高中数学选修课程4-4中“参数方程”的内容分析及教学建议.pdf

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1、盖【与 敦 学 同 行 2 0 07年第8 期(高中)江苏省睢宁县教育局教研室 魏本义 普通 高中数学课程标 准(实验)(以下简称新 课标)选修系列 4 4“参数方程”，它 相对 于原 全 日 制普通高级 中学数学教学大纲 是新增 内容 这部分 知识是在学生完成必修 系列课 程学习的基础上，为 希望在理工、经济等方面发展的学生设置的，因此教 师在实施教学的过程 中应首先 学好新 课标，其 次对 课程 内容、教学 目标 要求、教学 内容 的处理等方 面，要有一个清晰的认识 本文 主要对“参数方程”这部 分内容谈一些个人的认识与理解、设想与建议，以供 大 家参考 1 关注新课标要求，领悟新教材编者

2、的意图 1 1 新课标对参数方程 内容的定位“参数方程”相对于普通方程，它是曲线的另一种 表示形式，它弥补 了普通方程表示曲线方程的不 足，为研究一类复杂的曲线(如摆线、心脏线等)，提供 了 有力的工具，同时它还是“形”与“数”的又一次完美而 有机的结合 通过对参数方程的学习，使学生掌握参数方程 的 基本概念，了解曲线方程的多种表现形式，体会从实 际问题 中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题 的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高 应用意识和实践能力 1 2 新课标对参数方程的要求】(1)通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的 关系，写 出抛 物运动 轨迹 的参 数方程，体会 参数

3、 的 意义(2)分 析直线、圆和 圆锥 曲线 的几何 性 质，选 择 适 当的参数，写出它们的参数方程 (3)举例说明某些曲线用参数方程表示 比用普通 方程表示更方便，感受参数方程的优越性 (4)借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚 动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直 线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生 成过程，并能推导出它们的参数方程(5)通过阅读材料，了解其他摆线(变 幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了 解摆线在实际 中应用的实例(例如，最速降线是平摆 线，椭圆是特殊 的内摆线卡丹转 盘，圆摆线齿轮 与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机

4、械装置 的摆线原 理与设计，星形线与公共汽车门)；了解摆线在刻画行 星运动轨道中的作用 完成一个学习总结报告 报告应包括三方面的内 容：(1)知识 的总结 对本专题 整体结构 和内容的理 解，进一步认识数形结合思想，思考本专题与高 中其 他 内容之间的联 系(2)拓展 通过查阅资料、调查研 究、访问求教、独立思考，进一步探讨参数方程、摆线 的应用(3)学习本专题 的感受、体会 1 3 体会新教材编者的用意 笔者近期研读 了在新课标要求下的几个版本 的 教材，受益匪浅 新教材是编者们聪明智慧的结晶，也 是他们从教多年积累经验的升华，更是集百家之长，精雕细琢的精品 1 3 1 编写过程 中突 出解

5、析 几何研 究 问题的一般 方 法 几 何 问题 坐 标 法 翟 羹 集 质、位 置 关 系 r 1 3 2 内容 组 织的主要 形 式 代数问题 的解 由此可以看 出编者 的意 图是：通过创设情境，从 具 体实例 出发，展开数 学知 识 的发 生、发 展过 程，使 学 生能从 中发现 问题、提 出问题，经历数学的发 现和创 造过程，了解知识 的来龙去脉，同时还鼓 励学生 自主 探索，并在独立思考、探索和交流的过程中，获得对数 学较为全面的体验和理解 2 教学建议及案例赏析 参数方程是以“参数”作为中介来表示 曲线的方 程，具有一定的抽象性 刚开始学生不易接受，因此在 教学过程 中，教师要通过

6、创设丰富的问题情境来组织 维普资讯 http:/ 学生活动，从而达到建构数学概念和渗透数学思想 的 目的 2 1 师生共同学习“引言”2 几何学主要是研究空 间图形 的形状、大小和位置 关系，解析几何是将坐标方法引进几何 图形 的研究，把“形”和“数”有机地结合起来，使几何学的研究变得 更加精确、深刻，开创 了几何学研究的新篇章 我们 曾 经运用坐标方法成功地研究 了椭 圆、双曲线及抛物线 等二次曲线 的性质，然而，客观世界 中丰 富多彩 的曲 线仍然令我们 目不暇接 凸轮、齿轮等机械零件，由于它们 的轮廓线采用 了不 同类 型的曲线，在传动 自动化方 面具 有不 同的 功能 美丽的四叶玫瑰线

