第四版 概率论与数理统计答案.pdf

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1、1数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体.推断的基本内容包括两个方面:一、依据样本寻找总体未知参数的近似值和近似范围;二、依据样本对总体未知参数的某种假设作出真伪判断.数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体.推断的基本内容包括两个方面:一、依据样本寻找总体未知参数的近似值和近似范围;二、依据样本对总体未知参数的某种假设作出真伪判断.第七章 参数估计第七章 参数估计2设已知总体X的分布,但其中一个或几个分布参数是未知的。从总体中抽取样本,得到样本观察值,寻求适当的统计量作为未知参数的估计量,统计量的观察值就作为未知参数的估计值,这就是参数估计问题.设已知总体X的分布,但其中一个或几个分布参数

2、是未知的。从总体中抽取样本,得到样本观察值,寻求适当的统计量作为未知参数的估计量,统计量的观察值就作为未知参数的估计值,这就是参数估计问题.点估计区间估计点估计区间估计估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数真值的概率为给定的值估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数真值的概率为给定的值.参数估计参数估计用某一数值作为未知参数的近似值用某一数值作为未知参数的近似值X(),XN(,2)3学习重点学习重点理解点估计的概念.理解点估计的概念.掌握矩估计法和极大似然估计法.掌握矩估计法和极大似然估计法.了解估计量的评选标准（了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、相合性无偏性、有效性、相合性

3、）理解区间估计的概念.理解区间估计的概念.会求单个正态总体的均值和方差的置信区间.会求单个正态总体的均值和方差的置信区间.会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.4.,0,试估计参数设有以下的样本值为未知参数数的泊松分布为参假设它服从以是一个随机变量次数一天中发生着火现象的在某炸药制造厂试估计参数设有以下的样本值为未知参数数的泊松分布为参假设它服从以是一个随机变量次数一天中发生着火现象的在某炸药制造厂X例例17.1 点估计点估计250126225490756543210=knkk火的天数次着发生着火次数火的天数次着发生着火次数5解解),(X因为因

4、为).(XE=所以所以用样本均值来估计总体的均值用样本均值来估计总体的均值 E(X).=6060kkkknknx)162564223542901750(2501+=+=.22.1=.22.1)(的估计为故的估计为故=XE6一、点估计问题的一般提法一、点估计问题的一般提法.,.,);(2121为相应的一个样本值本的一个样是是待估参数知的形式为已的分布函数设总体为相应的一个样本值本的一个样是是待估参数知的形式为已的分布函数设总体nnxxxXXXXxFX?.),(),(2121 来估计未知参数用它的观察值一个适当的统计量点估计问题就是要构造来估计未知参数用它的观察值一个适当的统计量点估计问题就是要构

5、造nnxxxXXX?.),(21的估计量称为 的估计量称为 nXXX?.),(21的估计值称为 的估计值称为 nxxx?.,简记为通称估计简记为通称估计7点估计的思想方法点估计的思想方法设总体X 的分布函数的形式已知,但含有一个或多个未知参数：1,2,k设 X1,X2,Xn为总体的一个样本构造 k 个统计量：11221212(,)(,)(,)nnknXXXXXXXXX?随机变量7-58二、估计量的求法二、估计量的求法由于估计量是样本的函数由于估计量是样本的函数,是随机变量是随机变量,故对不同的样本值故对不同的样本值,得到的参数值往往不同得到的参数值往往不同,如何求估计量是关键问题如何求估计量是

6、关键问题.常用构造估计量的方法常用构造估计量的方法:(两种两种)矩估计法和最大似然估计法矩估计法和最大似然估计法.91.矩估计法矩估计法,),;(,),;(,212121为待估参数其中其分布律为为离散型随机变量或其概率密度为为连续型随机变量设为待估参数其中其分布律为为离散型随机变量或其概率密度为为连续型随机变量设kkkxpxXPXxfX?=的样本，为来自若的样本，为来自若XXXXn,21?,阶矩存在的前假设总体阶矩存在的前假设总体kX ,21即的函数且均为即的函数且均为k?10 xxfxXEkllld),;()(21?+=(X为连续型为连续型),;()(21kRxlllxpxXEX?=或或(X

