概率论与数理统计及其应用课后答案(浙江大学_盛骤版).pdf

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1、概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 1 页2014/3/15第 1 章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。（2）连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。（4）抛一枚硬币，若出现 H 则再抛一次；若出现 T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解解：（1）7,6,5,4,3,2S；（2）,4,3,2S；（3）,TTTHTTHTHHS；（4）6,5,4,3,2,1,TTTTTTHTHHS。2，设BA,是

2、两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(ABPBPAP，求)(),(),(),(_ABBAPABPBAPBAP。解解：625.0)()()()(ABPBPAPBAP，375.0)()()()(ABPBPBASPBAP，875.0)(1)(_ABPABP，5.0)(625.0)()()()(_ABPABBAPBAPABSBAPABBAP3，在 100，101，999 这 900 个 3 位数中，任取一个 3 位数，求不包含数字 1 个概率。概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 2 页2014/3/15解解：在 100，101，999 这 900 个 3 位数中不

3、包含数字 1 的 3 位数的个数为648998，所以所求得概率为72.09006484，在仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字至多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于 330 的概率。解解：仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455个。（1）该数是奇数的可能个数为48344个，所以出现奇数的概率为48.010048（2）该数大于 330 的可能个数为48454542，所以该数大于330 的概率为48.0100485，袋中有 5 只白球，4 只红球，3 只黑球，在其中任取 4 只，求下列事

4、件的概率。（1）4 只中恰有 2 只白球，1 只红球，1 只黑球。（2）4 只中至少有 2 只红球。（3）4 只中没有白球。解解:（1）所求概率为338412131425CCCC；概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 3 页2014/3/15（2）所求概率为165674952014124418342824CCCCCC；（3）所求概率为16574953541247CC。6，一公司向M个销售点分发)(Mnn张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(nkk张提货单的概率。解解：根据题意，)(Mnn张提货单分发给M个销

5、售点的总的可能分法有nM种，某一特定的销售点得到)(nkk张提货单的可能分法有knknMC)1(种，所以某一特定的销售点得到)(nkk张提货单的概率为nknknMMC)1(。7，将 3 只球（13 号）随机地放入 3 只盒子（13 号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。（1）求 3 只球至少有 1 只配对的概率。（2）求没有配对的概率。解解：根据题意，将 3 只球随机地放入 3 只盒子的总的放法有 3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有 1 只配对的放法有 2 种：312，231。至少有 1 只配对的放法当然就有 6-2=4 种。所以（2

6、）没有配对的概率为3162；（1）至少有 1 只配对的概率为32311。概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 4 页2014/3/158，（1）设,1.0)(,3.0)(,5.0)(ABPBPAP，求)|(),|(),|(BAAPABPBAP,)|(),|(ABAPBAABP.（2）袋中有 6 只白球，5 只红球，每次在袋中任取 1 只球，若取到白球，放回，并放入 1 只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球 4 次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解解：（1）由题意可得7.0)()()()(ABPBPAPBAP，所以313.01.0)()()|(B

7、PABPBAP，515.01.0)()()|(APABPABP，75)()()()()|(BAPAPBAPBAAPBAAP，71)()()()()|(BAPABPBAPBAABPBAABP，1)()()()()|(ABPABPABPABAPABAP。（2）设)4,3,2,1(iAi表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为4321AAAA，它的概率为（根据乘法公式）)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP0408.020592840124135127116。9，一只盒子装

8、有 2 只白球，2 只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。解解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 5 页2014/3/15也是红球”记为事件B。则事件A的概率为65314232422)(AP（先红后白，先白后红，先红后红）所求概率为51653142)()()|(APABPABP10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有 5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有 45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有 10%的人以为自己未患癌

9、症，但确实患了癌症；最后 40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。（1）)(),(BPAP；（2）)|(ABP；（3）)|(ABP；（4）)|(BAP；（5）)|(BAP。解解：（1）根据题意可得%50%45%5)()()(BAPABPAP；%15%10%5)()()(ABPBAPBP；（2）根据条件概率公式：1.0%50%5)()()|(APABPABP；（3）2.0%501%10)()()|(APABPABP；（4）179%151%45)()()|(BPBAPBAP；（5）31%15%5)()()|(B

