基于弹性分形维的开放式基金投资风格漂移研究.pdf

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1、文章编号：1 0 0 1 1 4 8 X(2 0 1 1)0 5 0 1 2 2 0 6基于弹性分形维的开放式基金投资风格许林，宋光辉(华南理工大学工商管理学院，广州5 1 0 6 4 0)漂移研究摘要：投资风格漂移的量化研究是规范基金产品设计与控常1 基金经理投资行为的关键环节。根据分形维和经济弹性定义，在分析业绩比较基准风格指数对基金业绩影响的基础上，给出了基金投资风格漂移的价格弹性分形维定义，并推导出该分形维数的计算公式：基金对数收益序列与比较基准风格指数对数收益序列的比值。以我国2 0 0 3 年成立的1 8 只开放式基金为研究样本，测算出基金投资风格漂移的价格弹性分形维，实证结果表明

2、：基金投资风格均发生了明显的漂移现象；根据价格弹性分形维与投资风格一致性基准线得到了基金投资风格漂移的阀值，为控制较严重的投资风格漂移现象提供了衡量标准。本文研究方法与结论对完善基金产品创新发行理念、提高基金市场的效率提供了决策依据，并为进一步量化我国开放式基金投资风格漂移风险提供了新的研究思路。关键词：投资风格漂移；分形特征；价格弹性分形维；开放式基金中图分类号：咫3 0 9 1文献标识码：Ah v 鹤咖e n tS 姆l eD r i f to fO p e n e n dF 岫d l sB 鼬e d0 1 1 日a s t i c 姆F r a e t a lD i m e n s i

3、蛐X UL i n。S O N GG u a J l g h u i(&u，o lo f B u s i n e s sA d r a i n i s t r o 堪i o n S o u l hC h i n aU n i v e r s i t y 矿T e c 加o l o g y，Q m 础“5 1 0 6 4 0，劬锄)A b s 峨I c t：Q u a n t i t a t i v er e s e a r c h0 1 1i n v e s t m e n ts t y l ed 豳i st h ek e yl i n kt or e g,u l a t et h ed e

4、s i g na n dc o n t r o lt h ei n v e s t m e n tb e l 忸v i o ro ff u n d 删眦学硌T h i sp a p e r 锄a l y z e dt h ei m p J e to fp e 面删棚c ec o m p 撕s 叩b e n c h m a r ks t y l ei n d e x 册f u n dp e f f o n n m l c eb a s e dO nt h ef r a e t a ld i m e m i o na n dt h ee c o n o m i cn 袖i l 畸d e f i n

5、 i t i o n-d e f i n e dt h e 砸c ee l a s t i c i t y 五眦一t a ld i m 朗s j 伽o ff u n di n v e s t m e n ts t,A ed r i 矗-d e r i v e dt h ef o r m d ao ff r a e t a ld i l n e l r l f l i o n：t h er a t i o0 fm 1 1 df；e n I ms e r i e st oc o m p a I i 鲫nb e n c h m a r ks t y l ei n d e xl 屯 u r ns e

6、r i e s T a k i n g1 8o p e n e Mf i m d sf o rt h er e s e a r c hs 锄p l ef o u n d e di n2 0 0 3-i te a l e d a t e dt h e 研c ee l 鹧t i e i t y 如c t a ld i m e n s i o no ff u n di n v e s t m e n ts t y l ed 曲E m p i r i c a lr e s u l t ss l l o w e dt h a t：丘l di J 卜v e s t m e n ts t y l ea p

7、p e a r e dt h eo b v i o u s l yf r a e t a lc h a r a c t e r i s t i c s。删i n gt ot h ep r i c ee l a s t i cf r a c t a ld i m e m i o na n di n v e s t-m e n ts t y l ee o 抛i s t e n tb e 眦h 删l r I【l i n e。W eC a l lo b t a i nt h et h r e s h o l do ff u n di n v e s t m e n ts 叫ed r i f t-w h

