时滞对于参数激励系统周期运动的影响.pdf

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1、第 2 5卷 第 3期 2 0 0 4年 9月 力 学季 刊 C HI NE S E QU A RTE R L Y O F ME C H ANI C S Vo1 2 5 NO 3 S e p2 0 0 4 时滞 对 于参数 激励 系统周 期运动 的影响 戴护 军，徐鉴(固体 力学 教育 部重 点实 验室，同济大学 航空航 天 与力学学 院，上海 2 0 0 0 9 2)摘要：本 文 以结 构 物承 受周 期 激励 地震 波 和具 有时 滞 的弹性 地基 为背 景，研 究 时滞 对 于结 构 物 振 动 响应 的 影响 规律。问题 的数 学模 型 是一 个非 线性 参 数激励 时滞 系统，采 用

2、 中心流 形 和平均 法得 到 H o p f 分 岔 方程，研 究 结果 表 明时 滞量 对结 构物 的 地震 响应 有重 要 影响，它 可使 响 应振 幅增 大，意 味 着 结构 物遭 破 坏 的 危 险性 增 大，同 时，结果 也 表明 可 以通过 阻 尼控 制器 克 服时 滞引 起 的危 险性。最 后，对 于 不 同 的 时滞 量，比较 理论 分 析 与 数值 模 拟 结果 基 本吻 合，说 明 了本 文结果 的可靠 性。关 键词：参数 激励 系统；时滞 微 分方程；H o p f 分 岔；振动 控制 中图分 类号：0 3 2 2。T B 5 3 文 献标 识码：A文章 编号：0 2

3、5 4 0 0 5 3(2 0 0 4)0 3 3 6 7 8 E f f ec t s o f Ti me Del a y o n Per i o di c Mo t i o ns i n No nl i n e ar Sys t em w i t h Par ame t r i c Ex c i t a t i on D A Hu j u n，XUJ i a n (Ke y La b o r a t o r y o f So l i d Me c h a ni c s o f EMC，S c h o o l o f Ae r o s p a c e E n g i n e e r i n

4、g a n d A p p l i e d Me c h a n i c s，T o n g j i Un i v e r s i t y，S h a n g h a i 2 0 0 0 9 2，C h i n a)A b s t r a c t：B a s e d o n s t r u c t u r e s u b j e c t e d t o p e r i o d i c e a r t h q u a k e e x c i t a t i o n a n d e l a s t i c s u p p o r t wi t h t i me d e l a y，e f f e

5、c t s o f t i m e del a y o n vi br a t i o n r e s po ns e o f t he s t r uc t ur e a r e i nv es t i ga t e d i n t h e p r e s ent p a pe rTh e m a t h emat i c al mod el und er c ons i d er at i o n i s a no nl i ne a r s ys t e m wi t h pa r a m e t r i c e xc i t a t i on an d t i me del a y H

6、o p f b i f u r c a t i n g e q u a t i o n i s o b t a i n e d b y u s i ng t h e c e n t e r ma n i f o l d me t h o d a n d a v e r a g i ng t e c h n i q u e Th e r es u l t s s h ow t h at t he t i me de l ay ha s a n i mp or t a nt e f f e c t o n t he r e s p o ns e o f t he s t r uc t u r e

7、f o r e a r t hqu a ke a n d i t ma y e nl a r g e t h e a mp l i t u d e o f t h e r e s p o n s e，wh i c h i mp l i e s t h e s t r u c t u r e i s e a s i e r t o b e d a ma g e d wi t h t he del ay i nc r ea s i ng As wel l a s，i t i s r ep r es e nt e d t h a t t h e de l a y r e du c e d d a n

8、g er m a y be ov er c ome b y d a mp i n g c o n t r o l l e r Fi n a l l y，t h e g o o d a g r e e me n t b e t we e n t h e a n a l y t i c a l a n a l y s i s a n d t h e nu me r i c a l s i mu 1 a t i o n f o r s e v e r a l v a l u e s o f t h e d e l a y s h o ws t h e r e l i a b i l i t y o

