气二1一2干_代人抛物线方斌3、1十一蕊,一石浴一一一一Xy将解程y里=4x得鱼t,-4(2一侧3)t一7=0.t:一t:=切(tx+t:)名一4tzt:8/.,丁.二一I一丫石。3丫因而在求直线和 圆锥曲线相 交后 的 弦长时,往往产生错误。本文所介绍的方法能把各种情况加以统一(包括直线参数方程的两种 形式,定点P和 圆锥曲线的各种相对位置,以及圆锥曲线的不同形状等),使同学在解题过程中有所遵循,从而可以避 免混淆,减少错误,简化解题过 程。由于本题中a十bZ=1(作 者单位:江苏省无锡县天一中学)