解析几何中参数范围的确定.pdf

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1、2 0 0 3年第 6期 数 学 通 讯 4 1 解 析几何 中参数 范 围的确定 刘康 宁 (西 安市西光中学，陕西7 1 0 0 4 3)解析几何 中求参 数 的取 值 范 围问题，由 于涉及 的变量多，知识 面广，综 合 性 强，所 以它 一 直是 解析 几 何的重点 和难 点，也是竞 赛命题 的 热点 本讲 主要 介绍解析几何 中求参数 范围 的一 些常用方 法 1)数 形 结 合 法 根 据 方 程 表 示 曲 线 的 几 何 特 征，用数形结 合确定参 数的范 围 2)应用 方程理 论 根据 直 线与 圆锥 曲线 的位 置 关系，利用判 别式 和 区间 根原 理 建立 含 参 数

2、的不 等 式(组)3)构造 函数 法 根 据 曲线 的几 何 性 质，构 造参 数关于某个 变量的 函数关 系，并 确定 函数 的定义 域，将问题转 化为求 函数 的值域 4)构造不 等 式 法 根 据 曲线 的 范 围，建 立含 参 数 的不等式，将 问题转 化为鹪不 等式 例 1 (1 9 9 4年 全国 高中数 学联赛题)已知有 向 线段的起点 P Q 的 起点 P 和 终 点 Q 的 坐标 分 别 为(一1，1)和(2，2)若 直 线 z：+m y+m=0与线 段 P Q 的延长线 相交，则 m 的取值范 围是 讲解 由于参数 有 明确 的几何 意义，所 以可 应用数形结合 法确定 m

3、 的范 围 若 注意 到直 线 z与 线段P Q 的延长 线 相交，我们 也 可 以利 用定 比 的 范围或交点坐标 的范 围建 立关 于 的不等式来解 解法 1：显 然 0，则 直 线 z的斜率为 k，：一 直线 z的 一 个 极 端 位 置是 过点 Q 的 z l(如 图 1)，将 Q 的坐标(2，2)代人 z的 1 2 0 一 l 方程 2 +：0，即图 l 例 l图 2+=，即。一：m 2 另一极端位 置是 z 2 P Q，则 一：愚 阳=号 号 一 1 3，即 一 3 一 了2 解法 2：设交点为 M(。，j，0)，则=一l 由定 比分点坐标 公式，得 一1+2 l+2 0 ，Y o

4、 而。代 人 直 线z 的 方 程，得 舌 一i2l+-32 m 一l，得 一3 2，即 2，解得 一3 一了 2 j 十 j 说 明 以上 三 种解 法 分别 应 用 了数 形 结合 法、定 比 的性 质和方程 根的分布 范 围，各有 特点，它们 都 是求参数 范围的基本 方法 例 2(1 9 9 7年 全 国高 中数 学联赛 题)在平 面直 角坐标 系 中，若 方程(z +2 3 +1)=(一2 +3)表示 的曲线为椭 圆，则 的取值范 围为()(A)(0，1)(B)(1，+一)(C)(0，5)(D)(5，+o o)讲解解题 思路 有 二，其 一 是转 化 为椭 圆的标 准方程+=l，但

5、转 化 过 程 中将 出现 x y项，需要进行坐标轴的旋转，高中阶段未学；其二是应用圆锥曲线的统一定义，将离心率 e表示 为 的 函数，由 0 e 1确定 的范 围 下面 利用 思路二 给出本题 的解答 由已知得=这说 明动 点(，3 I)到定点(0，一1)与到直线 一 2 +3=0 的距离之比 为“常数 由椭圆定义，、l I I-C 得0 4 5，结 合 选 项 知 应 选(D)说明本题 的难 点在 于 构 造定 点 和 定直 线，这 需要对原 方程进 行 巧妙 的变形，使 方程 的 左边 为 动 点到定点 和定直 线 之 比，右边 为 含 有参 数 m 的“常 丽 维普资讯 http:/

6、4 2 数 学 通 讯 2 0 0 3年第 6期 数”例 3(2 0 0 2年 全 国高中数 学联 赛题)已知点 A (O，2)和抛物 线 y 2：z+4上 两点 B，C使 得 A B_ l-B C，求点 C 的纵坐标 的取值 范 围 讲解因为 B，C是抛 物线 上两 个相 关的动 点，所以 C点 坐标的变化 是受 B点 制 约 的，因此可 引入 点参数，应用 A BI B C建立关 于 B，C两点坐标 的关 系式 设 B(y 一 4，Y 1)，C(y；一 4，Y 2)，显然 4，Y i，则 h a B Yt-2 ，1一，1 hBc AB_J _ BC，Y1 Y2 Y11 1-1-化 简整理，