7、为离散型为离散型)klxRX,2,1,?=可能取值的范围是其中可能取值的范围是其中),2,1,(11klXnAlnilil?=总体矩依概率收敛于相应的因为样本矩总体矩依概率收敛于相应的因为样本矩.的连续函数率收敛于相应的总体矩样本矩的连续函数依概的连续函数率收敛于相应的总体矩样本矩的连续函数依概我们用我们用样本矩样本矩作为相应作为相应总体矩总体矩的的估计量估计量，以，以样本矩的连续函数样本矩的连续函数作为作为总体矩的连续函数总体矩的连续函数的的估计量估计量这种方法称为这种方法称为矩估计法矩估计法。11矩估计法的具体做法矩估计法的具体做法设1112221212(,)(,)(,)=kkkkk?7-

8、5可以从中解出1,2,k，得到：1112221212(,)(,)(,)=kkkkku uuu uuu uu?这种估计量成为矩估计量矩估计量，其观察值称为矩估计值矩估计值以分别作为的估计量ii以Ai分别代替式中的i是包含k个未知参数1,2,k的联立方程组1 13 32 212.,),(,)0(,021的估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体的估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体 XXXXXn?解解)(1XE=因为因为,2=根据矩估计法根据矩估计法,例2例2122niixxn=12=11222niiAXXn=的估计量：的估计量：的估计值：的估计值：13.,),(,

9、21的估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体的估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体baXXXXbabaXn?解解)(1XE=,2ba+=)(22XE=()(),41222baba+=+=2)()(XEXD+=,1211=+=+niiXnAba令令2224)(12)(Ababa=+=+,112=niiXn例例2x14=+.)(12,22121AAabAba即即解方程组得到解方程组得到a,b的矩估计量分别为的矩估计量分别为)(32121AAAa=,)(312=niiXXnX)(32121AAAb+=+=.)(312=+=+=niiXXnX15例3例3设总体,其中及

10、都是未知参数，如果取得样本观测值为求及的矩估计值设总体,其中及都是未知参数，如果取得样本观测值为求及的矩估计值。,1nxx?),(2 NX 2 2 解：解：因为总体因为总体X 的分布中有两个未知参数，所以应考虑一、二阶原点矩，我们有的分布中有两个未知参数，所以应考虑一、二阶原点矩，我们有122222()()()()()()XE XXE XD XE X=+=+16=+=+=niiniiXnXn1222111=2122111xxnxxnniinii=niiniiniiXXnXXnXXn1221221)(111所以得到矩估计量而矩估计值是由矩估计值方法得所以得到矩估计量而矩估计值是由矩估计值方法得1

11、7=niiniiniiXXnXXnXXn1221221)(111实际上，对于任意总体，其均值和方差存在，但和是未知参数，如果取得样本为则总体均值和方差的估计量都为：实际上，对于任意总体，其均值和方差存在，但和是未知参数，如果取得样本为则总体均值和方差的估计量都为：1,nXX?2 2 18矩估计法的矩估计法的优点优点是直观、简便；特别是对总体的均值与方差进行估计时，并不一定要知道总体服从什么分布。但是，矩估计法对于那些原点矩不存在的总体是不适合的。是直观、简便；特别是对总体的均值与方差进行估计时，并不一定要知道总体服从什么分布。但是，矩估计法对于那些原点矩不存在的总体是不适合的。191.基本思想

12、基本思想例：甲乙两人比较射击技术，分别射击目标一次，甲中而乙未中。可以认为：甲射击技术优于乙射击技术。例例：甲乙两人比较射击技术，分别射击目标一次，甲中而乙未中。可以认为：甲射击技术优于乙射击技术。例:有两外形相同的箱子有两外形相同的箱子,各装各装100个球个球A箱箱99个白球个白球1 个红球个红球B箱箱1 个白球个白球99个红球现从两箱中任取一箱个红球现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球结果所取得的球是白球.所取的球来自哪一箱？所取的球来自哪一箱？A箱在获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观察结果出现的可能性最大.箱在获得了观察资料之后,给