10、PABPBAP。概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 6 页2014/3/1511，在 11 张卡片上分别写上 engineering 这 11 个字母，从中任意连抽6 张，求依次排列结果为 ginger 的概率。解解：根据题意，这 11 个字母中共有 2 个 g，2 个 i，3 个 n，3 个 e，1个 r。从中任意连抽 6 张，由独立性，第一次必须从这 11 张中抽出 2个 g 中的任意一张来，概率为 2/11；第二次必须从剩余的 10 张中抽出 2 个 i 中的任意一张来，概率为 2/10；类似地，可以得到 6 次抽取的概率。最后要求的概率为92401332640366

11、1738193102112；或者92401611111311131212ACCCCCC。12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状 A、症状 B，有 20%的人只有症状 A，有 30%的人只有症状 B，有 10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求（1）该人两种症状都没有的概率；（2）该人至少有一种症状的概率；（3）已知该人有症状 B，求该人有两种症状的概率。解解：（1）根据题意，有 40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为%40%10%30%201；（2）至少有一种症状的概率为%60%401；（3）已知该人有症状 B，表明该人属于由只

12、有症状 B 的 30%人群或者两种症状都有的 10%的人群，总的概率为 30%+10%=40%，所以在已知该人有症状 B 的条件下该人有两种症状的概率为41%10%30%10。概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 7 页2014/3/1513，一在线计算机系统，有 4 条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。通讯线通讯量的份额无误差的讯息的份额10.40.999820.30.999930.10.999740.20.9996解解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件)4,3,2,1(iAi，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。则根据全概

13、率公式有9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)|()()(41iiiABPAPBP=0.9997814，一种用来检验 50 岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有 85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有 4%会认为他患关节炎。已知人群中有 10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。解解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有%1.12%4%90%85%10)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP，所以，根据

14、条件概率得到所要求的概率为%06.17%1.121%)851%(10)(1)|()()()()|(APBAPBPAPABPABP即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 8 页2014/3/1515，计算机中心有三台打字机 A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为 0.6,0.3,0.1，打字机发生故障的概率依次为 0.01,0.05,0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为多少？解解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在 A,B,C三

15、台打字机上打字”分别记为事件321,NNN。则根据全概率公式有025.004.01.005.03.001.06.0)|()()(31iiiNMPNPMP，根据 Bayes 公式，该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为24.0025.001.06.0)()|()()|(111MPNMPNPMNP，60.0025.005.03.0)()|()()|(222MPNMPNPMNP，16.0025.004.01.0)()|()()|(333MPNMPNPMNP。16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有 95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有 0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯

16、息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。解解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A，“一讯息是可信的”记为事件B。根据 Bayes 公式，所要求的概率为%9947.99%1.0%51%951%95)|()()|()()|()()()()|(BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 9 页2014/3/1517，将一枚硬币抛两次，以 A,B,C 分别记事件“第一次得 H”，“第二次得 H”，“两次得同一面”。试验证 A 和 B，B 和 C，C 和 A 分别相互独立（两两独立），但 A,B,C 不是相互独立。

17、解解：根据题意，求出以下概率为21)()(BPAP，2121212121)(CP；412121)(ABP，412121)()(CAPBCP，412121)(ABCP。所以有)()()(BPAPABP，)()()(CPAPACP，)()()(CPBPBCP。即表明 A 和 B，B 和 C，C 和 A 两两独立。但是)()()()(CPBPAPABCP所以 A,B,C 不是相互独立。18，设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5,0.7,0.6，设 A,B,C 各在离球门 25 码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至

18、少有一人进球的概率。解解：设“A,B,C 进球”分别记为事件)3,2,1(iNi。（1）设恰有一人进球的概率为1p，则3213213211NNNPNNNPNNNPp)()()()()()()()()(321321321NPNPNPNPNPNPNPNPNP（由独立性）6.03.05.04.07.05.04.03.05.029.0概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 10 页2014/3/15（2）设恰有二人进球的概率为2p，则3213213212NNNPNNNPNNNPp)()()()()()()()()(321321321NPNPNPNPNPNPNPNPNP（由独立性）6.0

19、3.05.06.07.05.04.07.05.044.0（3）设至少有一人进球的概率为3p，则13213NNNPp)()()(1321NPNPNP4.03.05.0194.0。19，有一危重病人，仅当在 10 分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要 2 分钟，将所需的血全部输入病人体内需要 2 分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有 40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。解解：根据题意，医院最多可以验血型 4 次，也就是说最迟可以第 4 个人才验出是 A-RH+型血。问题转化为最迟第 4 个人才验出是 A-RH+型血的