8、 i c hw i Ub eg D 0 df o re o n k m l l i n gt h em o l es e r i o u si n v e s t m e n t8 哆l e 删tp h e o m e n o T h em e t h 优l sa n de o n c l u 量i o mp r o、r i&ad e c i s i o nm a l【啦b a s i sf o ri s s u i n gO nt h ec o n c e p to fp r o d u c ti n n o v a t i o na n di m p r o 血ge f f i c i e

9、 n c yo ft l I ef u n dm a r k e t。a n dp r o v i d ean e w 静s e a r c hi d e a st of 证t l l e rq 啪t i 匆t h ei n v e s t n l e n ts t y l ed r i f tr i s ko fo p e n e n df u n d s K e yw o r 出：i n v e s t m e n ts t y l ed r i f t；f r a e 恤lc h a r a c t e r i z e s；p r i c ee l a s t i c 畸f r a e

10、t a ld i m e n s i o n；o p e n e n df u n d一、引言国内外学者大量理论与实证研究表明：基金经常发生投资风格漂移现象，但这些研究大多都是基于线性研究范式下的有效市场理论开展的，假设投资者以线性反馈机制对信息作出反应，即他们在接受到信息时作出反应，而不是以累积的方式对一个事件作出反应。线性研究范式暗含了收稿日期：2 0 1 0 1 2 0 9作者简介：许林(1 9 8 4 一)，男，江西上饶人，华南理工大学工商管理学院博士研究生，研究方向：数量经济学、基金投资与分形市场；宋光辉(1 9 6 l 一)，男，河南信阳人，华南理工大学工商管理学院教授，博士生导师

11、，研究方向：基金投资与分形市场。基金项目：教育部人文社科基金2 0 1 0 年度规划项目基于多重分形理论的基金投资风格漂移风险测度与控制研究。项目编号：1 0 Y J A 6 3 0 1 3 l。万方数据总第4 0 9 期许林：基于弹性分形维的开放式基金投资风格漂移研究1 2 3 资产收益率应该服从或近似服从独立正态分布，但随着资本市场的不断发展与完善，学者们发现了许多不服从正态分布的现象，大多具有尖峰厚尾特征，这无疑对有效市场理论提出了极大的挑战。基于这种现实背景，有必要引入非线性研究范式的分形理论对资本市场系列研究进行探索。目前，关于分形理论在资本市场应用研究方面已取得了一些成果，但大多都

12、集中在股票、债券、外汇等市场，在基金市场尤其是基金投资风格领域还未涉及。自从S h a r p e(1 9 9 2)研究发现基金收益大约9 0 都来自于某种特定的投资风格，投资风格对基金业绩起决定性的贡献作用1，风格投资也就成为基金经理构建投资组合的主流量化投资方法。在竞争激烈的基金市场，为抢夺基金市场的客户资源，基金在发行宣称时会标榜自己独特的投资风格，以吸引特定风格的投资者。因此，投资风格也就成了投资者选择基金产品的主要筛选机制。当然，这种筛选机制的有效前提是投资风格必须保持鲜明一致性。大量实证研究发现大部分基金容易发生投资风格漂移现象，国内最早进行实证研究的学者熊鹏，刘煜辉(2 0 0

13、3)发现近四成的基金发生了投资风格漂移现象旧o；袁境(2 0 0 5)进一步利用因子分析法对我国2 0 0 2 2 0 0 4 年l O 只开放式基金的投资风格进行实证研究，结果发现：基金投资风格具有趋同现象，且违背了招募说明书中宣称的投资风格pJ。但是，以上学者的研究结论都是基于线性研究范式下得出的，作为资本市场上的主要力量之一，基金在我国资本市场还不够成熟的现实背景下，引入分形理论来准确研究基金投资风格漂移问题显得非常有必要，主要基于以下4 点考虑：(1)信任是基金业的灵魂，投资者就是凭借信任二字把自有资金委托给基金经理进行投资理财，但在实际投资过程中，基金经常发生投资风格漂移现象，这与信