9、f t h e o b t a i n e d r e s u l t s Ke y wo r d s：p a r a me t r i c a l l y e x c i t e d s y s t e m；d e l a y e d d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n；Ho p f b i f u r c a t i o n；v i b r a t i o n c o n t r o l 参数激励 系统是一类经典 的周期 时变振动系统，这类 系统有着 容易失 稳 的特 点，因此 多年来，一直 是 国内外学术界研 究的前沿课题之 一口 。由于这类

10、系统容 易失稳 使得 人们 总是希 望对 系统 进行 控制，在实际工程应用 中发 现，控 制器的作用与系统 的作 动之 间存在着不可避免 的时 间滞后，其数学模 型和运 动 收稿 日期：2 0 0 4 0 2 1 7 基金项 目：国家 自然科 学基 金资 助项 目(编 号 1 0 0 7 2 0 3 9)作 者 简介：戴护军(1 9 8 0 一)，男 江西 人，硕 士；研究 方 向：非线性 振 动 通讯作 者：同济 大学航空航 天与 力学学院，2 0 0 0 9 2；T e 1 ：8 6 2 1 6 5 9 8 5 3 6 4；f a x：8 6 2 1 6 5 9 8 1 1 3 8；E-m

11、a i l a d d r e s s：x u j i a n ma i l，t o n g j ie d u，c n 维普资讯 http:/ 力 学 季 刊 第 2 5卷 方程必须用 含有时滞 的参数激 励非线 性 微分 方程 来描 述。八 十年 代后 期，P l a u t和 Hs i e h 研究 了一 个 具有时滞 的参 数激励系统，通过数值模拟，发现 系统具 有很复杂 的动力 响应，其 中存在周 期、混沌甚 至发散 的动力响应。随后通过应用 多尺度 方法分析 了仅在 阻尼项 中存 在 时滞 的弱非 线性 系统，分 别讨论 了在 主 共振、亚谐共振和超谐 共振 等多种情况下，时滞对 于

12、稳态 运动频一 幅曲线 的影 响。由于时滞 系统是 无 限维 动力 系统，其理论方 面的研 究是非常 困难 的，因此在 九十年代研 究工作 进展不 大，直到 最近 几年 国际上 才 又出现对 时滞 参数激励 系统 的研究。R a g h o t h a ma和 Na r a y a n a n 利用谐 波增 量平衡法(I HB)分析时滞参 数 系统 的动力响应，通过具有弧长参 数连 续(a r c l e n g t h p a r a me t r i c c o n t i n u a t i o n)的路径追 踪(p a t h-f o l l o w i n g)算法结 合稳定性分析得

13、 到该 系统 的分岔 图，数值结 果表 明 系统 是经历 倍周 期分 岔道 路通 向混沌 的。Ma c c a r i 研究 了一个具有 时滞状态反馈 的 v a n d e r P o l 参 数激励 振子 的动力响应，利 用渐近摄 动(a s y mp t o t i c p e r t u r b a t i o n)方法得 到系统关 于振幅和频率 的两组慢 变(s l o w f l o w)方程，研 究结果 表 明选择适 当 的 时滞和状态反 馈增益量能够 消除系统 中的概周期运动，并能够抑制 主参 数共振 的振动范 围。I n s p e r g e r和 S t e p a n

14、_ 1 副研究 了具有 线 性 阻尼 的时 滞 Ma t h i e u方程，其 参 数 稳 定 性 空 间 与无 时 滞 Ma t h i e u方 程 和 HS U Bh a t t V y s h n e g r a d s k i i 二 阶时滞微 分方程 的参数稳定 空间有着 密切 的联系。上述所 有的研究都是 固定 了时滞 而 没有 把时滞 量作 为一 个参 数来 考虑，徐 鉴 等 的最近 的研 究表 明时滞作 为参数有着“开关”的作用，不但 可以控制系统 的复杂运动，而且可 以产生 复杂性。本文 以承受周 期激励地震 波和时滞弹性地基 作用的结 构为研 究背 景，建立 具有 时滞

15、 参数 激励 系统 模 型，将 时滞 作 为参 数，重点研究时滞对 于结 构物振动 响应影 响的规律。1 系统 模 型 的简化 首先 考虑如 图 1所示 的结 构，系统是 由两个 长度 为 L 的刚性连 接 和一个 质块组 成，中心结 点上 的质 块质量 为，同时质块上连有 阻尼和弹簧两部分非线性约束。Fco (b)图 1 系 统 的 结 构 和 受 力 图(a)力 作 用 之 前(b】力 作 用 之 后 Fi g 1 M e c h a n i s m a nd l o a d i ng 系统 的模 型可以描述建筑、桥梁等结构受横 向地 震力作 用时竖 向振动 的运 动方程。结 构物 的竖