13、参数选取一个数值,使得前面的观察结果出现的可能性最大.二、最大似然估计法二、最大似然估计法20属离散型设总体属离散型设总体X)1(,),;(=为待估参数设分布律为待估参数设分布律xpkXP,21的样本是来自总体的样本是来自总体XXXXn?.);(,121=niinxpXXX 的联合分布律为则的联合分布律为则?2.似然函数的定义2.似然函数的定义)(可能的取值范围是其中可能的取值范围是其中 ,2121的概率取到观察值则样本的概率取到观察值则样本nnxxxXXX?发生的概率为即事件发生的概率为即事件nnxXxXxX=,2211?,),;();,()(121=niinxpxxxLL?.)(称为样本似

14、然函数称为样本似然函数 L.,2121一个样本值的为相应于样本又设一个样本值的为相应于样本又设nnXXXxxx?21例如例如X(),即即 =exxXPx!)(=niinxPxxxL121),();,.,(=exxPixii!);(=niixexi1!22最大似然估计法最大似然估计法)(,21 Lxxxn选取使似然函数时得到样本值选取使似然函数时得到样本值?,取得作为未最大值的的知数估计值参).;,(max);,(2121 nnxxxLxxxL?=即即)(可能的取值范围是其中可能的取值范围是其中 ),(,2121nnxxxxxx?记为有关与样本值这样得到的记为有关与样本值这样得到的),(21nX

15、XX?,的最大似然估计值参数的最大似然估计值参数.的最大似然估计量参数的最大似然估计量参数 23属连续型设总体属连续型设总体 X)2(,),;(为待估参数设概率密度为为待估参数设概率密度为xf,21的样本是来自总体的样本是来自总体XXXXn?.);(,121=niinxfXXX 的联合密度为则的联合密度为则?.,2121一个样本值的为相应于样本又设一个样本值的为相应于样本又设nnXXXxxx?),;();,()(121=niinxfxxxLL?.)(称为样本的似然函数称为样本的似然函数 L).;,(max);,(2121 nnxxxLxxxL?=若若),(21nxxx?),(21nXXX?,的

16、最大似然估计值参数的最大似然估计值参数.的最大似然估计量参数的最大似然估计量参数 24=000);(xxexfXx=其它其它00,.,0,0211nnixxxxei =niinxfxxxL121),();,.,(例如例如253.求最大似然估计量的步骤3.求最大似然估计量的步骤:;);();,()();();,()()(121121=niinniinxfxxxLLxpxxxLL?或写出似然函数一或写出似然函数一;);(ln)(ln);(ln)(ln )(11=niiniixfLxpL或取对数二或取对数二.,0d)(lnd,d)(lnd )(的最大似然估计值解方程即得未知参数并令求导对三的最大似然

17、估计值解方程即得未知参数并令求导对三=LL对数似然方程对数似然方程26最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况.此时只需令此时只需令.,2,1,0lnkiLi?=.),2,1(,iikik的最大似然估计值数即可得各未知参个方程组成的方程组解出由的最大似然估计值数即可得各未知参个方程组成的方程组解出由?=对数似然方程组对数似然方程组27.,),1(21的最大似然估计量求个样本的一是来自设的最大似然估计量求个样本的一是来自设pXXXXpBXn?,2121一个样本值的为相应于样本设一个样本值的为相应于样本设nnXXXxxx?解解,1,0,)

18、1(1=xppxXPXxx的分布律为的分布律为似然函数似然函数iixnixpppL=11)1()(,)1(11=niiniixnxpp例例428),1ln(ln)(ln11pxnpxpLniinii+=,01)(lndd11=pxnpxpLpniinii令的最大似然估计值解得令的最大似然估计值解得 p11.niipxxn=的最大似然估计量为的最大似然估计量为p.11XXnpnii=这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.29.,),(22122的最大似然估计量和求的一个样本值是来自为未知参数设总体的最大似然估计量和求的一个样本值是来自为未知参数设总体 XxxxNXn?解解的概