7、得 Y +(Y 2+2)y 1+(2 y 2+1)：0 (1)Y1 R，=(3，2+2)一4(2 y 2+1)0，即；一 4 y 2 0 解得 Y 2 0 或 Y 2 4 故 点 C 纵 坐 标 的取 值 范 围 为(一o。，0 U 4，+o。)说明 事实 上，Y。的取值 范 围并 非全体 实数 R 显然，Y 一 4 0，即 Y 1 2 当 Y 1=一 2时，不满足 方程(1)；当)J 1=2时，由(1)得 2=一 9，再 代入(1)求得 Y 1：2(舍去)或 1=一_ ，这 时点 B 的坐 标为(一 蔷，一 号)，点 C 的 坐 标 为 而1 7，一 号)，满 足 题 意，所以 Y 2=一

8、是可 以的 例 4 已知 双 曲线 C：(1 一口 )z +a 2 Y =口 (口 1)，设该 双 曲线 上支的 顶点 为 A，且 上支 与直 线 Y =一z相 交 于 P点，一 条 以 A 为 焦点，M(0，)为 顶点，开 口向下 的抛 物线 通过 点 P 设直 线 P M 的斜 率 为 ，且 ，求 实 数。的 取 值 范 围 讲解 本题 涉 及 口，h，三 个 变量，其 中 口为 主变 量，参 数 k有 明确 的性 质，所 以可设 法消去 m，建立 变量 口和 h的关系 由双 曲线方 程知，顶 点 A 的坐标 为(0，1)，从而 抛物线方 程为 z =一4(一1)(Y )由 y(1=一-口

9、 2x),z 2+a 2y 2 口 2，得 P 点 坐 标 为 由 (1 一。z)z z+。z，得 P 点 坐 标 为 (一口，口)点 P 在 抛 物 线 上，口2：一4(m 一1)(口一m)(1)由 MP的斜 率：，得 a le+。，代入(1)得 口 ：一4(a h+口一1)(一a h)，即4 a k +4(口一1)h一口=0 (2)由题设 知，方 程(2)在 区间 1，1 I-t 令 f(：4 a k +4(a一1)h一口，则对称轴 一=l-a 0b 0 F。为 左焦点，O 为 中心，A，B分 别 为它 的 右顶 点 和上顶 点，P为 椭 圆 C 上 一 点，P F1 恰 好 垂 直 于

10、长 轴，且 O P A B 1)求椭 圆 C 的离心率，2)若 椭 圆 C 恒 过 点 Q(1，0)，且 一 条 准线方 程 为 z +2=0，求 长 半 轴 口的 取 值 范 围 J 讲解由于离 心率 确 定 椭圆 的形 状，而 与 它 的位 置 图 2例 5图 无关，所 以可 在标准方 程下求 椭 圆的离 心率 当椭 圆 的离心率确 定后，6便可用。表示；又 由椭 圆 C恒 过 点 Q(1，0)及准线 方程，可将 z。用。表示，从而可 得 到 口与Y o的关系 式 再 借助 于 Y 0的性 质，便 可得 到 关于 n的不等式 1)如 图 2，先将椭 圆 C平移，使 o 与。重合，C 的方程

11、为+维普资讯 http:/ 2 0 0 3年第 6期 数 学 设 此 时 P(z ，Y )，其 中z =一 c，f=、由 P O A B，得 =一 ，即 =等 点 P(一c，)在椭 圆 C上，c 4 2 一 2)把椭 圆 C还 原到题 设位置，其方程 为+口。6。由题设知口 =2 c ，则 b =c =口 C 的方 程 可 化 为(zz 0)+2(YY 0)=口2 椭圆 C恒过定 点 Q(1，0)，(1 一 0)+2 y 3=口 又 准线为 z=一2(左准 线)，0 一 =一2，即 X O=口一2，代人(1)得(3 一 n)+2 y 5=口 2 y =一口 +6 口一9 0 解得3 一3 口

12、3 芝+3 说明 本题利用 y 3的非负性建立了关于 n的 不等式 例 6(第 1 2届 希 望杯 邀 请 赛 题)已知 曲线 C 上任意 一点到定点 A(1，0)与定 直线 z=4的距 离之 和等于 5 对 于给定 的点 B(b，0)，在 曲线 C 上恰 有 三对不 同的点 关于点 B 对称，求 b的取值范 围 讲解 可先 求 曲线 C 的方 程，再根 据对 称点坐 标 的范 围建立 关于 b的不 等式 设 P(z，)为 曲线 C上任意 一点，由题设得(一1)+一4 l=5 化 简得 曲线 C 的方程为 1 4 x(O z 4)，y Z=一 1 6(z 一 5)(4 z 5)可见，曲线 C 由两 段 抛物 线 弧 Cl：y =4 x(O z 4)和 C2：y =一1 6(x一5)(4 z 5)拼接而成 设 P(，Y)关 于点 B(b，0)的对 称点 为 P (z ，Y )，则有 l=2 bz，=一 由于 C l(O z 4)和 C2(4 z5)都 是关 于 z 1 2 一 得 一 维普资讯 http:/ 维普资讯 http:/