轻松学统计(3).pdf

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1、轻松学统计（3）作者：张忠朴 1.学以致用 第三次上课的进度是统计的推定，以前作菜鸟老师时，一上课一定先正经八百的在黑板上先写下这五个字，这是什么东东？学生暗自滴咕，这一滴咕教室的气氛马上凉了一半，等到学生们的学习热情被浇熄之后，才再来冷灶热烧，那就累了。教书教久了，才体会到一上课最好先把场子炒热，这样教到主题才会事半功倍，所以先丢个可以暖场的问题给他们。你们知不知道在美国统计专家密度最高的城市是那一个？?!大家既有兴趣却又茫然。猜猜看嘛！试着再鼓励他们 老师，可不可以给一点提示？又开始讨价还价了。好，那个城市在沙漠之中，虽然不大但国际驰名 是不是拉斯维加斯？马上有人兴奋抢答。答对了，但是为什

2、么那个鸟不生蛋的地方会吸引一票统计专家呢？是不是和赌有关？对！但是赌和统计有什么关系呢？如果能设计一种游戏让大家都认为自己很容易赢，那就会吸引一票傻蛋。没错，那些在赌城的统计专家，其实就是专门帮赌场设计那些表面看起来吸引力十足，但事实上庄家最后必赢的游戏，由此可见统计并不只是艰深的理论，它更可以应用在生活之中，所以今天就让我们来想一想如何将统计用在工厂之中好吗？好！大家都显得兴奋莫名，这十足表现了中国人见赌心喜的本性。那你们认为在工厂中会赌那些事呢？赌“席芭啦”！这个回答马上引起全班哄堂大笑。赌“席芭啦”，你疯啦！工厂不但不感激你还会开除你，如果你不想被开除那么还是趁早赌点正经的。再逼着刚才那

3、位捣蛋鬼把聪明用上正途，他把手上的原子笔当作竹蜻蜒转了两圈之后，若有所悟 在生管单位决定发料数量时，他们是不是会先赌一下这批产品的良品率？没错，这是正经赌法之一，但是统计还有没有其它的用途呢？同学又陷入了沈思，沉思后有人灵光一闪 老师，会不会有的公司要赌一下产品出厂后的平均使用寿命，以免将来客户抱怨连连？太棒了，这件事不但要赌，而且还要算的非常精确，不然很可能就会大祸临头，归纳刚才两位同学的想法，我们可以发现一个共同点，那就是他们都在想一个如何用统计来作预测的问题，这种用统计来作预测的问题，术语就叫做“推定”(Estimation)。2.未卜先知 在统计应用上，推定占了一席非常重要的地位，尤其

4、像在订货生产的公司，如果生管无法推定出报废率来作发料宽放的依据，那么不是会造成无效良品的麻烦，就是会搞出数量不足延误出货的飞机，前者会造成资金的浪费，后者会引起客户的抱怨，都很糟糕的事，为了不要将来倒霉，所以让我们现在就来学推定好不好？好！学生的眼睛慢慢亮了起来，但是我却反而不想马上让他们如愿以偿，因为 Easy Coming，Easy Go 本来就是教学大忌。所以决定先拿一个问题来钓他们 请问推定和凭空瞎猜有什么不同？凭空瞎猜可以毫无根据，但是推定可能需要严谨一点 请问您说严谨是什么意思？就是说推定的值要先有一些根据 你的意思是不是说，被推定的未知状况必须要先根据一些看得见的己知结果而来？对

5、！我就是这种想法 好极了，刚才这位同学的想法其实就是推定的起点，任何推定都必须先根据一些样本的数据来作推衍的基础，我们不妨先来看一个例子 某公司希望能预测其产品厚度之范围，试问应如何下手？及考虑那些因素？假设已量测 25 个成品，其厚度分别为（单位：mm）：53 48 54 51 48 52 46 50 51 49 47 55 52 53 47 51 50 50 48 52 50 48 52 49 47 参考此数据在若 95%的把握下，请问该公司成品平均厚度在何范围内？现在我们有了 25 组数据，那么请问下一步我们该怎么办？计算 他们已很清楚的了解统计就是数据透过计算产生出有意的情报。没错，此