19、率密度为的概率密度为X,e21),;(222)(2 =xxfX 的似然函数为的似然函数为,e21),(222)(12=ixniL例例530,)(21ln2)2ln(2),(ln12222=niixnnL=,0),(ln,0),(ln222 LL令令,0112=niinx,0)()(21212222=+=+=niixn31解得由解得由0112=niinx,11xxnnii=解得由解得由0)()(21212222=+=+=niixn,)(1212xxnnii=为的最大似然估计量分别和故为的最大似然估计量分别和故2 ,X=.)(1212XXnnii=它们与相应的矩估计量相同它们与相应的矩估计量相同.

20、32.,21的最大似然估计量求的一个样本值是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体的最大似然估计量求的一个样本值是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体baXxxxbabaXn?解解),min(21)(nlxxxx?=记记),max(21)(nhxxxx?=的概率密度为的概率密度为X=.,0,1),;(其他其他bxaabbaxf例例633,)()(21bxxabxxxahln 等价于因为等价于因为?的函数的似然函数为作为的函数的似然函数为作为ba,=其他其他,0,)(1),()()(hlnxbxaabbaL有的任意于是对于满足条件有的任意于是对于满足条件baxbxahl,)()(,)(1)(1

21、),()()(nlhnxxabbaL=34,)(,),()()()()(nlhhlxxxbxabaL =取到最大值时在即似然函数的最大似然估计值取到最大值时在即似然函数的最大似然估计值ba,min1)(inilxxa =,max1)(inihxxb =的最大似然估计量的最大似然估计量ba,min1iniXa =.max1iniXb=35.,0)(21似然估计量的最大求的一个样本是来自的泊松分布服从参数为设似然估计量的最大求的一个样本是来自的泊松分布服从参数为设 XXXXXn?解解的分布律为因为的分布律为因为X),2,1,0(,e!nxxxXPx?=niixxLi1e!)()(),!e11=ni

22、ixnxnii 的似然函数为所以的似然函数为所以 练习练习36()(),!ln)(ln11+=+=niiniixxnL,0)(lndd1=+=+=niixnL令令的最大似然估计值解得的最大似然估计值解得,11xxnnii=的最大似然估计量为的最大似然估计量为.11XXnnii=这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.37三、小结两种求点估计的方法两种求点估计的方法:矩估计法最大似然估计法矩估计法最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法在最大似然估计法使用不方便时在统计问题中往往先使用最大似然估计法在最大似然估计法使用不方便时,再用矩估计法再用矩估计法.;);();,

23、()();();,()(121121=niinniinxfxxxLLxpxxxLL?或似然函数或似然函数387.3 估计量的评选标准估计量的评选标准对于总体的同一个未知参数，由于采用的估计方法不同，可能会产生多个不同的估计量。这就提出了一个问题，当总体的同一个参数存在不同的估计量时，究竟采用哪一个更好？这涉及到用什么样的标准来评价估计量的好坏问题。对此，我们介绍几个常用的评价标准：对于总体的同一个未知参数，由于采用的估计方法不同，可能会产生多个不同的估计量。这就提出了一个问题，当总体的同一个参数存在不同的估计量时，究竟采用哪一个更好？这涉及到用什么样的标准来评价估计量的好坏问题。对此，我们介绍

24、几个常用的评价标准：无偏性、有效性和相合性。无偏性、有效性和相合性。39注意注意:无偏估计不是唯一存在.无偏估计不是唯一存在.在评价一个估计量的好坏时,我们当然希望估计量与被估参数越接近越好.但估计量是一个随机变量,它的取值随样本的观测值而变,有时与被估参数的真值近些,有时远些,我们只能从平均意义上看估计量是否与被估参数尽量接近,最好是等于被估参数.于是有无偏估计量的概念.),.,(,),.,(.),.,(:212121否则称为有偏的无偏估计的为则称若的估计量为设定义nnnXXXXXXEXXX=一、无偏性40?是的估计量，且满足?()E =，则称?是的无偏估计量。无偏性说明，不同的样本得到的?

