高中物理竞赛辅导参考资料系列 十四 气体分子热运动的统计规律.pdf

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1、气体分子动理论PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 本章内容Contentschapter 14气体压强与温度的统计意义气体压强与温度的统计意义平衡态 概率 统计平均值平衡态 概率 统计平均值equilibrium state,probabiility,statical mean quantitystaticalmeanningof gas pressure and temperature玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律Boltzmann distribution麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律maxwellspeed distribution气体分子的平均自由程气体分

2、子的平均自由程mean free path of gas molecularPDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 平衡态一气体系统若不受外界影响（无物质和能量交换）或只受恒定的外力场作用的条件下，气体系统的宏观特性（如温度、压强等）长时间不随时间改变的状态称为平衡态。处于平衡态中的气体，其分子仍不停作热运动，但其总体平均效果不随时间改变，是一种动态平衡。平衡态概率平衡态概率统计平均统计平均值值平衡态概率平衡态概率统计平均统计平均值值PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 物态参量不受（或忽略）恒定外力场作用时，平衡态气体各部分的宏观性质是均匀的；只

3、受恒定外力场作用时，平衡态气体的密度并不均匀。但这两种情况下气体的宏观性质都不随时间变化。本章除玻耳兹曼分布一节考虑恒定重力场作用外，均忽略恒定外力场的作用。描述平衡态的参量称为物态参量或态参量。如体积、压强、温度等。PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 微观与宏观量描述单个分子特征的量（大小、质量和速度等）。描述单个分子特征的量（大小、质量和速度等）。气体的微观量单个气体分子的运动具有偶然性和随机性。单个气体分子的运动具有偶然性和随机性。气体的宏观量表征大量分子宏观特征的量（体积、压强和温度等）。表征大量分子宏观特征的量（体积、压强和温度等）。大量分子运动的集体表现具

4、有统计规律性。大量分子运动的集体表现具有统计规律性。气体的宏观量是大量分子行为的统计平均表现热现象与物质的分子运动密切相关。大量分子的无规则运动称为分子的热运动。PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 物态方程物态参量之间所满足的关系式称为物态方程理想气体的物态方程：1标准大气压（1atm)=1.103 10 Pa热力学温度=（摄氏温度t+273.15)注8.31气体的压强单位：帕气体的体积单位：立方米气体的热力学温度单位：开气体的质量单位：千克气体的摩尔质量单位：J mol K气体常数摩尔mol千克PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 续上理想气

5、体的物态方程：对一定量(mol)的气体三者只要给定两个就确定了一个平衡态图中的一点代表一个平衡态若气体受外界影响，某平衡态被破坏，变为非平衡态。物态随时间而变化称为过程。图不能表示非平衡态，也不能表示这种非平衡情况下的动态变化过程。PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 准静态过程准 静 态 过 程准 静 态 过 程若经历非平衡过程后可以过渡到一个新的平衡态，此过程称为弛豫，所需时间称为弛豫时间。若过程进行得充分缓慢，使过程中的某一状态到相邻状态的时间比弛豫时间大得多，则每一中间态都可近似地看作平衡态。这样的过程称为准静态过程。准静态过程平衡态平衡态图中的过程曲线，都是准

6、静态过程曲线。PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 概率概率统计平均值概率统计平均值概率在所有可能发生的事件中，某种事件发生可能性（或相对机会）的大小。某事件X出现的概率事件X出现的次数试验总次数在很多次的试验中概率定义式概率定义式若可能事件有种则种可能事件发生的总次数试验总次数各种可能事件的概率之和等于1。称为概率的归一化条件。归一化条件归一化条件PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 概率密度函数等概率假设等概率假设在气体动理论中经常用到一些等概率假设，如假设处于平衡态的气体，每个分子出现在容器内任何一点处的概率相等；每个分子朝各个方向运动的概

7、率相等（如在直角坐标中，分子速度的三个分量的各种统计平均值相等）等。事件出现在事件出现在内的概率内的概率与的位置和与的位置和的大小有关的大小有关称称概率密度概率密度或或概率密度函数概率密度函数在附近单位间在附近单位间隔内出现的概率隔内出现的概率若表示事X的量可连续变化（例如在某些随机因素影响下，多次测量某电机的转速可能在某一范围内变化）。概率密度函数概率密度函数若函数若函数的形式已知的形式已知则则PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 统计平均值对某量进行次测量，测量值出现次数测量值乘以出现次数 的统计平均值若值可连续变化则连续变量的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分

