随机利率下股票价格服从指数过程的期权定价_李美蓉.pdf

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1、 第 32 卷 第 4 期 2009 年 4月合 肥 工 业 大 学 学 报(自 然 科 学 版)JOURNAL OF HEFEI UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol.32 No.4 Apr.2009 收稿日期:2008204 218;修改日期:2008 206 217基金项目:安徽省高等学校省级自然科学重点研究资助项目(KJ2008A37ZC);合肥师范学院教学研究资助项目(2008jyy09)作者简介:李美蓉(1977-),女,安徽芜湖人,合肥师范学院讲师,合肥工业大学硕士生.随机利率下股票价格服从指数 O2U 过程的期权定价李美蓉1,2(1.合肥师范学院 数学系,安徽

2、 合肥 230061;2.合肥工业大学 数学系,安徽 合肥 230009)摘 要:文章建立了股票价格服从指数 O2U 过程的随机微分方程,在风险中性的假设下利用 Girsanov 定理找到了该模型的唯一等价鞅测度;利用期权定价的鞅方法,得到了随机利率情形下股票价格服从指数 O 2U 过程,并且影响利率的因素与影响股票价格的因素相关时欧式期权的定价。关键词:Ornstein 2Uhlenbeck 过程;随机利率;Girsanov定理;期权定价中图分类号:O21116 文献标识码:A 文章编号:100325060(2009)04 20598 203Option pricing with the u

3、nderlying stock price driven byOrnstein2Uhlenbeck process under stochastic interest ratesLI Mei2rong1,2(1.Dept.of Mathematics,Hefei Teachers College,Hefei 230061,China;2.Dept.of Mathematics,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China)Abstract:The paper constructs the stochastic differential eq

4、uation of the stock price whose process isdriven by the exponential Ornstein2Uhlenbeck process.Under the risk2neutral hypothesis,the equiva2lent martingale measure is found by means of Girsanov theorem.The European option pricing onstocks is obtained as the price is driven by the exponential Ornstei

5、n2Uhlenbeck process under stochas2tic interest rates and the factors affecting the interest rate and the price of the stocks are correlative.Key words:Ornstein2Uhlenbeck process;stochastic interest rate;Girsanov theorem;option pricing0 引 言文献1假设股票价格服从几何 Brown 运动和无风险利率,股票的预期收益率为常数,意味着随时间的变化,股票的价格将会有朝同

6、一方向变化的趋势。这与实际相背离。实证表明由于股票价格受很多因素的影响,预期收益率会出现随机波动,可能是依赖时间和股票价格的函数。文献2 7 通过放宽 Black2Scholes 模型的某些假设条件,提出了各种期权定价模型。现实中当股票价格上升到一定的高度时股票价格有一个下降的趋势,本文假定股票价格服从指数 O2U 过程8。由于通货膨胀等因素对金融市场的冲击,利率也会出现随机的变化,因此假设利率是常数也具有不合理性。本文利用期权定价的鞅方法得到了随机利率下,股票价格服从指数 O2U 过程,且影响利率的因素与影响股票价格的因素是相关时的欧式期权的定价,推广了经典的 Black2Scholes期权

7、定价公式。1 预备知识与市场模型定理 1 若 X N(0,R2),则E(eXIX b)=eR225-b+R2R(1)其中,5(x)=Qx-12Pe-u22du 为标准正态分布的累积概率密度函数。证明E(eXIX b)=Q+bex12PRe-x22R2dx=Q+b12PRe-x2-2R2x2R2dx=eR22Q+b12PRe-(x-R2)22R2dx令 t=x-R2R,则有:E(eXIX b)=eR22Q+b-R2R12Pe-t22dt=eR225-b+R2R 假设金融市场 M 中仅有 2 种资产,一种是风险资产,设为股票,其价格过程为 S(t),在概率空间(8,F,P)中满足随机微分方程(2)

8、式,即:dS(t)S(t)=L(t)-q(t)-A logS(t)dt+R(t)dZ(t)(2)其中,L(t)为股票的期望回报率;q(t)为股票支付的连续红利率;R(t)为股票价格的波动率;Z(t)为测度 P 下的标准 Brown 运动;A 0 为常数,A的作用是当股票价格上升到一定的高度时它使股票价格有一个下降的趋势。称(2)式为指数 O2U 过程模型。与 Black2Scholes 模型相比较,(2)式相当于考虑了预期收益率依赖于股票价格 S(t)的Black2Scholes 模型,显然,当 A=0 时,(2)式即为Black2Scholes 模型。令H(t)=r(t)-L(t)+A lo

9、gS(t)R(t),dP*dPFT=exp-12QT0H2(t)ds+QT0H(t)dZ(t),则由 Girsanov 定理知,W1(t)=Z(t)-Qt0H(s)ds是测度 P*下的标准 Brown 运动,因此(2)式变为:dS(t)S(t)=r(t)-q(t)dt+R(t)dW1(t)(3)另一种是无风险资产,设为到期日为 T 的零息债券,其价格过程为 B(t,T),在概率空间(8,F,P*)中满足随机微分方程(4)式,即:dB(t,T)B(t,T)=r(t)dt+b(t,T)dW2(t),B(T,T)=1(4)其中,r(t)为短期无风险利率;b(t,T)为债券的波动率函数;W2(t)是

10、P*下的标准 Brown 运动,且W1(t)与 W2(t)的相关系数是 Q,(0|Q|1)。在实际中,B(t,T)是无需计算的,它可以从市场中直接观察到。令 Ft是由 B(t,T)及 S(t)产生的满足通常条件(完备,单调增,右连续)的 R 2代数流。2 随机利率下股票价格服从指数 O 2U 过程的期权定价 令 M(t)=S(t)B(t,T),则由(3)式、(4)式及 Ito 公式有:dM(t)M(t)=r(t)-q(t)-r(t)+b2(t,T)-Q R(t)b(t,T)dt+R(t)dW1(t)-b(t,T)dW2(t)=-q(t)+b2(t,T)-Q R(t)b(t,T)dt+R(t)d