25、不同，可能大于，也可能小于，多次抽样时，?的平均值与真实值一致。-5-4-3-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.4?()f我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性定义的合理性定义的合理性定义的合理性41例如例如 设总体设总体X的均值为，方差均未知的均值为，方差均未知,22(),()=E XE S20可知可知,是总体均值是总体均值X的无偏估计的无偏估计;22S是总体方差的无偏估计是总体方差的无偏估计.不是总体方差的无偏估计不是总体方差的无偏估计.211()=niiXXn242证明：证明：()22

26、211()()=nniiiiEXXE XnE X22111()=niinEXXnn()()()()221()()()()=+niD XE Xn D XE X()22222()1=+=nnnn不是总体方差的无偏估计不是总体方差的无偏估计.211()=niiXXn243例例1 设总体设总体X的的k阶矩阶矩 k=E(Xk)(k 1)存在,又设存在,又设X1,X2,Xn是是X的一个样本.试证明不论总体服从什么分布,的一个样本.试证明不论总体服从什么分布,k阶样本矩阶样本矩X1,X2,Xn与与X同分布,故有同分布,故有证：证：kkkiXEXE=)()(i=1,2,n),即有即有11()().nkkiki

27、E AE Xn=11nkkiiAXn=是是k阶总体矩阶总体矩k的无偏估计量。的无偏估计量。44二、有效性 一个参数的无偏估计量不是唯一的,假若参数有两个无偏估计量,我们认为其观测值更密集在参数真值附近的一个较为理想.由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度的度量,所以无偏估计以方差小者为好.这就引出了估计量的有效性这一概念.,),()(,),.,(),.,(:定义21212121222111有效比称简有较高的效率比则称使不等式成立有一个且至少有若对的无偏估计量都是与设=DDXXXXXXnn45三、相合性（一致性）估计量的无偏性和有效性都是在样本容量固定的前提下提出的.我们自然希望随着样本容

28、量的增大,一个估计量的值稳定于待估参数的真值.这就对估计量提出了相合性的要求.),.,(0|lim,0.),.,(,),;(:2121一致估计的为参数则称总有若对于任意的估计量为为待估参数有概率函数设总体定义nnnXXXPXXXxpX=lim|1nP=相合估计相合估计46对应总体的某一个样本观测值，我们可以得到点估计量的一个观测值，但是它仅仅是参数的一个近似值.由于是一个随机变量，它会随着样本的抽取而随机变化，不会总是和相等，而存在着或大、或小，或正、或负的误差.即便点估计量具备了很好的性质，但是它本身无法反映这种近似的精确度，且无法给出误差的范围.为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围，并

29、知道该范围包含真实值的可靠程度.这样的范围通常以区间的形式给出，同时还要给出该区间包含参数真实值的可靠程度.这种形式的估计称之为区间估计.7.4 区间估计7.4 区间估计47点估计有使用方便、直观等优点点估计有使用方便、直观等优点,但它并没有提供关于估计精度的任何信息但它并没有提供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法为此提出了未知参数的区间估计法.如:对明年小麦的亩产量作出估计为:若设X表示明年亩产量,则估计结果为如:对明年小麦的亩产量作出估计为:若设X表示明年亩产量,则估计结果为P(800X1000)=95%明年小麦亩产量八成为800-1000斤.明年小麦亩产量八成为800

30、-1000斤.区间估计区间估计区间估计区间估计481.区间估计的定义区间估计的定义.,1,1),(1),.,(),.,(,10,),.,(,),(:212121称为置信水平置信上限的置信一下限和分别称为置信度为和间的置信区的置信度为为参数则称区间使得量存在两个统计若对于事先给定的本的一个样为取自这个总体参数为未知具有概率函数设总体定义=nnnXXXXXXPXXXXxpX称概率为称概率为置信度或置信水平置信度或置信水平;称区间是的置信度为的;称区间是的置信度为的置信区间置信区间;分别称为;分别称为置信下限置信下限和和置信上限置信上限.1 1,(,)(;),F x 注意注意:点估计给出的是未知参数

