股票价格服从跳_扩散过程的期权定价模型_宁丽娟.pdf

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1、收稿日期:2003203210基金项目:国家自然科学基金资助项目(49771007,40141002)作者简介:宁丽娟(1977),女,陕西凤翔人,陕西师范大学助教,硕士研究生文章编号:100123857(2003)0420016204股票价格服从跳2扩散过程的期权定价模型宁丽娟,刘新平(陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西 西安710062)摘 要:研究了股票价格的行为模型问题.假定股票价格的跳过程为一类特殊的更新过程,建立了股票价格服从跳2扩散过程的行为模型.在风险中性的假设下,推导出了基于股票的欧式期权定价公式.关键词:更新过程;扩散过程;Gamma分布;Possion过程;期权定价中图

2、分类号:O211163 文献标识码:AF.Black和M.Scholes1973年发表了题为“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”的著名论文1,其核心的期权定价模型就是著名的Black2Scholes期权定价模型,该模型假设股票价格服从几何布朗运动,而通过分析股票价格的行为过程,发现股票价格的变化并不总是连续的,随后R.C.Merton首先建立了股票价格的跳 2扩散过程行为模型2.本文假定跳过程为比Possion过程更一般的跳过程 一类特殊的更新过程,以此建立了股票价格为跳 2扩散行为模型,推导出欧式期权定价公式,从而推广了文献2的

3、结果.1金融市场模型定义13Possion过程的到达时间间隔是独立同分布的服从指数分布的随机变量.如果顾客到达的时间间隔是独立同分布的随机变量,但其分布为任意分布,这样得到的计数过程就为更新过程.下面定义本文中提到的一类特殊的更新过程.定义2(Ti)i0是独立同服从Ga(,)(0,0)的随机变量序列,令 n=ni=1Ti,(1)则计数过程 Nt=supnnt,t0(2)为一类特殊的更新过程.定理1如果(Nt)t0是一类特殊的更新过程,则P(Nt=n)=n(n)t0 xn-1e-xdx-(n+1)(n+1)t0 x(n+1)-1e-xdx,n=0,1,(3)第31卷 第4期陕西师范大学学报(自然

4、科学版)Vol.31No.42003年12月Journal of Shaanxi Normal University(Natural Science Edition)Dec.2003当为正整数时P(Nt=n)=S=1(t)(n+1)-S(n+1)-S)!e-t,n=0,1,2,(4)特别地,当=1时P(Nt=n)=(t)nn!e-t,n=0,1,2,(5)并且此类特殊的更新过程的强度为,其中 (S)=+0 xS-1e-xdx,s 0.证明 利用Gamma分布的可加性,n=ni=1TiGa(n,),密度为(x)n-1(n)e-x1 x 0.P(Nt=n)=P(nt)-P(n+1t)=n(n)t0

5、 xn-1e-xdx-(n+1)(n+1)t0 x(n+1)-1e-xdx.当为正整数时P(Nt=n)=n(n-1)!t0 xn-1e-xdx-(n+1)(n+1)-1)!t0 x(n+1)-1e-xdx=n(n-1)!t0 xn-1e-xdx-S=1(t)(n+1)-S(n+1)-S)!e-t-n(n-1)!t0 xn-1e-xdx=S=1(t)(n+1)-S(n+1)-S)!e-t.当=1时,由(4)可得(5).由于更新过程的强度3为1E(T1),这里E(T1)=,故此更新过程的强度为.假设市场上存在两种可连续交易的证券,一种为风险证券,称为股票.在风险中性概率测度下,其价格过程St满足随

6、机微分方程dStSt=rdt-vdn=0nPn(t)+dWt+UdNt,(6)其中r为瞬时无风险利率;为无跳时股票价格的波动率;Wt是标准的布朗运动;U(U -1)为股票价格发生跳跃时股票价格的相对跳跃高度,为随机变量;vdn=0nPn(t)是由更新跳跃带来的平均增长;v=E(U),其中E为期望算子.由Dolease2Dade指数公式,方程(6)的解为St=S0Nti=0(1+Ui)expr-22t-vn=0nPn(t)+Wt,(7)其中Ui为i时刻股票价格的相对跳跃高度,U1,U2,是独立同分布的随机变量.另外一种为无风险证券,称为债券,其价格过程S0t满足微分方程dS0tS0t=rdt,S