20、概率是多少？因为第一次就检验出该型血的概率为 0.4；第二次才检验出该型血的概率为 0.60.4=0.24；第三次才检验出该型血的概率为 0.620.4=0.144；第四次才检验出该型血的概率为 0.630.4=0.0864；所以病人得救的概率为 0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 11 页2014/3/151第 20 题543220，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有 5 个独立工作的元件 1，2，3，4，5 按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p，试求系统的可靠性。解解：设

21、“元件i能够正常工作”记为事件)5,4,3,2,1(iAi。那么系统的可靠性为)()()()()()(5432154321AAPAPAAPAAAAAP)()()()(543215435421321AAAAAPAAAPAAAAPAAAP)()()()()()()()()()()()(542132154321APAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAP)()()()()()()()(54321543APAPAPAPAPAPAPAP534322ppppppp543222ppppp21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为 0.8；若真不含有杂质检验

22、结果为不含有的概率为 0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为 0.4，0.6。今独立地对一产品进行了 3 次检验，结果是 2 次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和 Bayes 公式）解解：设“一产品真含有杂质”记为事件A，“对一产品进行 3 次检验，结果是 2 次检验认为含有杂质，而 1 次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为)|(BAP，根据 Bayes 公式可得)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生

23、第 12 页2014/3/15又设“产品被检出含有杂质”记为事件C，根据题意有4.0)(AP，而且8.0)|(ACP，9.0)|(ACP，所以384.0)8.01(8.0)|(223 CABP；027.09.0)9.01()|(223 CABP故，9046.01698.01536.0027.06.0384.04.0384.04.0)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP（第 1 章习题解答完毕）第 2 章随机变量及其分布1，设在某一人群中有 40%的人血型是 A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是 A 型的人为止，以 Y 记进行验血的次数，求 Y

24、的分布律。解解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k表明第k个人是 A 型血而前1k个人都不是 A 型血，因此有116.04.0)4.01(4.0kkkYP，（,3,2,1k）上式就是随机变量 Y 的分布律（这是一个几何分布）。2，水自 A 处流至 B 处有 3 个阀门 1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以 0.8 的概率打开，以 X 表示当信号发出时水自 A 流至 B 的通路条数，求 X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。解解：X 只 能 取 值 0，1，2。设 以)3,2,1(iAi记 第i个 阀 门 没 有 打 开 这 一 事 件。则)()()(03121321A

25、AAAPAAAPXP)()()()()()()(32131213213121APAPAPAPAPAPAPAAAPAAPAAP072.0)8.01()8.01()8.01(322，类似有512.08.0)()(23321321AAAPAAAPXP，416.02011XPXPXP,综上所述，可得分布律为X012kXP0.0720.5120.416AB213概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 13 页2014/3/153,据信有 20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查 15 个美国人，以 X 表示 15 个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问 X 服从

26、什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有 3 人；（2）至少有 2 人；（3）不少于 1 人且不多于 3 人；（4）多于 5 人。解解：根据题意，随机变量 X 服从二项分布 B(15,0.2)，分布律为15,2,1,0,8.02.0)(1515kCkXPkkk。（1）,2501.08.02.0)3(123315CXP（2）8329.0)0()1(1)2(XPXPXP；（3）6129.0)3()2()1()31(XPXPXPXP；（4）)2()3()4()5(1)5(XPXPXPXPXP0611.0)0()1(XPXP4，设有一由n个元件组成的系统，记为/Gnk，这一

27、系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有k)0(nk 个元件正常工作时，系统正常工作。现有一 5/3G系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为 0.9，求这一系统的可靠性。解解：对于 5/3G系统，当至少有 3 个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布 B(5,0.9)，所以系统正常工作的概率为99144.01.09.0)(535553kkkkkCkXP5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为 0.001，现取 8000 件产品，用泊松近似，求其中次品数小于 7 的概率。（设各产品是否为次品相互独立）解解：

28、根据题意，次品数 X 服从二项分布 B(8000,0.001)，所以6080008000999.0001.0)6()7(kkkkCXPXP3134.0!8!)001.08000(60860001.08000kkkkkeke（查表得）。6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数 X)10(，求15XP（2）已知随机变量 X)(，且有5.00XP，求2XP。解解：（1）0487.09513.0115115XPXP；概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 14 页2014/3/15（2）根据5.01010eXPXP，得到2ln。所以1534.02/)2ln1(5.011012eXP