31、的一个近似值点估计给出的是未知参数的一个近似值;区间估计给出的是未知参数的一个近似范围区间估计给出的是未知参数的一个近似范围,并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度.49.)%1(100),.,(),.,(,2121的区间包含未知参数大约有这些区间中将得到许多不同的区间在重复取样下nnxxxxxx.,1),.,(),.,(:2121则犯错误的概率为的真值含着参数包区间因此若认为的真值的概率为包含参数区间随机解释为的区间估计的意义可以参数nnXXXXXX()1212(,.,),(,.,)nnXXXXXX(,)502.求置信区间的方法与步骤求置信区间的方法

32、与步骤:对于给定的置信度1,怎样根据样本来确定未知参数的置信区间),(21,就是参数的区间估计问题.求未知参数的置信区间的步骤如下：(1)构造一个含有未知参数而不含有其他未知参数的样本函数(随机变量),(21nXXXWW?=，且已知其分布.(2)对给定的置信度1，根据);,(21nXXXW?的分布定出分位点 a 和 b，使得=1),(21bXXXWaPn?枢轴量枢轴量(,)51(3)从不等式bXXXWan);,(,21?中解出，得出其等价形式 ()()nnXXXXXX,212211?这时必有于是),(21即为的置信度为1的置信区间.1212(,.,)(,.,)1nnPXXXXXX=1212(,

33、.,)(,.,)nnXXXXXX(,)52例1例1设总体设总体XN(,2),其中其中2已知已知,X1,X2,Xn为为X的一个样本,求一个区间使之以的一个样本,求一个区间使之以1-的概率包含的概率包含的真值.的真值.解:解:(1)选择包含(1)选择包含的分布已知函数的分布已知函数:(2)构造(2)构造Z的 一个的 一个1-区间区间:不妨设不妨设2 z=21)(2=z即即=1)/(22znXzPnXZ/=)1,0(N=1)(ZP53(3)变形得到(3)变形得到的的1-置信区间:置信区间:=+=+1)(22nzXnzXP),(22nzXnzX+所求所求1-置信区间为置信区间为P(|Z|)=1-/2/

34、2X(x)1-=z/2-54满足同一置信度的置信区间可能有很多个，如例 1 中，置信度为 95%(=0.05)的置信区间为1.96,1.96(3)XXnn+对 于 任 给 的1,2(02,11)只 要1+2=5%,记相应的上1,2分位点为1u和2u则所确定的区间21,XuXunn+都是的置信度为 95%的置信区间，55例如，取2=0.02,1=0.03,得置信区间为2.06,1.88(4)XXnn+在众多区间中，应取哪一个？注意到置信度相同的置信区间的长度往往不同，例如，区间(1)的长度和区间(2)的长度分别为2 1.963.92nn=和(1.882.06)3.94nn+=置信区间越短越好.一

35、般来说,置信区间取成对称区间置信区间越短越好.一般来说,置信区间取成对称区间.56几点说明几点说明置信区间的长度越小，估计的精度越高反映了估计的精度.置信区间的长度越小，估计的精度越高反映了估计的精度.12121.1.反映了估计的可靠程度，反映了估计的可靠程度，越小，越可靠越小，越可靠 越小，1越小，1-越大，估计的可靠程度越高，但这时，越大，估计的可靠程度越高，但这时，122.2.往往增大，因而估计的精度降低往往增大，因而估计的精度降低 确定后，置信区间的选取方法不唯一，常选最小的一个.确定后，置信区间的选取方法不唯一，常选最小的一个.3.3.在求参数的置信区间时，一般先保证可靠性在保证可靠

36、性的基础上，再提高精度通常，增大样本容量可以提高精度在求参数的置信区间时，一般先保证可靠性在保证可靠性的基础上，再提高精度通常，增大样本容量可以提高精度4.4.573.单个正态总体均值和方差的区间估计:3.单个正态总体均值和方差的区间估计:(1)选择包含(1)选择包含的分布已知函数:(2)构造的分布已知函数:(2)构造Z的 一个的 一个1-区间:区间:=1)/(22znXzPnXZ/=)1,0(N(3)变形得到(3)变形得到的的1-置信区间:置信区间:),(22nzXnzX+设总体设总体XN(,2),X1,X2,Xn为一组样本，为一组样本，1）1）2已知,求已知,求的置信度为的置信度为1-置信