16、向振 动是 由于水平方 向作用力而产 生的激 励作用，其振动方 程是 一参数激 励方程，在 工程 的各个领 域，都 出现 这样的振动形式。由于在地震 的过程 中，初始 阶段是具有激 发而使得速度增加，达到最大 的速度后振 动开 始衰减直至运动 的停 止。然而对于经常 使用的线性 粘滞性 阻尼模 型是假定 阻尼 力与运 动 的速 度成 正 比，问题的解 只有指 数随时间增 长衰减 的表达式，它已经不 适用于描述结构在地震 时的动力响应，对于非线性 的 R a y l e i g h阻尼 可表述低速 时有激发 的运 动妆期 阶段 和高速时有 衰减 的运动后 期阶段，即阻尼 系数的 表达式为 一A+

17、B ，其 中(T)是结 构的竖 向振动位移，T代表时 间。进 一步考虑地基 的非线性 作用，我 们引入 Du f f i n g弹簧来描述这种非线性 弹性 力，即假设 地基作用力 K +y K。Y。，K 是线性 系数，y K。是 对 应的三次非线性 系数，)，是一个无量纲 的参 数。由于地基具有一定 的长度，当弹性力在某 一瞬间作 用于 物体时并没有使物体立 刻移动，而是应力波在物体 内部来 回的反射，在使 得物体的加速度达到均衡 的状 态 时，物体 才真正开始移动，这里 就 存在 着 时间 滞后(时滞)，即认 为 K +y K。Y。=K Y(TR)+y K。(TR)，其 中 R 是时滞。假定

18、结构 竖 向振动位移 L 即 L 一Y L ，而且 作用 在质块 的连 接 杆是 刚性 的。很容易根据 物体 的受力平衡得 到结 构的动力方程 维普资讯 http:/ 第 3期 戴护 军，等：时滞 对 于参数 激励 系统周 期运 动的影 响 竹 一(A 一 )+Kl (TR)+y K3 Y。(TR)+2 L(Fc o s c o T)g 0 ()引入这样 的量 a 2=K。g。，b =tal K。，为 了将方 程(1)无 量纲 化，首先作 如下 无量 纲 变换 y a，T b，：R b，=Ab m，9=Ba mb，k=2 F b mL，n=c o b，最后方程可 以简化成如下无量纲形式 一(a

19、 一 )+(t r)+y 。(t r)+(kc os t)=0 (2)2线 性 系统 分 析 为 了考虑时滞对系统(2)周期解 的影 响，需 要得 到参数 的临 界值，因此 首先讨论 k 对应 的线性 系统 圣一a +=0 的情 况，这 里 表示(tr)。可 以得到方 程(3)的特征方程 为 一 a +e一 =0 0时，系统(2)所(3)(4)当 =0时，我们得到特征根=(1 2)(a、，)，此时 a dO，系统具有稳定的零解，而当 a 0的时 候，系统(2)将 出现稳定 的周期解。令=+，其 中 是特 征值 的实部，c u是特征 值 的虚部，并且 这两 个数都是 实数，代入特征方程(4)得到

20、(+(u)一 a(a+i(u)+e一”(c os(u r i s i mo r)=0 (5)分离 实部 和虚部后我们 可 以得到 f a 一O A 2一a a+e一”C O S(u r 0 0，该式显然成立，但 2=一 O t 2 一、，0 是 存在的。在方 程(7)中，C O S(u r=(u 0，注意 到 a 0的时候 s i n c o r O，而在 a dO的时候 s i n(u r 0，考 虑方 程(8)所 以我们可 以得到 r=2 J 一a r c s i n(a )J=0，1，2 (1 1)同样地，从方程(4)中，我们很容 易得 到 维普资讯 http:/ 3 7 0 力 学季