14、任是相违背的，所以需要从侧面来约束基金经理发生较严重的投资风格漂移现象；(2)基金投资风格漂移现象难以被投资者事先预期，而其对基金投资组合收益水平乃至风险水平起关键性的影响作用，具有显著的业绩贡献度；(3)目前我国基金信息披露制度不频繁，投资组合定期公布，最短周期是每季度公布一次，最详细的组合是每半年公布一次，因此，难以通过观察投资组合的变化来预测风格漂移；(4)我国基金市场发展时间短，基金收益率并不服从正态分布，基本呈现出复杂的分形特征。鉴于此，本文引入分形理论首次对我国开放式基金投资风格漂移进行尝试性的探索研究。二、相关文献综述分形(f r a c t a l)一词来源于拉丁语f r a

15、e t u s，含有“碎化，分裂”的意思。分形理论由法国数学家M a n d e l b r o t 于1 9 7 5 年创立，借助它可以描述分形特征和揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部与整体之间的本质联系一o。至今，分形理论已在资本市场应用研究中取得了一些有价值的成果。最早P e t e r s(1 9 9 4)用R S 分析法对股票市场进行研究时，将M a n d e l b r o t(1 9 7 5)创立的分形思想应用于资本市场，提出了分形市场理论po。并分析了有效市场理论上和实践中的不足，突破了有效市场理论的独立、线性、正态、静态等假定，从非线性角度强调市场信息反应程度和投资时间标度

16、对投资者行为的影响，认为所有稳定的市场都存在分形结构。该理论简单的说就是分形几何方法在证券市场中的直接应用。分形理论在资本市场中的最新应用研究成果有：国内学者黄诒蓉，罗奕(2 0 0 6)认为有效市场假说无法解释资本市场的一些异象，指出分形市场假说框架下的分形结构特征能更有效地解释资本市场的实际特性，并认为分形方法是认识资本市场的有效非线性工具。司马则茜，蔡晨，李建平(2 0 0 8)基于分形理论提出了将C P I(G D P)指标来衡量银行操作性风险的发生，并以中美两国银行操作性风险损失数据进行实证分析，结果表明：其操作风险具有明显的分形特征。李宇海(2 0 0 9)利用R S 分析法来研究

17、我国证券市场分形特征，实证结果发现：我国股市的趋势周期成分大约具有5 6 个月的非周期性循环；季节成分中记忆性可覆盖约1 0 个月；短期波动成分中记忆性可覆盖3 3 个月怕1。王鹏，魏宇，张蕾(2 0 0 9)把分形理论引入到我国债券市场中，实证结果表明：我国交易所债券市场的价格变动是以分形布朗运动方式进行的，呈现出典型的特征指数的稳定帕累托分布，说明分形特征广泛存在于我国交易所债券市场各时间标度下的收益中【7 1。陈丽(2 0 1 0)引入分形理论来建立经济系统的分形均衡，以使经济均衡的描述更接近于经济现实，通过比较分析分形均衡与一般均衡得出了一般均衡是分形均衡的一个特例，最后得到分形均衡下

18、的福利经济学定理。国外学者T r i k iM o h a m e dB i l e l&S e l m iN a d h e m(2 0 0 9)以G 7 股票市场数据为样本，采用分形迪克检验与修正R S 分析法研究发现股票市场具有长记忆性分形特征H 1；S i o w H o o iT a n，L 艚一L e eC h o n g，P e i k F o o n gY e 印(2 0 1 0)以1 9 8 5 年1月至2 0 0 9 年1 2 月的马来西亚股票牛熊市场数据，采用同样的方法，实证结果表明：在早期尤其在万方数据1 2 4 商业研究2 0 1 I 0 51 9 9 7 年金融危机

19、之前，股票市场具有长记忆性等分形特征，能以一定的概率对股票价格进行预测一】。综合国内外已有研究文献不难发现，目前分形理论应用研究大多都集中在股票市场、银行、债t券市场等方面，在基金市场尤其是基金投资风格领域至今仍是空白。本文借鉴分形维和经济弹性定义，在分析业绩比较基准风格指数对基金业绩影响的基础上，给出了基金投资风格漂移的价格弹性分形维定义，并推导出其计算公式，最后利用价格弹性分形维对我国1 8 只开放式基金投资风格漂移进行实证分析，为基金经理与投资者对基金投资风格漂移识别及控制提供了一种符合分形市场现实背景的新方法。三、基金投资风格漂移弹性分形维公式推导(一)分形维分形是指局部和整体按某种方