37、区间：置信区间：582）2）2未知,求未知,求的置信度为的置信度为1-置信区间：置信区间：(1)选择包含(1)选择包含的分布已知函数:(2)构造的分布已知函数:(2)构造T的 一个的 一个1-区间:(3)变形得到区间:(3)变形得到的的1-置信区间:置信区间:nSXT/=)1(nt =1)1(|(|2/ntTP/2/2(1)(1)1SSP XtnXtnnn+=)1(,)1(2/2/nSntXnSntX+59(1)选择包含(1)选择包含2的分布已知函数:(3)变形得到的分布已知函数:(3)变形得到2的的1-置信区间:置信区间:222)1(Sn=)1(2 n=1221P2222212(1)(1)(

38、1)1nSPnn=)1()1(,)1()1(2122222 nSnnSn(2)构造的 一个1-区间:(2)构造的 一个1-区间:2 3）总体均值未知,求3）总体均值未知,求2的置信度为的置信度为1-置信区间：置信区间：60例2:设总体例2:设总体XN(,0.92),),X1,X2,X 9为来自总体的简单随机样本，样本均值为为来自总体的简单随机样本，样本均值为5，求，求的置信度为的置信度为95%的置信区间。例3:设总体的置信区间。例3:设总体XN(,2),),X1,X2,X 9为来自总体的简单随机样本，样本均值为为来自总体的简单随机样本，样本均值为5，样本方差为1，求，样本方差为1，求的置信度为

39、的置信度为95%的置信区间。例4:设总体的置信区间。例4:设总体XN(,2),),X1,X2,X 9为来自总体的简单随机样本，样本均值为为来自总体的简单随机样本，样本均值为5，样本方差为1，求，样本方差为1，求2的置信度为的置信度为95%的置信区间。的置信区间。61解:解:由题意得:由题意得:,05.0,9.0,522=X),(22nzXnzX+n=9z0.025=1.96,=nzX 24.412,=+=+nzX 25.588,所求置信区间为所求置信区间为(4.412，5.588)解:解:由题意得:由题意得:25,1,0.05,XS=22(,)SSXtXtnn+n=9t0.025(8)=2.3

40、062SXtn=4.231,2SXtn+=5.769,所求置信区间为所求置信区间为(4.231，5.769)62解:解:由题意得:由题意得:21,0.05,S=2222221(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnnn=9222(1)(1)nSn=0.456,2221(1)(1)nSn=3.670,所求置信区间为所求置信区间为(0.456，3.670)20.025(8)17.534=20.975(8)2.180=63A.两个正态总体均值差的区间估计:A.两个正态总体均值差的区间估计:设第一个总体设第一个总体XN(1,12),第二个总体第二个总体Y N(2,22),X,Y相互独立,从中分别抽取容

41、量为相互独立,从中分别抽取容量为n1,n2的样本,样本均值和样本方差分别记为的样本,样本均值和样本方差分别记为.,;,2221SYSX4.正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计64(2)构造(2)构造Z的 一个的 一个1-区间:(3)变形得到区间:(3)变形得到1 1-2 2的的1-置信区间:置信区间:=1)(22zZzP)(,)(22212122221212nnzYXnnzYX+1)1)12,22已知,已知,1-2的的1-置信区间:置信区间:)1,0(/)()(22212121NnnYXZ+=+=(1)选择包含(1)选择包含1-2的分布已知函数:的分布已知函数:652)2)

42、12=22=2,2未知,未知,1-2的的1-置信区间:置信区间:)2(/1/1)()(212121+=+=nntnnSYXTw(1)选择包含(1)选择包含1-2的分布已知函数:(2)构造的分布已知函数:(2)构造T的 一个的 一个1-区间:(3)变形得到区间:(3)变形得到1-2的的1-置信区间:置信区间:)11)2()(,11)2()(21212/21212/nnSnntYXnnSnntYXww+=+1)2(|(|212/nntTP66(1)选择包含(1)选择包含12/22的分布已知函数:(2)构造的分布已知函数:(2)构造F F 的 一个1-的 一个1-区间:(3)变形得到区间:(3)变形