21、刊 第 2 5卷 且 d d r A e 2A一口一 一 (2 A一口)e 打 一 r d r l a=O=R e(筹)a=O=G 1 l(2 2 c。s 一in ：G 。c2 其 中 G：(一r a C O S r一2 s i n r)+(2 C O S r一口 s i n r)是大于零 的实数，所 以有 d r =G-l a,2(2 a,2+a 2 (1 2)(1 3)(1 4)在 r：0时不 等式(1 4)成立，根据 H o p f 分岔定理 可以得 出当 r=0，a=0，=l时 系统发生 Ho p f 分岔，本 文仅考虑 a=0的情况，对 于 a 0时 的情形可 以类 似地研究。3 H

22、 o p f 分 岔解 及 其 稳 定性 分 析 令 a=a +，r：r +，此 时，a =r =0是零解产生 H o p f 分岔 的临界值，重新标度原来 的系统 一厄，七 一 k，系统(2)变成 一口 +=厂(，t)+一 C C(15)其中O e l，(，t)：1 x一7 x；一(k c o s t)一 。将 U 1=，U 2=1，U 1=U 1(t r)=(t r)，U1 =U1(t r )=(t r )代人方 程(1 5)得到，J U1 2 【2=口 c U 2 一U 1+厂(U 1，U 2，U 1，t)+U 1 一U 1(1 6)设 C=C(一r，0 ，)，对任意 C，定 义范数 l

23、l l l：s u p ()并记 U ()=U(t+)，一r f 0 O 0 40，方程(1 6)可以化成泛 函微分方程，利 用泰勒 展开处 理 一 项，并 根据 文 5，6 的方法就 可 以 得 到方程(1 6)在 中心流形上 的约化方程=+e。+e。+e c 其 中 ：J s in 0 【，=o)，L c oS I n c oc os a 0J ：南 ：一 2(Z+m r l sin or L l sin o r m CO S o)r c I m co s o)r c J c：一 c c s+2 3 3+2 y c。s r 一 in 。，l：一 口c r c C OS wrc，2 c o+

24、rc s i no r (1 7)当=0时，方程(1 7)的解 可以表示为=(r c o s(t+)，一r s i n(t+)，其 中，0是常数，=l 是 a=a ，r：r 时系统所对应 的临界状 态时 的振 动频率。当 e 0时，考虑 系统 的主参 数共 振，令 n=2 +2 e a，其 中 0 l是调谐参数。利用平均法，可以将 变量 的方程化 为变量 和 表 示 的对 时间 t 的慢变方程，即一次 近似的极坐标平均方程 f ：(0 1 l+1 2 )b 1 r s i n 2 0一b 2 r c o s 2 0 ，l 0 =+a 21+a2 2 +b 2 s i n 20 一 b1 c o

25、 s 20(1 8)维普资讯 http:/ 第 3期 戴 护军，等：时滞 对于参 数激 励 系统 周期 运动 的影 响 其 中 =()，=()=一 (t)，()=鲁 且 a 1 1 b1=a 2 1 1 m o)+(T C O S o)z km b 2=1 +(C O S(o z-一 m s i n c o t )2 3(1 T c o s rmT s i n r+卢 ，。=一3(m Tc o s w r+l y s i nwr-一fl l o 3)于是从方 程(1 8)求得 系统 一阶近似解 的表 达式)=(0)=0()=s(盟)+0()(1 9)其 中 r和 是 方程(1 8)的解。注意到

26、当 k=0时，b =0，b =0。方程(1 8)意味着 系统(2)的稳 态解 及非 稳态解是 由时滞、外激励 的频 率及外激励 幅值所 共同决 定的。方程(1 8)的平衡点满足=0，0 =0，亦 即 b i n 2 +b z c o s 2 0)r al l +。(2 0)l b 1 c o s 2 0一b 2 s i n 2=+a 2 1+a 2 2 在方程(2 0)中消去，得 到分岔方程为 E()=b +b；，(2 1)或 r：0 (2 2)其 中 E(z)=(0 21 2+0 22 2)z +2(a 1 1 a 1 2+a 2 2(+a 2 1)z +0 1+(+a 2 1)。非零 解的