8、。PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 气体微观模型气体的压强与温度的统计意义气体的压强与温度的统计意义气体的压强与温度的统计意义气体的压强与温度的统计意义一、理想气体的微观模型气体分子的大小与分子间的平均距离相比可以忽略。分子除碰撞瞬间外，无其它相互作用。碰撞视为完全弹性碰撞。这是由气体的共性抽象出来的一个理想模型。在压力不太大、温度不太低时，与实际情况附合得很好。PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 理想气体压强二、理想气体的压强公式宏观：器壁单位面积所受的压力微观：大量气体分子频繁碰撞器壁对器壁单位面积的平均冲力标准状态下气体的分子数密度的

9、数量级为个亦即个其数量之多已能很好满足微观统计的要求要考虑分子速度（大小及方向）不同的因素对各种不同速度间隔的分子碰壁冲量求和考虑单位时间作用在单位面积上的冲量就是压强运用统计平均值及平衡态概念得到压强与微观量的关系推导思路PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 压强公式推导容器盛同种气体，分子质量，居平衡态射向器壁面元的某分子束碰壁后反射（不与法向平行的速度分量，其相应的动量无变化）速度速度为为的的某某分子分子弹碰中弹碰中的动量的动量变变化化为为反X向在在时时间内间内，入射，入射分子分子束斜园柱束斜园柱体体的体积的体积中中速度速度基本为基本为的分子的分子，都能碰撞器壁，

10、都能碰撞器壁一一次次。其光光滑滑器器壁壁若气体中速度基本为的分子数密度为则该组分子与碰撞而发生的动量变化为PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 续上容器盛同种气体，分子质量，居平衡态射向器壁面元的某分子束碰壁后反射（不与法向平行的速度分量，其相应的动量无变化）速度速度为为的的某某分子分子弹碰中弹碰中的动量的动量变变化化为为反X向在在时时间内间内，入射，入射分子分子束斜园柱束斜园柱体体的体积的体积中中速度速度基本为基本为的分子的分子，都能碰撞器壁，都能碰撞器壁一一次次。其光光滑滑器器壁壁若气体中速度基本为的分子数密度为则该组分子与碰撞而发生的动量变化为气体中速度基本为的分

11、子数密度为该组分子与碰撞而发生的动量变化为将上将上式式对对平衡态气体平衡态气体中从各中从各个个不同方不同方向向、以不同以不同速度速度射向射向的的各组各组分分子子求求和和，其总，其总动量动量变变化化为为（负射向分量）此式包含和因平衡态中两者各占一半，故的分子才能与相碰。的分子。只有能能与与碰撞碰撞的的所所有分子的有分子的总总动量动量变变化化为为PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 续上光光滑滑器器壁壁气体中速度基本为的分子数密度为该组分子与碰撞而发生的动量变化为将上将上式式对对平衡态气体平衡态气体中从各中从各个个不同方不同方向向、以不同以不同速度速度射向射向的的各组各组分

12、分子子求求和和，其总，其总动量动量变变化化为为（负射向分量）此式包含和因平衡态中两者各占一半，故的分子才能与相碰。的分子。只有能能与与碰撞碰撞的的所所有分子的有分子的总总动量动量变变化化为为能能与与碰撞碰撞的的所所有分子的有分子的总总动量动量变变化化为为容器中容器中气气体体总总体的分体的分子数密度子数密度的的统计平均值统计平均值得得应用动量定理，分子受器壁 作用的平均冲力为壁对气器壁 受器壁 受气体分子气体分子作用作用的平均的平均冲力冲力壁对气气对壁PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 续上光光滑滑器器壁壁能能与与碰撞碰撞的的所所有分子的有分子的总总动量动量变变化化为为

13、容器中容器中气气体体总总体的分体的分子数密度子数密度的的统计平均值统计平均值得得应用动量定理，分子受器壁 作用的平均冲力为壁对气器壁 受器壁 受气体分子气体分子作用作用的平均的平均冲力冲力壁对气气对壁器壁 受器壁 受气体分子气体分子作用作用的平均的平均冲力冲力壁对气气对壁由于分子向 X、Y、Z方向运动概率相等又因则可推知得气对壁定义气体分子的平均平动动气体分子的平均平动动能能为大量气对壁理想理想气体的压强气体的压强公公式式由此推得：PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 压强统计意义三、理想气体压强的统计意义定义气体分子的平均平动动气体分子的平均平动动能能为大量气对壁理想