6、例经过计算之后我们得到=50.12 =2.403 接下来下一步该怎么辨呢？老师，下一步是不是就要回答 95%的产品厚度范围有多宽了？没错，但是这该如何推测 老师，如果您能够告诉我们 95%的产品被含盖在几个 之内，我们就可以推测出它的范围 利害！利害！这个学生不但学会了用反问法来脱身这一招，而且反问的还是一个命中要害的问题，但是老姜当然自有辣法，所以仍要四两拨千金一下 这位同学的想法的确很高明，他的想法是机率和多少个 之间一定会有关系，而且彼此一定可以换算，这个想法其实就是常态分配机率论的基础，因此现在让我们来看一下常态分配机率表(如附表一)，这个表的纵轴是到小数点第一位的 个数值，横轴则是小

7、数点第二位的 个数值，而表内的数字就是图中斜线区的机率，现在请大家一起来想一想 95%的产品应含盖在多少个 之内？同学们纷纷努力思索，个个都想拔头筹，结果居然还是刚才反问我的学生找到了答案。老师，是 1.96 个 他与奋的大叫。没错，但是您是如何找到的呢？老师，我先算出斜线的机率是 2.5%也就是 0.025，然后我就查表.等一下我先打断他的话，能不能请你先说明一下 0.025 的来龙去脉？老师，因为这个题目要预测的范围 95%，而斜线区正代表此范围之外的机率，因此两边斜线区加起来的机率应该是 5%(100%-95%)，而如果我们假设左右斜线区各占一半，那么单一斜线区的机率，就是2.5%也就是

8、 0.025 很好，然后呢？然后我就先在常态分配机率表中找到 0.025 这个数字。从这个数字往左看对应的纵轴数字是 1.9，而往上对应的横轴数字是 6.0，参考老师刚才的说明，我就得到了 1.96 个 的答案。他一面说明，其它的同学纷纷点头，看到这种感人的场景，我不禁明白其实在学习中导引学生领悟，反而比口沫横飞的填鸭法还更有效呢！看到学生都若有所悟，这时该给他们更大的成就感，既然，大家都已明白 95%的产品是被含盖在1.96 个 之内，所以我们现在可以更确实地回答原来的问题了吗？老师，95%产品的平均厚度会落在 50.12 1.96x2.403 之间大家几乎是异口同声地回答了这个在 15 分

9、钟之前还摸不着头绪的问题，这真是学习的一大兴趣。3.康庄大道 用实例可以帮助我们走过前人推理的思维过程，但是实例仍然有它的限制性，因此若要能举一反三触类旁通，那就必须在大家明白实例之后，再将其中的精华从表象中抽离出来(这就所谓的抽象)，成为一种可以反复运用的模型，因此，必须利用学生破解例子后兴高彩烈的时刻，顺便将他们带入推定的理论模型。同学们，你们希望将来无论遇到任何统计推定的问题时都能迎刃而解吗？希望兴奋的响应。那我们来重新整理一下刚才的过程好吗？好！请回想一下，刚才这个过程和我们的第一节统计课有什么关系？老师，整个讨论好象还是延着 IPO 的过程在进行嘛！一位平常蛮沈默的同学倒先发言了。好

10、极了，这是正确的观察，于是又在黑板上画出了。IPO 程序图，只是比以前又多加上三个空的框框 然后，反身问同学 你们猜老师刚才多加的框框内该填什么？老师，答对了有没有奖品？教室气氛一好，同学居然会开始撒娇了。跟我来这套！当然有奖品啊！答对的，下课时，可以先来擦黑板。吐嘈回去，反而逗得全班同学大乐。请问您还要不要先抢答？老师，如果擦黑板是奖品，那擦黑板也没有关系，我猜第一个框框内应该填“样本值”也就是刚才那个例子中的 25 个样本的厚度值。答对了，请大家给这位自告奋勇擦黑板的同学掌声鼓励好不好？热烈的掌声让那位同学好不得意。那么第二个框框内该填什么呢？马上有同学举手，我故意逗他你也想来擦黑板啊？他

11、嘿嘿傻笑，真是老实的可爱，于是帮他解围 好，那请你先告诉大家你认为第二个框框内该填什么？该填统计量就是和 连回答都很老实。又答对了！这时同学的掌声己自动响起，真是一群会互相鼓励的学生。那第三个框框该填什么呢？这个问题似乎让有些同学很为难，看到他们痛苦的表情，不免又大动侧隐之心，于是说：老师也想擦黑板，所以最后一个框框可不可以由老师替大家来回答？老师，没有关系，你替我答，我替你擦黑板一位同学马上很阿莎力的响应。好，那我们一言为定，第三个框框请填“推定结论”也可直接写成“95%的产品厚度在1.96 的范围内”顺便我又在黑板的另一边写下“推定的步骤”五个大字，然后转身告诉同学 刚才三个框框的推理过程