27、 J a c o b i 矩阵 的形式 可以写 成 t，()：厂 2。z 一 2 +。z 一 、zz。(2 3)l 2 a 2 2 2 a 1 1+2 a 1 2 j 此 时，J a c o b i 矩 阵(2 3)的迹和行列式分别 为 t (t，()=2an+4。1 2 r 2 (2 4)d e t(J()=4(0 21 2+0 22 2)+4(a1 1 a1 2+a 2 2(+a 2 1)r 根据 R o u t h Hu r wi t z 定理 可以得到平衡点稳定 的条件为 t r(J()0 (2 5)根据 分岔方程(2 1)可以求 出非零解 与各个参 数的关系，固定各个参数 的数值，讨

28、论时滞对 于非零周期 解 的影 响，如无特别说 明，均 有 a=0 1，卢=0 2，y=0 1，k=0 3，n=2。在 图 2(a)中，仅考虑 卢对振 幅的影响。从(a)中可 以看 出，随着 时滞 的不 断增 加，周期 解失稳 时所对 应 的非线性 阻尼系数 卢是 不断增大 的。注意 到在 卢增大 的过 程 中，振 幅 的大小 有一 个先 升后 降 的过 程，当 卢较小 的时候，随着时滞 的增加，振 幅 出现 抑制 的现象，但 随着 时滞 的不 断增 大，稳 定 的周期 解将 变得 不稳定。当 足够 大的时候，从 图 中可 以看 出，时滞 的出现使得振 幅不断增 大，图 3数值验证 了上述结论

29、。同样地，从 图 2(b)中可 以看 出，随着 时滞的增加，周期解失 稳 的参数 激励 幅值 k是增 大 的，图 中还 可 以看 出，时滞使得 系统振 幅不 断增大。在 y所 对应 的图(c)中，注意到 时滞失稳 的三次 非线性 刚度 y 值是 不断减小 的，而且 随着 时滞量 的增大，振动 的幅值也是 不断增 大 的，同时可 以发现 y的增 大能够抑 制 振动。图(d)表示 振幅 随着线性 负阻尼 系数 a变化 的曲线，图 中可 以发现，a的不 断增 大使得 振动 的幅值 维普资讯 http:/ 力 学季 刊 第 2 5卷 1 1 0 0 1 图 2时滞 不 同取 值 时。振 幅 随各 参数

30、 变化 的 曲线。实线代 表 稳定。虚 线 代表 不稳 定，其 中 a=0 1，=0 2。=0 1，k=0 3。n2 (a)r 一 ，(b)rk。(C)r ，(d)r a Fi g 2 Re s p o ns e a m p l i t u de a s a f u nc t i o n of t h e o t he r p a r a m e t e r s f o r Q 2 八 八 V V V 1 0 0 一l -，图 3不 同参数 及 时滞 的数 值结 果 比较 其 中 a=0 1，7=0 1。k：0 3，Q2 (a)=0 0 7，实 线代 表 f=0，虚线 为 f=0 0 4，(b

31、)=0 2。实 线代 表 f=0，虚 线为 f 0 2 Fi g 3 Nu m e r i c a l c o m p a r i s o n w i t h d i f f e r e nt p a r a m e t e r v a l u e s 也 不断增大，这正符合 了负阻尼所 产生 的 自激现 象；同时 也可 以看 到，时滞作 用 的 时候，周期 解失 稳 的 a 变小，此 时对应的振幅是增大 的。从(a)和(b)中注意到一 个现象，时滞作用 在系 统 中使 得 曲线 向右 移动，这 在以前 的研究 中并没有 出现。总体说来，时滞 的存在使 系统的振动产生非常大 的变 化，使 系统

32、 的振 幅迅 速 增大。为 了研究时滞 的影 响，下 面将 时滞看成是连续变化 的量，而其他参数是一 些 固定 的值。图 4更加确定 了时滞所 引起 的振 幅的增加，图(a)表 明 卢的大小明显影 响系 统振动 的振 幅，当 卢比较 大时 系统 的振 幅明 显变小；同时从 图(b)中发现外 激励 越大，系统的振幅也是增大 的；而在 图(c)中，非线 性刚度 y越 大，产 生 了一 定的抑振作用，但 同时振 动的不稳定性增加；在 图(d)中，阻尼 a产生 了很 明显的 自激作用。为了说明本文结果 的正确性，我 们选取 r=O，r=O 0 5，r=O 1和 r=O 1 5，将 理论周 期解(1 9