7、、外摆线又把我们带进一 个美妙的曲线世界 怎样拓展坐标系，运用多种代数形式刻画客观世 界中丰富多彩的几何 图形呢?阅读这散文诗一样的“引言”，着实让人情不 自禁 地进入到数学大世界中 2 2 注重引导学生参与 学生是学习的主体 数学知识 的建构以及数学方 法的理解和运用，必须通过学生 的努力才能实现 新 课标要求“让学生经历知识的产生、发展过程”，因此 在“参数”等概念的引入上，尽可能地让学生对这部分 知识的形 成过程进行探讨，体验引入“参 数”的必要 性、实用性，千万不要采用“填鸭式”的教学方法 案例 1 参数方程新课导人片断(选 自特级教师 陈光立 2 0 0 6 年 l 2月 8日在睢宁

8、所上的一节公开课)教师：现在我们这样建立平面直角坐标系：每一 位同学对应着第一象限的一个格点，第一排 同学的纵 坐标是 1，第一列同学的横坐标是 1，相邻两个同学 的 间距是一个单位 下面我喊你们的坐标来提 问 首先，请(1，2)同学回答你对应 的点到原点的距离是多少?学生 教师：请(3，3)同学计算经过你和第一位 同学对 应 点 的直线 的斜 率 1 学生(3 。)：斜率 k 一 教师：(5，4)同学，你对应的点在刚才两点所确定 的直线上吗，为什么?学生)：在!因为刚才两点确定的直线 l：一2 q-3 0经过 点(5，4)教师：完全正确!下面大家猜猜看我该提问谁?(学生先 茫然，后议 论纷纷

9、)教师：回想一下，我第 1次喊 的是(1，2)，第 2次 喊的是(3，3)，第 3次喊 的是(5，4)，那么第 4次该轮 到谁呢?如果猜出来了，大家都 向她瞧!(逐渐地，有学生把 目光投 向(7，5)同学，接着该 同学站了起来)教师：为什么是你呢?学生(7 5)：因为点(7，5)在直线 一2 +3：0上 教师：该直线上不止一个整点，为什 么轮到(7，5)呢?学生，：因为前几个 同学对应 的横、纵坐标分别 是公差为 2和 1的等差数列 学生：横坐标是连续的奇数，纵坐标是从 2开 始的 自然数 教师：很好!第 4次轮 到(7，5)再想一想：照此 规律，我第 8次又该喊谁呢?考虑一下横坐标和纵坐 标

10、分别与我喊的序号有什么关系?学生：横坐标是第“序号”个奇数，纵坐标是序 号加 1 教师：能用数学语言来表示吗?学生(z )：设序号为 t，则 一2 一1，Y一+1 也就 是说、Y分别是 t的函数 教师：也就是说直线 l：一2 y+3 0上任意一点 一 9 1 的 坐 标，都是 某 个变数 的 函 数：并且 对于 IY f 十 1 每一个实数 t，该方程组所确定的点 M(x，)都在直线 l 上 一)f一1 结论：方程组，(为变量)表示直线，我 IY一 十 l 们把它叫做直线 的参数方程，t叫做参 变数，简称 为 参数 参数方程是学生第一次接触的新概念，如何从学 生原有的认识结构出发，创设情境，让

11、学生参 与概念 的产生和发展过程，从 中领悟参数 的作用，以及建立 参数方程的可能性和必要性，就显得 十分重要 本节 课这一概念 引入 的设计，贴近学生实 际，从学生熟悉 的知识 出发，引导 学生 积极地去探索未知 问题的规 律，理解概念的内涵，使学生 留下了较深刻的印象，取 得了较好的效果 2 3注重 实例分 析 参数思想的引进，不仅有利 于曲线方程 的表达，也成为研究曲线性质、解决相关问题的有力工具 案例 2 如 图 1，已知 M 是 一2 2 椭圆 +告一1(口 6 0)上在第“c，一象限的点，A(a，0)和 B(O，6)是 椭圆的两个顶点，0为原点，求四 边形 MAO B面积的最大值

