由曲线参数方程求平面图形面积的进一步讨论_周光亚.pdf

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1、p 高素质、高技能人才培养研究由曲线参数方程求平面图形面积的进一步讨论周光亚(四川工程职业技术学院,四川 德阳 618000)摘 要 从由曲线普通方程求平面图形面积的公式出发推出在各种情形下由曲线参数方程求平面图形面积的公式。关键词 曲线;方向;参数方程;平面图形;面积中图分类号 O13 文献标识码 B 文章编号 CKN字 07-005(2006)04-0060-03A Further Discussion aboutCalculating Plane FigureQuadrature by Applying Curve Para metric EquationZhou Guangya(Sic

2、huan Engineering T echnicalCollege,Deyang Sichuan 618000)Abstract:Fro m commonly used equation of calculating plane figure quadrature,for mulas of calculating plane fig-ure quadrature by applying curve para metric equation can be deduced.Key words:curve;direction;parametric equation;plane figure;are

3、a 一般5高等数学6教材对由曲线参数方程求平面图形面积这部分内容都未作深入讨论,有的教材的相关表述还不够准确,例如下面的表述就不够准确:一般地说,当曲边梯形的曲边由参数方程x=U(t),y=W(t)给出时,曲边梯形的面积为A=Qt 2t1W(t)Uc(t)dt,其中 t1及 t2是对应于曲边的起点及终点的参数值.1事实上,当曲边起点和终点的左右相对位置不同,或W(t)符号不同时,其面积公式是不同的;当起点和终点重合,即曲线为封闭曲线时,其面积也应有不同的表述。下面,我们就来进一步讨论由曲线参数方程求平面图形面积的问题。为使表述更加方便简捷,我们先作以下一些约定:(1)以下所涉及的函数的连续性或

4、可导性在需要时都是得到保证的,不再单独给出;(2)曲线段的起点和终点分别对应参数的最小值和最大值;(3)在不引起混淆的情况下,规定起点在左(右)终点在右(左)的曲线段方向向右(左);(4)当曲线为平面图形外边界时,若当点从起点沿曲线运动到终点时,曲线所围平面图形内部都在该点右侧,称该曲线方向为顺时针方向,反之为逆时针方向;(5)将由两条与 x轴垂直的直边及上下各一条曲边所围成的平面图形称为 X-型图形。1.曲边梯形的面积设曲边梯形由曲线 y=f(x)(E 0),直线 x=a,x=b(a b),及 x轴所围成(如图 1),则其面积为A=Qabf(x)dx;若曲边用参数方程x=U(t),y=W(t

5、),AF tF B或 BF tF A,U(A)=a,U(B)=b给出,这里的 U(t)是单调函数.可分下面两种情形:1.1 曲边方向向右,这时有 Uc(t)E 0,AF tF B.由定602006年第 4期 四 川 工 程 职 业 技 术 学 院 学 报JOURNAL OF SICHUAN ENGI NEERI NG TECHNICAL COLLEGE 2006年 11月Nov 2006收稿时间 2006-04-03 作者简介 周光亚(1957-),男,四川工程职业技术学院副教授。图 1积分换元法,有A=QABW(t)Uc(t)dt(1)这时是曲边起点对应积分下限,终点对应上限。1.2 曲边方

6、向向左,这时有 Uc(t)F 0,BF tF A.由定积分换元法,易知(1)式仍然成立.这时是曲边起点对应积分上限.终点对应下限,两种情形的共同点是:曲边左端点对应积分下限,右端点对应上限。2.X-型图形的面积设平面图形由曲线 y=f1(x),y=f2(x)(f1(x)Ff2(x),直线 x=a,x=b(a 0)所围成的平面图形的面积。解法一:如图 6,根据对称性,所求面积应为其第一象限部分的 4倍。图 6 x|t=P2=0,x|t=0=a,由公式(1),所求面积为A=4Q0P2a sin3t(-3a cos2t sin t)dt=3Pa28解法二:x|t=0=x|t=2P=a,y|t=0=y

7、|t=2P=0,_(a,0)是曲线的二重点.当 tI 0,2P时,曲线是逆时针方向.由公式(4),所求面积为A=-Q02Pa sin3t(-3a cos2t sint)dt=3Pa28例 3 求由曲线(心脏线)x=2a cost-a cos 2t,y=2a sint-a sin 2t所围成的平面图形的面积(如图 7)。解法一:x|t=0=x|t=2P=a,y|t=0=y|t=2P=0_ 点(a,0)是二重点。即当 t从 0变化到 2P时,曲线描出一圈.易知当 tI 0,2P时,曲线是逆时针方向.由公式(4),所求面积为图 7A=-Q02P(2a sin t-a sin 2t)(-2a sin

8、t+2a sin 2t)dt=6Pa2解法二:x=2a cos t-a cos 2t是偶函数,y=2a sin t-a sin 2t是奇函数,所以曲线关于 x轴对称;当 tI 0,P时,y=2a sin t(1-cos t)E 0,且曲线是逆时针方向.由公式(4),所求面积为A=-2Q0P(2a sin t-a sin 2t)(-2a sin t+2a sin 2t)dt=6Pa2参考文献 1 同济大学数学教研室.高等数学 M.2 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义 M.3 刘玉琏等.数学分析讲义学习指导书 M.4 吉米多维奇.数学分析习题集 M.62高素质、高技能人才培养研究 周光亚:由曲线参数方程求平面图形面积的进一步讨论