43、得到12/22的的1-置信区间:置信区间:2211122222/(1,1)/SF nnS)1,1(2121 nnF)1,1(212 nnF P(1F 2)=1-221122121222122111111SSF nnFnnSS(,)(,)(,)/2211(1,1)FnnB.两个正态总体方差比B.两个正态总体方差比12/22的的1-置信区间:置信区间:12,未知,未知,2211212212222211111SSF nnF nnSS(,(,)(,)67例:例:随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些样本，测得蓄电池的电容量)(hA如下 甲厂：137,138,143,141,142,138,141,1

44、44 乙厂：136,142,138,140,141,138,140,139,143,142 设两厂生产的蓄电池电容量分别服从正态总体),(211N，),(222N，两 样 本 独 立.若 已 知25.2,45.22221=，求21的置信度为 0.95 的置信区间.例例5:68故21的 置 信 度 为0.95的 置 信 区 间 为(-0.8286,2.029)(hA.解解1220 0258101 96nnzz=/.,.求得,5.140=x9.139=y22122122 452 251 961 42858810znn+=+=/.6.0=yx22221212121222(),()+x yzx yzn

45、nnn69例:例:随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些样本，测得蓄电池的电容量)(hA如下 甲厂：137,138,143,141,142,138,141,144 乙厂：136,142,138,140,141,138,140,139,143,142 设两厂生产的蓄电池电容量分别服从正态总体),(211N，),(222N，两样本独立，若已知22221=，但2未知.求21的置信度为 0.95 的置信区间.例例6:701199.2)16(,05.0,36.21697025.02221=+=tsssw故21的 置 信 度 为0.95的 置 信 区 间 为(-1.77,2.97)(hA.解解10,82

46、1=nn求得57.6,5.14021=sx77.4,9.13922=sy6.0=yx12110.474+=nn/212/21212121111()(2),()(2)+wwx ytnnSx ytnnSnnnn71例:例:随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些样本，测得蓄电池的电容量)(hA如下 甲厂：137,138,143,141,142,138,141,144 乙厂：136,142,138,140,141,138,140,139,143,142 设两厂生产的蓄电池电容量分别服从正态总体),(211N，),(222N，两样本独立.若两个总体的方差2221，现求2221的置信度为 0.95 的置

47、信区间.例例7:72故此算得2221的置信度为 0.95 的置信区间为(0.33,6.56).解解10,821=nn求得57.6,5.14021=sx22121.377=ss查表得,20.4)9,7(025.0=F0.025(9,7)4.82=F2211212212222211111ssF nnF nnss(,(,)(,)77.4,9.13922=sy73 作业：1，2(1),3(1)16,18 22,21,23 周三针对第5、6、7章进行课堂测验74,作区间估计，得到置信度作区间估计，得到置信度95%的置信区间，其意是指这个区间（）（）平均含总体的置信区间，其意是指这个区间（）（）平均含总体

48、95%的值；（）平均含样本的值；（）平均含样本95%的值；（）有的值；（）有95%的机会含的机会含 的值；（）有的值；（）有95%的机会含样本的值的机会含样本的值2(,)X N 对总体的均值对总体的均值C练习1.75，样本方差为，样本方差为S2,则,则),(2NX1 的置信的置信2(1)SXtnn 在正态总体中取一样本，容量为在正态总体中取一样本，容量为n n，区间为（）样本均值为，区间为（）样本均值为练习2.76nXXX,21?),(2NX212222122(1)(1),(1)(1)nSnSnn 设是来自的样本，在未知的情况下，对给定的的置信区间是（），则设是来自的样本，在未知的情况下，对给定的的置信区间是（），则练习3.77练习4.X设总体 具有分布律P321X22(1)2(1)12301)1,2,1,xxx=其中，（是未知参数，已知取得样本值试求 的矩估计值和最大似然估计值。