11、W1(t)-b(t,T)dW2(t)(5)再令 B(t)=b2(t,T)-Q R(t)b(t,T),D2(t)=R2(t)+b2(t,T)-2Q R(t)b(t,T),W(t)为测度 1*下的标准 Brown 运动,则(5)式变为:dM(t)M(t)=-q(t)dt+B(t)dt+D(t)dW(t)(6)定义dQdP*FT=exp-12QT0C2(t)dt+QT0C(t)dW(t)其中,C(t)=-B(t)D(t),由 Girsanov 定理,W*(t)=W(t)-Qt0C(s)ds 是测度 Q 下的标准 Brown 运动,因此(6)式变为:dM(t)M(t)=-q(t)dt+D(t)dW*(

12、t)(7)由 Doleanse2Dade 指数公式,(7)式的解为:M(T)=M(t)exp-QTtq(s)+12D2(s)ds+QTtD(s)dW*(s)。设 V(t)表示投资者在时刻 t 的财富,a(t)与b(t)分别表示在时刻 t 投资者拥有的债券和股票数目,则财富过程满足:V(t)=a(t)B(t,T)+b(t)S(t)(8)V(t)B(t,T)=a(t)+b(t)S(t)B(t,T),dV(t)B(t,T)=b(t)dS(t)B(t,T)+b(t)S(t)B(t,T)q(t)dt=b(t)S(t)B(t,T)-q(t)dt+D(t)dW*(t)+q(t)dt=b(t)S(t)B(t,

13、T)D(t)dW*(t)(9)由(9)式知V(t)B(t,T)是 Q 鞅,因此有下面的定理 2 和定理 3。定理 2 在金融市场 M 中,财富过程 V(t)满足:599 第 4 期李美蓉:随机利率下股票价格服从指数 O2U 过程的期权定价V(t)=B(t,T)EQV(T)B(T,T)|Ft=B(t,T)EQV(T)|Ft(10)定理 3 在金融市场 M 中,欧式未定权益g(S(T)(g(u):R+y R+的连续函数)在当前时刻 t 的无套利价格为:V(t)=B(t,T)EQ g(S(T)|Ft(11)定理 4 设股票价格过程 S(t)和债券价格过程 B(t,T)分别满足(2)式与(4)式,则到

14、期日为T,执行价为 K 的欧式看涨期权在时刻 t(0 tT)的价格为:c(t,S(t)=S(t)e-QTtq(s)ds5(d1)-KB(t,T)5(d2)(12)其中d1=logS(t)KB(t,T)-QTtq(s)ds+12QTtD2(s)dsQTtD2(s)dsd2=d1-QTtD2(s)ds,D2(t)=R2(t)+b2(t,T)-2Q R(t)b(t,T)证明 由定理 3 有:c(t,S(t)=B(t,T)EQ(S(T)-K)+|Ft=B(t,T)EQS(T)IS(T)K|Ft-KB(t,T)EQIS(T)K|Ft=E1-E2(13)令 X=QTtH(s)dW*(s),则 X N0,Q

15、TtH2(s)ds,由定理 1 得:E1=B(t,T)EQM(T)Ilog M(T)log K=B(t,T)EQM(t)exp-QTtq(s)+12D2(s)ds+QTtD(s)dW*(s)IQTtD(s)dW*(s)logKB(t,T)S(t)+QTtq(s)+12D2(s)ds=S(t)exp-QTtq(s)+12D2(s)dsEQeXIX logKB(t,T)S(t)+QTtq(s)+12D2(s)ds=S(t)exp-QTtq(s)ds 5(d1)(14)E2=KB(t,T)EQIlog M(T)log K=KB(t,T)Q X logKB(t,T)S(t)+QTtq(s)+12D2(

16、s)ds=KB(t,T)5(d2)(15)将(14)式、(15)式代入(13)式即证得定理 4。应用看涨期权与看跌期权的关系,就可以得到下面的定理 5。定理 5 设股票价格过程 S(t)和债券价格过程 B(t,T)分别满足(2)式与(4)式,则到期日为T,执行价为 K 的欧式看跌期权在时刻 t(0 tT)的价格为:p(t,S(t)=KB(t,T)5(-d2)-S(t)5(-d1)exp-QTtq(s)ds(16)参 考 文 献1 Black F,Scholes M.The pricing of options and corporate li2abilities J.Journal of Po

17、litical Economy,1973,81:133-155.2 Merton R C.Option pricing when underlying stock returnsare discontinous J.Journal of Financial Ecnomics,1976,3(1/2):125-144.3 Schwerzer M.Option heading for semimartingales J.Sto 2chastic Processes and Their Applications,1991,37(3):339-360.4 Knut K.Contingent claims

18、 valuation when the securityprice is combination of Ito process and a random pointprocessJ.Stochastic Process and Their Application,1998,28(2):185-220.5 Chan T.Pricing contingent claims on stocks driven by LevyprocessJ.Annals of Appl Prob,1999,9(2):504-528.6 Kallsen J.Optimal portfolios for exponential Levy processesJ.Math Meth Oper Res,2000,51(3):357-374.7 Prigent J L.Option pricing with a general marked pointprocessJ.Mathematics of Operations Research,2001,26(1):50-66.8 阎海峰,刘三阳,李文强.股票价格遵循指数 O 2U 过程的最大值期权定价J.工程数学学报,2004,21(3):397-402.(责任编辑 张淑艳)600 合肥工业大学学报(自然科学版)第 32 卷