20、式相似的集合。分形的两个主要特征是自相似性与标度不变性这两个特征表现为用局部就可以再现整体的特征，从而使得复杂问题简单化。自相似性是指某种结构或过程的特征从不同时间或空间尺度上看都是相似的，即局部与整体相似；标度不变性是指在分形物体或分形时间序列上任选一局部，对它进行放大。得到的图形又会显示原来整体的形态特征。分形维(f r a c t a ld i m e n s i o n)是分形理论中的一个非常重要概念，是刻画分形特征的量，通俗的讲它是指分形体充满空间的能力，也是从欧氏几何中的整数维到分形几何中的分数维的扩展。由于自然界中存在着形形色色的分形体，导致刻画分形特征的分形维有多种形式，主要有

21、H a u s d o r f f 维、盒形维、信息维、关联维等。它们之间的关系可用一1I n p：个广义分形维公式来表示：D-27 暑1 凹青，当q=0 时，D o 为盒形维；当q=l 时，D l 为信息维；当P=而岳时，信息维D。就为H a u s d o r f f 维；当q=2 时，呸为关联维。根据6 覆盖原理，广义分形维也可写成：D s=J 妇晋l=l 等挚J，这里B既可理解为单一(常数)分形维，也可理解为多重分形维。(-)基金投资风格漂移的价格弹性分形维值得注意的是，本文研究的属于一种广义的投资风格，这是相对于传统文献研究中通常采用大、中、小盘及价值、成长等6 种投资风格而言的，通

22、过认真分析基金招募说明书发现：基金在招募说明书中都会宣称自身的业绩比较基准风格指数，为区别其它风格基金，每只基金都有自己独特的宣称，而且还进一步发现很多基金宣称的业绩比较基准风格指数大多都是这些常用投资风格指数的线性组合。本文根据线性组合原理，将风格指数的一种线性组合定义为一种新的投资风格，即定义基金宣称时的业绩比较基准风格指数就属于一种投资风格，而不局限于以往研究文献中采用的狭义投资风格。不难发现，这种广义的投资风格便于操作，具有更强的实用价值，因为投资者能够通过观察基金收益是否跑赢业绩比较基准风格指数来测定基金是否发生了投资风格漂移现象以及风格漂移所带来的风险究竟有多大等系列问题。如果采用

23、抽象的大、中、小盘及价值、成长等仅有的6 种投资风格指数，投资者无法准确比较与衡量到投资风格是否真正发生了漂移。而且，广义的投资风格便于比较不同风格的基金，能够清晰刻画出不同基金的投资风格及检验到基金是否真正发生了风格漂移现象。为了揭示出基金投资风格漂移的分形特征，本文借鉴经济学中的弹性定义，给出基金投资风格漂移价格弹性公式，通过计算价格弹性来揭示其中蕴含的分形这一复杂非线性特征。弹性是用来刻画一个经济变量(自变量算)变化对另一个经济变量(因变量，)的影响敏感程度。假设Y=以菇)，可通过测算弹性系数大小来定量刻画菇变化一个单位对，的影响敏感程度。则，关于茗的弹性定义为：盯；I 鲤鲤f；f 立塑

24、I。IY 菇IY 善I：I 妯业I：l 生!翌丛苎2，dI n 茄ldI n 算I在激烈竞争的基金市场中，基金为区别于其它风格基金以吸引特定风格的投资者购买本基金，基金发行时往往会在招募说明书中标榜自己独特的投资风格，并公布自己的业绩比较基准风格指数，这样投资者就可根据业绩比较基准风格指数的收益水平及自身的风险容忍度来选择基金产品。正常情况下。基金业绩的好坏会跟比较基准风格指数的价格走势有很大关系，即基金资产(日)净值可看成业绩比较基准风格指数(日)收盘价格的函数，即：N A V=以p)，如果基金投资风格保持鲜明一致，没有发生漂移，那么基金净值波动应该与业绩比较基准风格指数价格波动规律没有显著