7、00=1,第4期宁丽娟 等:股票价格服从跳 2扩散过程的期权定价模型17故0时刻价格为1的债券在t(t 0)时刻的价格为S0t=ert.2期权定价公式如果X为欧式看涨期权,K为股票的执行价格,T为期权的到期日,若记看涨期权在t时刻的价值为C(t,St),在等价鞅测度下,假定?St=e-rtSt为鞅4,则有定理2设St满足随机微分方程(6)的股票价格行为过程,到期日为T,执行价格为K的欧式看涨期权在t时刻的价格C(t,St)为C(t,St)=k=0Pk(T-t)kStki=0(1+Ui)e-vn=0nPn(T-t)(d1)-Ke-r(T-t)(d2).(8)其中 d1=lnStki=0(1+Ui

8、)K+r+22(T-t)-vn=0nPn(T-t)T-t,d2=d1-T-t.证明 X为欧式看涨期权,则X=f(ST)=(ST-K)+,在等价鞅测度下,C(t,St)=e-r(T-t)E(f(ST)=e-r(T-t)EfStNT-ti=0(1+Ui)expr-22(T-t)-vn=0nPn(T-t)+WT-t=e-r(T-t)k=0Pk(T-t)kYfStki=0(1+Ui)ey+r-22(T-t)-vn=0nPn(T-t)12(T-t)e-y222(T-t)dy,(9)其中F(yi)是Ui的分布函数,k是关于ki=0(1+Ui)分布的期望算子,对于欧式看涨期权有C(t,St)=e-r(T-t

9、)k=0Pk(T-t)k+-(Stki=0(1+Ui)ey+(r-22)(T-t)-vn=0nPn(T-t)-K)+12(T-t)e-y222(T-t)dy=k=0Pk(T-t)k(Stki=0(1+Ui)ey-22(T-t)-vn=0nPn(T-t)-Ke-r(T-t)12(T-t)e-y222(T-t)dy,(10)其中 =-r-22(T-t)-lnStki=0(1+Ui)K+vn=0nPn(T-t).又 Stki=0(1+Ui)ey-22(T-t)-vn=0nPn(T-t)-Ke-r(T-t)18陕西师范大学学报(自然科学版)第31卷12(T-t)e-y222(T-t)dy=Stki=0

10、(1+Ui)e-vn=0nPn(T-t)-2(T-t)T-t-Ke-r(T-t)-T-t.(11)令 d1=lnStki=0(1+Ui)K+r+22(T-t)-vn=0nPn(T-t)T-t,d2=d1-T-t,可以得到C(t,St)=k=0Pk(T-t)kStki=0(1+Ui)e-vn=0nPn(T-t)(d1)-Ke-r(T-t)(d2).于是定理得证.根据看涨期权与看跌期权的平价关系,可以得到欧式看跌期权的价格.本文在假定跳过程为一类特殊更新过程,在股票价格服从跳 2扩散过程的基础上,推导出欧式期权定价公式,在定理2中,当=1时,(Nt)t0即为Possion过程,从而推广了文献2的结

11、果.参考文献:1 Black F,Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities J.Journal of Political Economy,1973,81:637654.2 Merton R C.Option pricing when underlying stock Return are discontinuous J.Journal of Economics,1976,3:125144.3刘嘉火 昆.应用随机过程M.北京:科学出版社,2000.6162.4约翰 郝尔.期权、期货和衍生证券M.张陶伟 译.北京:华夏出版

12、社,1997.178179.责任编辑 张惠民Option pricing model when stock pricing processis a jimp2diffusion processNINGLi2juan,LIU Xin2ping(College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xian 710062,Shaanxi,China)Abstract:Assuming jump process is a kind of special renewal process,it is establ

13、ished that theoption pricing model in which the stock pricing process is jump2diffusion process.The Europeanoption pricing equation is deduced under the risk2neutral hypothesis.Key words:renewal process;diffusion process;Gamma distribution;possion process;optionpricing第4期宁丽娟 等:股票价格服从跳 2扩散过程的期权定价模型19