29、XPXP。7，一电话公司有 5 名讯息员，各人在 t 分钟内收到讯息的次数)2(tX（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内 5 个讯息员恰有 4 人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有 5 个讯息员收到相同次数的讯息的概率。解解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数)2(X。（1）1353.002eXP；（2）设在给定的一分钟内 5 个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用 Y 表示，则 Y B(5,0.1353)，所以00145.0)1353.01(1353.04445CYP。（3）每个人收到的讯

30、息次数相同的概率为 0510052!32!2kkkkkeke8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以 X 表示铃响至结束讲解的时间。设 X 的概率密度为他其100)(2xkxxf，（1）确定k；（2）求31XP；（3）求2141 XP；（4）求32XP。解解：（1）根据3)(1102kdxkxdxxf，得到3k；（2）2713133133/102dxxXP；（3）647412132141332/14/12dxxXP；（4）2719321332313/22dxxXP。9，设随机变量 X 的概率密度为他其1000003.0)(2xxxf，求 t 的方程04

31、522XXtt有实根的概率。概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 15 页2014/3/15解解：方程04522XXtt有实根表明0)45(442XX，即0452 XX，从而要求4X或者1X。因为001.0003.01102dxxXP，936.0003.041042dxxXP所以方程有实根的概率为 0.001+0.936=0.937.10，设产品的寿命 X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为他其00100)(200/2xexxfx（1）求寿命不到一周的概率；（2）求寿命超过一年的概率；（3）已知它的寿命超过 20 周，求寿命超过 26 周的条件概率。解解：（1）00498.0

32、11001200/110200/2edxexXPx；（2）000001.010052200/270452200/2edxexXPx；（3）25158.010010020262026200/27620200/26200/22edxexdxexXPXPXXPxx。11，设实验室的温度 X（以C计）为随机变量，其概率密度为他其210)4(91)(2xxxf（1）某种化学反应在温度 X 1 时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。（2）在 10 个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以 Y 表示 10 个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求 Y 的分布律。（3）求

33、2YP，2XP。解解：（1）212275)4(911dxxXP；（2）根据题意)275,10(BY，所以其分布律为概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 16 页2014/3/1510,2,1,0,2722275)(1010kCkYPkkk（3）2998.02722275)2(82210CYP，5778.0)1()0(1)2(YPYPYP。12，（1）设随机变量 Y 的概率密度为他其100102.02.0)(yyCyyf试确定常数 C，求分布函数)(yF，并求5.00 YP，1.0|5.0YYP。（2）设随机变量 X 的概率密度为他其422008/8/1)(xxxxf求分布函数

34、)(xF，并求31 xP，3|1XXP。解解：（1）根据24.0)2.0(2.0)(11001CdyCydydyyf，得到2.1C。110011)2.12.0(2.0)2.12.0(2.02.00)()(01100101yyyydyydydyydydydyyfyFyyy11001112.02.06.0)1(2.002yyyyyyy25.02.045.0)0()5.0(05.05.00FFYPYPYP；概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 17 页2014/3/15YY7106.0226.0145.01)1.0(1)5.0(11.015.011.05.01.0|5.0FFYPY

35、PYPYPYYP（2）442200881881810)()(20422020 xxxxdxxdxdxxdxdxdxxfxFxxx442200116/8/02xxxxxx16/78/116/9)1()3(31FFxP；9/7)3()1()3(3313|1FFFXPXPXXP。13，在集合 A=1,2,3,.,n中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以 X 表示第一次取到的数，以 Y表示第二次取到的数，求 X 和 Y 的联合分布律。并用表格形式写出当 n=3 时 X 和 Y 的联合分布律。解解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为 n(n-1)，因此)1(1,nnjYiXP，（ji，且nji

36、,1）当 n 取 3 时，61,jYiXP,（ji，且3,1ji）,表格形式为X123101/61/621/601/631/61/6014,设一加油站有两套用来加油的设备，设备 A 是加油站的工作人员操作的，设备 B 是有顾客自己操作的。A，B 均有两个加油管。随机取一时刻，A，B 正在使用的软管根数分别记为 X，Y，它们的联合分布律为X01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30（1）求1,1YXP，1,1YXP；（2）求至少有一根软管在使用的概率；（3）求YXP，2YXP。解解：（1）由表直接可得1,1YXP=0.2，概率论与数理统计及其应用习题解答