12、其实就是统计推定的步骤。然后我转身在黑板上写上：步骤 1.随机抽取样本 步骤 2.计算统计量(，)步骤 3.作出推定结论，下结论时可再细分成两步骤 步骤 3A.决定信赖水准(Level of Confidence,此例为 95%)步骤 3B.决定信赖区间(Confidence interval,此例即为1.96)请各位记得这几个步骤，那么将来无论你们遇到什么推定的问题都可以很容易地迎刃而解了 由于各位上课很认真尤其又肯热烈参与讨论，所以我再送各位一套锦囊，好不好？老师，那我也替你来擦黑板严肃的班长居然也学会幽默了，这下非倾囊相授不可，打开投影机，影幕上出现了 常用信赖区间与个数对照表 信赖水准

13、 含盖个数 信赖区间 90%1.645 1.645 95%1.96 1.96 99%2.575 2.575 99.73%3 3 这张表其实就是从刚才的常态分配机率表上整理出来的，如果将来各位碰上一些特殊的信赖水准，只要回去查表也一定会得到答案的。4.精益求精 虽然下课时间快到了，但是看着他们眼眸中的热情，我就舍不得不再多教他们一点，使他们能真正成为善用推定的高手。同学们，统计的推定好不好玩啊？粉好玩！居然有人学董月花。粉好玩的事有时候反而粉危险，其中最大的危险就是说不定您的推定会贡姑，换句话说实际结果与您的推定可能会有很大的出入，请各位想想看，为什么会出现这种状况？老师，会不会是样本有问题？你

14、认为样本可能会出现什么问题？会不会所谓的样本其实不太具有代表性？能不能举例说明？譬如样本是工程师在实验室作出来的，而将来实际大量生产的产品却是由生产线上的作业员生产的，这两者之间有许多不同，不知道这是不是就会造成推定贡姑？太好了，这位同学的想法正是推定步骤 1 在样本抽取上的大忌，像刚才他举的例子，如果我们要推定一般的量产能力，结果却选取了工程师的特制产品来作样本，这种样本就叫做偏差样本（Biased Sample），用已有偏差的样本来作推定，那当然会缪以千里了 老师，那我们该怎么办？最具体可行的办法，就是随机抽样（Random Sampling），换言之，以刚才的例子我们其实应该让生产线的所

15、有在制品都有相同被抽中的机会，这样抽出的样本就可称为不偏样本（Unbiased Sample），从不偏样本得到的推论才会具有代表性，这就是统计学家为何一再强调必须随机抽样（Random Sampling）的原因了。当大多数同学正陶醉在若有所悟时，却有一位同学狡黠地问了另一个问题 老师，偏差样本是推定中唯一的陷阱吗？那你认为呢？反将他一军。我猜应该还有别的。别的又会是什么呢？再用一次不偾不启的老招。刚才老师提到的第一个陷阱是有关样本品质（Quality）的问题，所以我推想可能也有与品质相对的样本数量（Quantity）问题，不知道这种猜测是否合理？当一群学生学会思考，而且肯深入思考时，其实他们本

16、来就有机会无师自通的，眼前就是一个最佳例证。好极了，你的推论的确有道理，但是能不能再想一想是样本大时推定比较准？还是样本小时推定比较准？当然是样本愈大愈准啰！为什么？因为如果样本量愈来愈大，大到与全部产品一样多时，那么推定结果其实就和实际结果完全一样了嘛！这样当然最准啰！他那种无师自通的悟道神情，条条有理的陈述，不禁引爆了全班同学的掌声。太好了，推定的精确性（Precision）的确是由样本大小（n）来决定的，但是我们真的能让样本不断加大吗？版权所有寻智专业顾问有限公司 不行！为什么？因为这样成本会愈来愈高。答对了，如果有成本限制而我们又不太希望牺牲推定的精确性，那这就是统计学家所研究的最小样本数的问题，一般如果是用计量值（如上例的厚度）来作推定，那么最小样本数不应小于 25（n25），是一个应该被遵循的游戏规则。下课钟声正好又在高潮中响起，这次学生倒没有匆匆赶出教室，有几位反倒跑上讲台来抢擦黑板，这真是一群可爱的学生。黑板要擦的粉干净才可以下课哦！故意再开个玩笑来表达对这群可爱学生的欣喜。