33、)和对 原始方程(2)的周 期解数值模拟 进行 比较，比较结果被表 明在 图 5(a)、(b)、(c)和(d)中。从 图 5中可 以看 维普资讯 http:/ 第 3期 戴 护军，等：时滞对 于参 数激励 系统 周期 运动 的影 响 3 7 3 1 1 图 4参 数取 不 同取值 时。振 幅 随时滞 变化 的 曲线。实线 代表 稳定。虚 线代 表不 稳 定。其 中 口=0 1，=0 2，=0 1。k=0 3，2 Fi g 4 Re s po ns e a m pl i t u d e a s a f u n c t i o n o f t he t i m e d e l a y f o r

34、Q 2 1 O 0 1 1 0 0 1 (b)八 八 厂 V V V f 0 八 八 V V V 图 5时 滞不 同的 数值 结果 与理 论 结果 的 比较，其 中 实 线 代表理 论解，虚 线代 表数 值解 f a)f=0，f b)f=O，0 5，f c)f=0 1，f d)f=0 1 5 Fi g 5 Co m p a r i s o n o f t h e r e s u l t s b e t we e n t h e c o m p u t e r s i m ul at i o n a nd t h e a n a l y t i c a l fo r di f f e r e n

35、t v a l u e s o f t i m e d e l a y 出，理论 解与数值解基本 能够很好 的吻合，验证 了方法 的正确性。f 0 维普资讯 http:/ 3 7 4 力 学季刊 第 2 5卷 4结 论 和展 望 本文研究 了结构 在地震过程 中的动力响应，考虑振 动过程所存在 的时滞及其 自激作用，建立了系统 的 非线性 时滞动力学控 制方程。通过对线性 方程的分析，找到系统(2)产生 Ho p f 分 岔的临界值，利用 中心流 形和平均法研究 了方 程(2)发生 Ho p f 分 岔时系统主参数共振时 的定 常解 及其稳定性。研究结果表 明时滞 量对 结构物 的地震 响应有

36、 重要影响，即便是很小 的时滞 也会 引起 振动 的加剧，它 可使 响应 振 幅增 大，意 味 着结构 物遭破坏 的危 险性 增大，因此 在设计 中，应该 考虑地基 对结构物延迟作 用的影 响，同时，结果也表 明 可以通 过阻尼控制器克 服时滞引起 的危 险性。对 于不 同的时滞量，比较 理论分 析与 数值模 拟结果 基本 吻 合，说 明了本 文结 果 的可靠性。本 文的分析结果对 于工程 中 的抑振 有 如下启 示：(1)在工 程环 境下，尽 量 增加 系统 的阻尼，避免振动系统 中可能存 在 的 自激；(2)控制 材料不 对称 引起 的非线性 刚度；(3)避 免 时 滞 产生 破坏作用。从

37、 图 4中可 以看到，随着时滞量 的增加，吻合性会越来 越差，原 因在于本 文得 到 的理 论结果 是基 于摄 动方法，因此适合较 小的 e，这也说 明时滞 的对 系统 的作用 具有非 线性 的效 果，对 于长 时滞 必须探 索 新 的 不变流形方 法。对于本文 所考虑的特 殊情 况，平 均化方 程还有 更 简单 的处 理方 法，可参 考文献。本 文 的研究有待 于进一步发展，在本文 的研究 中没有考虑阻尼项 中所存在 的时滞，而且实 际的建 筑物 都是受到 周边建 筑物的挤压，P l a u t 和 Hs i e h u 对此 已经有所提 及，对于存 在挤压 的系统 与本文所产 生 的现象将

38、 完 全不 同。另外，对 于参数 激励系统 丰富的动力 学行为包括分岔及混沌将另 文讨论。参考文献：1 P l a u t R H，Hs i e h J CC h a o s i n a me c h a n i s m wi t h t i me d e l a y s u n d e r p a r a me t r i c a n d e x t e r n a l e x c i t a t i o n J J o u r n a l o f S o u n d a n d Vi d r a t i o n，1 9 8 7，1 1 4(1)：7 3 9 0 E 2 3 4 5 6 7

39、8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 3 1 4 1 5 1 6 Pla u t R H，Hs i e h J CNo n l i n e a r s t r u c t u r e a l v i b r a t i o n s i n v o l v i n g a t i me d e l a y i n d a mp i n g J J o u r n a l o f S o u n d a n d V i b r a t i o n，(3)：4 9 7 5 1 0 R a g h o t h a ma A，Na r a y a n a n SP e r i o d i c r e