37、12 金工刘博曹仲生第 18 页2014/3/151,1YXP=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42（2）至少有一根软管在使用的概率为9.01.010,011YXPYXP（3）210YXPYXPYXPYXP=0.1+0.2+0.3=0.628.00,21,12,02YXPYXPYXPYXP15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为他其，0,00),()42(yxCeyxfyx试确定常数C，并求2XP，YXP，1YXP。解解：根据1),(0,0yxdxdyyxf，可得8),(104020)42(00,0CdyedxeCdyCedxdxdyyxfyxyxyx，所以8C。404220)42(

38、22428),(2edyedxedyedxdxdyyxfXPyxyxx；32)1(2428),(04204020)42(0dxeedyedxedyedxdxdyyxfYXPxxxyxxyxyx2210410210)42(101)1(428),(1edyedxedyedxdxdyyxfYXPxyxxyxyx。16，设随机变量（X，Y）在由曲线1,2/,22xxyxy所围成的区域G均匀分布。（1）求（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),(yfxfYX。解解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(61),(),(1222/10yxfdyyxfdxdxdy

39、yxfxxG，得到他其，0),(,6),(Gyxyxf。概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 19 页2014/3/15（2）他其，,01036),()(22/22xxdydyyxfxfxxX；他其，他其，015.0)1(65.00)2(6015.065.006),()(12yyyyyydxydxdxyxfyfyyyY18，设YX,是两个随机变量，它们的联合概率密度为他其，0,002),()1(3yxexyxfyx，（1）求),(YX关于X的边缘概率密度)(xfX；（2）求条件概率密度)|(|xyfXY，写出当5.0 x时的条件概率密度；（3）求条件概率5.0|1XYP。解解

40、：（1）其他,00,22),()(02)1(3xexdyexdyyxfxfxyxX。（2）当0 x时，其他,00,)(),()|(|yxexfyxfxyfxyXXY。特别地，当5.0 x时其他,00,5.0)5.0|(5.0|yexyfyXY。（3）5.015.01|5.0)5.0|(5.0|1edyedyxyfXYPyXY。19，（1）在第 14 题中求在0X的条件下Y的条件分布律；在1Y的条件下X的条件分布律。（2）在 16 题中求条件概率密度)|(|xyfXY，)|(|yxfYX，)5.0|(|xfYX。概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 20 页2014/3/15解

41、解：（1）根据公式00,0|XPXiYPXiYP，得到在0X的条件下Y的条件分布律为Y0120|XYP5/121/31/4类似地，在1Y的条件下X的条件分布律为X0121|YXP4/1710/173/17（2）因为他其，0),(,6),(Gyxyxf。他其，,01036)(22/22xxdyxfxxX；他其，015.0)1(65.00)2(6)(yyyyyyfY。所以，当10 x时，其他,02/,2)(),()|(222|xyxxxfyxfxyfXXY；当5.00 y时，其他,02,21)(),()|(|yxyyyyfyxfyxfYYX；当15.0 y时，其他,01,11)(),()|(|xy

42、yyfyxfyxfYYX；当5.0y时，其他,015.0,5.011)|(|xyxfYX。20，设随机变量（X，Y）在由曲线xyxy,2所围成的区域G均匀分布。（1）写出（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),(yfxfYX；（3）求条件概率密度)|(|xyfXY，并写出当5.0 x时的条件概率密度。概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 21 页2014/3/15解解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(31),(),(1210yxfdyyxfdxdxdyyxfxxG，得到他其，0),(,3),(Gyxyxf。（2）他其，,010

43、)(33),()(22xxxdydyyxfxfxxX；他其，他其，010)(30103),()(22yyyydxdxyxfyfyyY。（3）当10 x时，其他,0,1)(),()|(22|xyxxxxfyxfxyfXXY。特别地，当5.0 x时的条件概率密度为其他,02/24/1,1224)5.0|(|yyfXY。21，设),(YX是二维随机变量，X的概率密度为他其，,02062)(xxxfX且当)20(xxX时Y的条件概率密度为其他,010,2/11)|(|yxxyxyfXY，（1）求),(YX联合概率密度；（2）求),(YX关于Y的边缘概率密度；（3）求在yY 的条件下X的条件概率密度)|