14、理想气体的压强气体的压强公公式式气体的宏观量压强，是大量气体分子作用于器壁的平均冲力，由微观量的统计平均值和决定。理想气体压强公式是反应大量分子行为的一种统计规律，并非力学定律，只对个别分子而言，气体压强没有意义。注：推导过程中的和在宏观上很小，但在微观上相对于分子的大小和作用时间应当足够大，保证在时间内有大量分子与发生 碰撞。平衡态中同种气体的分子全同，其出现位置和各向运动概率相等，这已包含了分子之间相互碰撞因素的一种动平衡，推导中不必考虑此类碰撞。PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 气体温度公式气体温度的统计意义气体温度的统计意义气体温度的统计意义气体温度的统计意

15、义气体分子的平均平动动气体分子的平均平动动能能物物态态方方程程理想理想气体气体可用另可用另一形式表一形式表达达其中其中分子质量分子质量总总分子数分子数阿伏伽德罗常阿伏伽德罗常数数分子数密度分子数密度玻耳兹曼玻耳兹曼常常数数即压强压强公公式式理想理想气体气体理想气体的温度温度公公式式1玻耳兹曼玻耳兹曼常常数数阿伏伽德罗常阿伏伽德罗常数数注：注：6.021.3810231023molJ K1PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 温度的统计意义气体分子的平均平动动气体分子的平均平动动能能理想气体的温度温度公公式式气 体 温 度 的气 体 温 度 的统 计 意 义统 计 意 义

16、气体的气体的热力学热力学温度温度与与气体分子的平均平动动气体分子的平均平动动能能成正成正比比。气体的热力学温度可看作是对分子热运动剧烈程度的量度。气体的温度是大量分子热运动的集体表现，具有统计意义。离开大量分子，温度失去意义。PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 凡例1标准标准大气压大气压（1atm)=1.103 10 Pa某氧器瓶内，氧气的压强1.00 atm温度27 C视为理想气体，平衡态氧分子的平均平动动能；分子数密度由321.38 102327+27332J6.21 1021由3232321.103 1056.21 1021252.6610个PDF 文件使用 p

17、dfFactory Pro 试用版本创建 虚设联想由KC难以实现太阳表面温度5490 C标准状态下（0 C，1atm）理想气体的分子平均平动动能分子数密度3.53102ev2.921025m3个一个电子经过1伏特电势差加速后所获的动能为1电子伏特（1ev)=1.602 1019J如果某理想气体系统的分子平均平动动能要达到1ev,其温度将会有多高？PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 数学表达PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用

18、版本创建 麦氏速率分布处于平衡态的气体，其分子沿各向运动的机会均等，这并非意味着每个分子的运动速率完全相同，而是大量不同运动速度（大小和方向）的分子，在一定条件下所形成的一种热动平衡状态。首先引用一种简明的实验方法，说明气体的分子数按速率分布的客观规律性：麦克斯韦速率分布律，是表示气体处于热平衡时，气体的分子数按速度大小（速率）分布的规律。麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 麦氏速率分布实验实验动态示意麦氏分布实验PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 速率分布含义分布曲线总

19、分子数+速率间隔内的分子数处于到速率分布函数（速率附近单位间隔内的分子数与总分子数之比）PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 速率分布函数快减快增两者相乘曲线若m、T 给定，玻耳兹曼常数，函数的形式可概括为曲线曲线有单峰，不对称速率分布曲线速率恒取正PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 归一化条件速率在到区间内的分子数与总 分子数之比若将速率区间扩展至到即具有一切可能速率的分子数与总分子数之比应为对分子质量为m、热力学温度为T、处于平衡态的气体PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 最概然速率与与此此函数的函数的极极大值大值

20、对应对应的速率的速率称称为最为最概然速概然速率率或令即易得因则PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 不同条件比较（或）相同相同用进行比较PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 平均速率麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律应用举例应用举例麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律应用举例应用举例平均速率平均速率（算术算术平均速率）平均速率）根据某连续变量x 的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分的定义。在讨论气体分子平均自由程问题时涉及到分子的算术平均速率概念；在讨论平均平动动能时涉及到方均根速率概念。麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。

21、或也有类似注意到PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 方均根速率方均根速率方均根速率（的统计平均值的开平方）即作为参与统计平均的连续变量或也有类似则得回忆 联系注意到PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 速率小结PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 特征速率例题氧气摩尔质量3.20 10mol温度27 C处于平衡态气体分子的和27 273 300（k）483(m s )394(m s )447(m s )PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 归一化例题假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数