40、s p o n s e a n d c h a o s i n n o n l i n e a r s y s t e ms wi t h p a r a me t r i c e x c i tat i o n a n d t i me d e l a y J Dyn a m i c s。2 0 0 2，2 7(4)：3 41 36 5 1 9 87，1 1 7 No nl i n e a r Ma c c a r i ATh e r e s p o n s e o f a p a r a me t r i c a l l y e x c i t e d v a n d e r P o l

41、o s c i l l a t o r t o a t i me d e l a y s t a t e f e e d b a c k J No n l i n e a r Dy n a mic s，2 0 0 1，2 6(2)：1 0 5 1 09 Xu J，L u Q SHo p f b i f u r c a t i o n o f t i me-d e l a y e d L i e n a r d e q u a t i o n J I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f Bi f u r c a t i o n a n d C h

42、a o s，1 9 9 9，9(5)：9 3 9 9 51 Xu J，C h u n g K WE f f e c t s o f t i me d e l a y e d p o s i t io n f e e d b a c k o n a v a n d e r P o l d u f f i n g o s c i l l a t o r J P h y s i c a D，2 0 0 3，1 8 0：1 7 3 9 Na y f e h A H，Mo o k D TNo n l i n e a r o s c i l la t i o n s M Ne w Y o r k：J o

43、h n Wi le ySo n s，1 9 7 9 秦 元勋，刘 永清。王联 带有 时滞 的动 力系统 的稳 定性 M 第二 版，北 京：科学 出版社，1 9 8 9 Ha l e J KT h e o r y o f f u n c t io n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s M N e w Y o r k：S p r i n g e r Ve r l a g，1 9 7 7 Gu c k e n h e i me r J，H o l me s P J No n l i n e a r o s c i l l a t i o n

44、s，d y n a mi c a l s y s t e ms，a n d b i f u r c a t i o n s o f v e c t o r f i e l d s M N e w Y o r k：S p r i n g e r Ve r l a g，1 98 3 陈予 恕，徐 鉴 v a n d e r P o l Du f f i n g Ma t h i e u型系统 主参数 共振 分叉解 的普适 分类 J 中 国科 学(A辑)，1 9 9 5，2 5(1 2)：1 2 8 7 1 2 9 7 Xu J，L u Q S，Hu a n g K LC o n t r o l l

45、 i n g e r o s i o n o f s a f e b a s i n i n n o n l i n e a r p a r a me t r i c a l l y e x c i t e d s y s t e ms J Ac ta Me c h a n i c a S i n i c a，1 9 96，1 2(3)：2 81 2 8 8 I n s p e r g e r T，S t e p a n GS t a b i l i t y o f r e t a r d e d s y s t e ms wi t h p a r a me t r i c e x c i t

46、at i o n J Z e i t s c h r i f t f u r A n g e wa n d t e Ma t h e ma t i k u n d Me c h a ni k，2 0 01，81(2)：$1 9 5 一 S 1 96 I n s p e r g e r T，S t e p a n GS tab i l i t y c h a r t f o r t h e d e l a y e d Ma t h i e u e q u a t i o n J P r o c e e d i n g s o f t h e Ro y a l Soc i e t y o f L

47、o n d o n S e r i e s A-Ma t h e mat i c a l P hy s i c a l a n d En gi n e e r i n g S c i e n c e s，2 00 2，4 58(2 0 2 4)：1 98 9 1 9 9 8 I n s p e r g e r T，S t e p a n GS tab i l i t y o f t h e d a mp e d Ma t h i e u e q u a t i o n wi t h t i me d e l a y J J o u r n a l o f Dy n a mi c S y s t

48、 e ms Me a s u r e me n t a n d Co n t r ol Tr an s a ct i o ns o f t h e ASME。2 0 0 3。1 2 5(2)：1 6 6 1 7 1 A tay F MD e l a y e d f e e d b a c k c o n t r o l o f o s c i l l a t i o n s i n n o n l i n e a r p l a n a r s y s t e ms J I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f C o n t r o l。2 0 0 2，7 5(5)：2 9 7 3 0 4 维普资讯 http:/