44、(|yxfYX。概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 22 页2014/3/15Y解解：（1）他其10,20031)|()(),(|yxxyxyfxfyxfXYX；（2）其他010)1(3231),()(20yydxxydxyxfyfY；（3）当10 y时，其他,020,)1(21)(),()|(|xyxyyfyxfyxfYYX。22，（1）设一离散型随机变量的分布律为Y-101kp212又设21,YY是两个相互独立的随机变量，且21,YY都与Y有相同的分布律。求21,YY的联合分布律。并求21YYP。（2）问在 14 题中YX,是否相互独立？解解：（1）由相互独立性，可得2

45、1,YY的联合分布律为,2121jYPiYPjYiYP，1,0,1,ji结果写成表格为2121YYPYYP。（2）14题中，求出边缘分布律为X012iXP00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38jYP0.160.340.501Y1Y2-101-14/22/)1(4/202/)1(2)1(2/)1(14/22/)1(4/2概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 23 页2014/3/15很显然，000,0YPXPYXP，所以YX,不是相互独立。23，设YX,是两个相互独立的随机变量，)1,0(UX，Y的概率密度为其他0

46、2/108)(yyyfY试写出YX,的联合概率密度，并求YXP。解解：根据题意，X的概率密度为其他0101)(xxfX所以根据独立定，YX,的联合概率密度为其他2/10,1008)()(),(yxyyfxfyxfYX。328),(12/10yyxydxdxdxdyyxfYXP24，设随机变量X具有分布律X-2-1013kp1/51/61/51/1511/30求12 XY的分布律。解解：根据定义立刻得到分布律为Y12510kp1/57/301/511/3025，设随机变量)1,0(NX，求XU 的概率密度。解解：设UX,的概率密度分别为)(),(ufxfUX，U的分布函数为)(uFU。则当0u时

47、，0)(uXPuUPuFU，0)(ufU；当0u时，1)(2)(uuXuPuXPuUPuFU，概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 24 页2014/3/152/22)(2)()(uXUUeufuFuf。所以，0002)(2/2uueufuU。26，（1）设随机变量X的概率密度为其他00)(xexfx求XY 的概率密度。（2）设随机变量)1,1(UX，求2/)1(XY的概率密度。（3）设随机变量)1,0(NX，求2XY 的概率密度。解解：设YX,的概率密度分别为)(),(yfxfYX，分布函数分别为)(),(yFxFYX。则（1）当0y时，0)(yXPyYPyFY，0)(yf

48、Y；当0y时，)()(22yFyXPyXPyYPyFXY，22)(2)()(2yXYYyeyyfyFyf。所以，0002)(2yyyeyfyY。（2）此时其他0112/1)(xxfX。因为)12(122/)1()(yFyXPyXPyYPyFXY，故，1121,1)12(2)()(yyfyFyfXYY，所以，其他1001)(yyfY。（3）当0y时，)(2yXyPyXPyYPyFY1)(2)()(yyy，概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 25 页2014/3/15故，2/2121)(2)()(yXYYeyyyfyFyf。所以，其他0021)(2/yeyyfyY。27，设一圆

49、的半径 X 是随机变量，其概率密度为其他0208/)13()(xxxf求圆面积 A 的概率密度。解解：圆面积2XA，设其概率密度和分布函数分别为)(),(yGyg。则)/(/)(2yFyXPyXPyGX，故2/0,1638321)/(21)()(yyyyyyfyyGyg所以，其他040163)(yyyyg。28，设随机变量 X,Y 相互独立，且都服从正态分布),0(2N，验证22YXZ的概率密度为其他00)()2/(222zezzfzZ。解解：因为随机变量 X,Y 相互独立，所以它们的联合概率密度为2222221),(yxeyxf。先求分布函数，当0z时，)(222zYXPzZPzFZ2222

50、222202220121),(zzrzyxerdreddxdyyxf，概率论与数理统计及其应用习题解答12 金工刘博曹仲生第 26 页2014/3/15故，其他00)()()2/(222zezzFzfzZZ。29，设随机变量)1,1(UX，随机变量 Y 具有概率密度)1(1)(2yyfY，y，设 X,Y 相互独立，求YXZ的概率密度。解解：因为其他0112/1)(xxfX，所以YXZ的概率密度为)1arctan()1arctan(21)1(21)()()(112zzdyydyyzfyfzfzzXYZ。30 随机变量 X 和 Y 的概率密度分别为其他00)(xexfxX，其他00)(2yyeyf