22、为均为正常数，且为已知画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数求速率在区间的粒子数+抛物线方程得MaxPDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 续上概率分布函数应满足归一化条件本题要求得均为正常数，且为已知假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数求速率在区间的粒子数+抛物线方程得Max速率在区间的粒子数得PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 随堂小议请请在在放映状放映状态态下点击你认为是对下点击你认为是对的的答案答案则代则代表表氧氧的分布函数的分布函数曲

23、线为曲线为（1）曲线曲线（2）曲线曲线f (v)vo结结束束选择选择PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 小议链接1请请在在放映状放映状态态下点击你认为是对下点击你认为是对的的答案答案则代则代表表氧氧的分布函数的分布函数曲线为曲线为（1）曲线曲线（2）曲线曲线f (v)vo结结束束选择选择PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 小议链接2请请在在放映状放映状态态下点击你认为是对下点击你认为是对的的答案答案则代则代表表氧氧的分布函数的分布函数曲线为曲线为（1）曲线曲线（2）曲线曲线f (v)vo结结束束选择选择PDF 文件使用 pdfFactory

24、Pro 试用版本创建 分子平均动能公式理想气体公式压强温度气体分子的平均气体分子的平均平动平动动动能能只是气体分子运动能量的一部分在某方面产生的统计平均效果如果将原子看成质点，将分子看成是原子的刚性连接体（刚性分子），则分子的动能除平动动能外，对于双原子分子和多原子分子还有转动动能。分子平均动能的计算，涉及自由度概念：PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 自由度确定某物体空间位置所需的独立坐标的数目（），称为该物体的自由度数。单原子分子平动自由度双原子分子平动自由度转动自由度三及多原子分子平动自由度转动自由度PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建

25、能量均分定理理想气体，平衡态，分子平均平动动能因故每个平动自由度的平均平动动能均为将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的转动能量相等，而且亦均等于在温度为的平衡态下，气体分子的每一个自由度，都平均地具有的动能。（能量按自由度均分定理）PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 分子平均动能理想气体，平衡态，分子平均平动动能因故每个平动自由度的平均平动动能均为将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的转动能量相等，而且亦均等于在温度为的平衡态下，气体分子的每一个自由度，都平均地具有的动能。（能量按自由度均分定理）在温度为的平衡态下，气体分子的每一个自由度，都平均地具有的

26、动能。（能量按自由度均分定理）处于平衡态温度为的理想气体，若将气体分子看作刚性分子，如果分子有个平动自由度，个转动自由度，则若将分子看作非刚性分子，还要考虑分子的振动动能，按一定的原则确定振动自由度。（略）分子PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 简例理想气体处于平衡态时，证明气体分子的平均动能是平均平动动能的倍。气体温度的统计意义气体分子平均动能的含义本题是为了帮助理解与成正比的原因。PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 理想气体内能某一定量理想气体的内能组成气体的全部分子的平均动能之和。mol 气体有（阿伏伽德罗常数）个分子mol 理想气体的

27、内能分子的平均动能mol 理想气体mol 理想气体的内能PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 内能算例理想气体mol 理想气体的内能PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 平均自由程热运动分子之间分子的运动路径频繁碰撞曲折复杂碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 碰撞频率热运动分子之间分子的运动路径频繁碰撞曲折复杂碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径为分子的平均速率可联系进行估算分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称碰撞频率碰撞频率的倒数为相邻两次碰撞时间分子在与其

28、它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为平均自由程碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 自由程推导分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称碰撞频率碰撞频率的倒数为相邻两次碰撞时间分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为平均自由程碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径为分子的平均速率可联系进行估算平均自由程若能找出与的关系，则可求质心在半径为、长度为的圆柱体内的分子都会与相碰。设分子的碰撞路径ABCD长度先先假设假设其其它它分子分子静止静止其中称为碰撞截面但其它分子也在运动要作相对速率修正设气体分子

29、数密度则柱内分子数为平均碰撞频率PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 自由程算式平均自由程平均碰撞频率相对速率修正证明略恒定若则PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 随堂小议请请在在放映状放映状态态下点击你认为是对下点击你认为是对的的答案答案（1）v=4 v0,Z=2Z0,=0（2）v=2 v0,Z=2Z0,=0结结束束选择选择PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 小议链接1请请在在放映状放映状态态下点击你认为是对下点击你认为是对的的答案答案（1）v=4 v0,Z=2Z0,=0（2）v=2 v0,Z=2Z0,=0结结束束选择选择PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 小议链接2请请在在放映状放映状态态下点击你认为是对下点击你认为是对的的答案答案（1）v=4 v0,Z=2Z0,=0（2）v=2 v0,Z=2Z0,=0结结束束选择选择PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 作业HOME WORK14-114-1614-2314-2414-27PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建