概率论与数理统计5.pdf

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1、1习题五习题五1.一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为X.估计P10X18.【解】设表每次掷的点数，则iX41iiXX=22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666iiE XE X=+=+=从而22291735()()().6212iiiD XE XE X=又X1,X2,X3,X4独立同分布.从而44117()()()414,2iiiiE XEXE X=44113535()()()4.123iiiiD XDXD X=所以235/31018|14|410.271,4PXPX=1000.3871(0.387)0.348,102012V

2、P=即有PV1050.3485.有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？3【解】【解】设 100 根中有X根短于 3m，则XB（100，0.2）从而30 100 0.2301301100 0.2 0.8P XP X=1(1.25)(1.25)0.8944.=(2)XB(100,0.7)，100175 100 0.7751751100 0.7 0.3iiPXP X=51()1(1.09)0.1379.21=7.用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为 0.05 的产品中，任取 100

3、0 件，其中有20 件废品的概率.【解】【解】令 1000 件中废品数X，则p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故12050130206.8956.89547.547.5P X=61304.5 10.6.8956.895=8.设有 30 个电子器件.它们的使用寿命T1，T30服从参数=0.1单位：（小时）-1的指数4分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为 30 个器件使用的总计时间，求T超过 350 小时的概率.【解】【解】11()10,0.1iE T=21()100,iD T=()10 30300,E T=()30

4、00.D T=故3503005350111(0.913)0.1814.300030P T=9.上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95%的概率保证够用（假定一年有 306 个工作日，每个工作日为 8 小时）.【解】【解】设至少需 n 件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.从而即1306 80.95,niiPT=306 8 100.05.10nn 故102448244.80.95,1.64,272.10nnnnn=所以需 272a元.10.对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1

5、名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1）求参加会议的家长数X超过 450 的概率？（2）求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率.【解】【解】（1）以Xi(i=1,2,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心极限定理得400iiXX=400400 1.1400 1.1(0,1).400 0.194 19iiXXN=近似地于是450400 1.1450145014 19P XP

6、 X=1(1.147)0.1357.=(2)以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则YB(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得Xi012P0.050.80.155340400 0.8340(2.5)0.9938.400 0.8 0.2P Y=11.设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】【解】用X表 10000 个婴儿中男孩的个数，则XB（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求PX5000.由中心极限定理有5000 10000 0.5155000(3)1(3)0.00135.10000 0.515 0.485P X=12.设有 1000 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以 95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,1000）.令Sn=X1+X2+X1000.(1)设至少有m人能够进入掩蔽体，要求PmSn10000.95，事件9001000 0.9.1000 0.9 0.190nnSmmS=由中心极限定理知：1000 0.9110.95.1000 0.9 0.1nnmP mSP Sm=因此可从解出n即最多可装 98 箱.