12、教学建议：。图 1 解法 1：设 M(x M，Y M)，M 0，y M O，则 b辟，s 一S +S 脚 维普资讯 http:/ 一丢 0 A 十 丢 0 B z M 一 1 a 6 1 一 碧+专 6 z M 一丢 6(厢+一 百I 6 丽 一 6 丽 1 6 而 一 解 法 2：M 是 椭 圆x 2T y21(口 6 0)上在第一 象限 的 点，由 于 椭 圆 +y 2 1的参 数 方 程 为 j 二?c0 故 可 设M(口 c。s，b sin ，其 中 0 号 O l V s ln 厶 因此，S 一S +S 脚 一 oA y M+0B z M 一专 a 6(s in +c。s )一 a

13、6 s in(+号)所以，当 一 手时，四 边 形M A O B 面积的 最大 值 为 可以看到，在教师主导下 的两种解决问题 的方法，通过比较，学生将真正地感受到参数方程的优越性 2 4 鼓 励综合运 用 参数方程与学生已有 的解析几何、平面 向量、三 角函数等数学知识联系较紧，应鼓励学生将所学知识 综合运用，从多个角度理解和运用本专题 的内容，提 高学牛分 析问题 与解 决 问题 的能 力 案例 3 已知 圆 A 的半径是 r，B是圆周上一点，当圆 A沿着一 条直线 z 滚动时，(I)求 AB 的 中点 M 的轨 迹 方程；()P是 AB延长线上一点且 AB一2 B P，求点 P的轨迹方程

14、 教 学建议：图 2 (1)引导学生依题意确定：以 B点的初始位置为 原点，直线 z 为 z轴，建立平面直角坐标系(图 2)(2)引入参数 a，使 B AC=a；2 5 借 助媒体 展示 本专题 向学生呈现出了大量优美 的曲线，在条件 允许 的情况下，借助教具或计算机软件，让学生观察 斜抛运动(包括弹道曲线)、摆线、渐开线等轨迹的生 成过程；欣赏各种不 同的曲线，如心脏线、螺线、玫瑰 线、叶形线、变幅平摆线、外摆线、内摆线、环摆线等，使学生感受这些曲线的美 案例 4 (数学鉴赏课)摆线是研究一个动圆在一 条曲线(基线)上滚动时，动圆上一点的轨迹 由于采 用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线的大

15、家族 当基线是直线时，就得 到平摆 线(简 称摆线)或变 幅平摆线(图 3)当基 线 是 圆且 动 圆在 定圆内滚动 时，就得 到内摆 线或 变 幅内摆 线 其 中，当 定圆半 径是 动 圆半 径 的 4 变 幅 平 摆 线(长幅)图 3 倍时，内摆线称为星形线(图 4)J，一x 内摆线 J，Y ，变幅 内摆线(长幅)Y、星形线 变幅内摆线 图 4 教学建议：(1)借助媒体展示摆线在不同条件中的图形；(2)鉴赏数学的美，激发学生学习兴趣；(3)提出问题：能否写出其参数方程?(课外作业)2 6组 织 调 查 研 究 引导并组 织 学 生 通 过 网 络 收集、实 际 调查、计 算 机制作、学习整理等方式，体会坐标 系与参数方程 的 作用和意义，整理所学知识及各种 曲线，收集某些 曲 线(如摆线)的应 用实例，以此 发展独立 获取 知识 的 能 力 参考文献 1 中华人 民共 和 国教 育部 制订 普通 高 中数学 课程标 准(实 验)M 北京：人民教育出版社，2 0 0 3 (3)设 P 分 有 向 线 段 的 比 为 ，则 一 篙一 一 3 单 增 普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书 4 4 M 南 京：江 苏 教 育 出 版 社，2 0 0 5 维普资讯 http:/