25、性差异；如果基金投资风格发生了漂移现象，那么应该有违背于业绩比较基准风格指数的价格波动趋势。现在的问题是：投资风格漂移究竟会如何影响基金业绩的变化呢?鉴于此，根据弹性定义给出基金投资风格漂移的价格弹性公式为：矿：I a N A V，i 鲤I。l d N A V，d p lIN A VPIN A Vp万方数据总第4 0 9 期许林：基于弹性分形维的开放式基金投资风格漂移研究1 2 5：l 生!翌垒丝!l：I 垡!旦赵卫!l=l l=l _ 3 一IdI nPdI nP 一l I n f(p。)一I n 以P 川)l IR，Il 珊I n P i I I n F PI I 瓦fp o一rIf 月。

26、f 1 其中N A V 是基金单位净值，P 为业绩比较基准风格指数收盘价，足。，R；。分别为基金、业绩比较基准风格指数的对数收益率。通过对比价格弹性盯。与分形维仇的定义容易发现：价格弹性具有分形维的特征，这里称为价格弹性分形维；同时还发现价格弹性约等于基金净值对数收益率与业绩比较基准风格指数对数收益率的比值，根据这个比值可知：如果基金投资风格没有发生漂移，那么基金收益率应该与业绩比较基准风格指数收益率相等或至少没有显著性差异，即价格弹性分形维在1 的附近。因此，不妨将价格弹性分形维等于l 的直线定义为基金投资风格一致性基准线。如果基金投资风格发生了漂移现象，那么基金收益率应该与业绩比较基准风格

27、指数收益率具有显著性差异，即价格弹性分形维显著不等于l，也就是说会偏离基金投资风格一致性基准线。本文假定o r。为常数维分形(不存在多重分形现象)，所以可采用0 L S 法对见进行拟合估计，拟合出的斜率就是单一分形维。表12 0 0 3 年成立的1 8 只开放式基金投资风格及业绩比较基准风格指数数据来源：聚源数据库与天天基金网整理而成四、实证研究(一)样本选取与数据处理本文选择2 0 0 3 年成立的1 8 只开放式基金(7只股票型基金和1 1 只积极配置型基金，见表1)为研究样本，数据期间为2 0 0 5 年7 月1 日至2 0 1 0年3 月2 6 日的日收盘价格。样本选取和研究期间确定的

28、依据是：(1)这1 8 只基金来自于多家基金公司，宣称了不同的业绩比较基准风格指数；(2)在研究期间，这些基金都经历了大幅上涨、快速下跌和小幅回调等一个完整的周期行情，各基金的真实投资风格可以在此期间充分体现出来。因此，具有较好的代表性。样本容量为l1 5 4 个日收盘价，可计算出l1 5 3 个日收益率序列，数据来源于聚源数据库与天天基金网(h t t p：f u n d e a s t m o n e y c o r n)，数据处理与实证分析采用万方数据1 2 6 商业研究2 0 1 l I 晒E v i e w s 6 0 与M a d a b 7 0 软件，采用O L S 方法对价格弹

29、性分形维进行拟合估计。基金日对数收益率的具体计算公式如下：”型毛等苴些，R。；l n(1+几)2 可而差一，“5+几，其中，风分别表示基金i 在第t 日的简单收益率与对数收益率；N A 耽表示基金i 在第日的单位净值；玩表示基金i 在第t 日的分红派息。业绩比较基准风格指数日对数收益率的具体计算公式如下：R n=l n(I+“)=I n(14-P a p i，川)一l n(p n p 1)=I n P n I n P“I其中R。，P。分别表示业绩比较基准风格指数f在第t 日的风格指数对数收益率与收盘价。表21 8 只开放式基金投资风格漂移价格弹性分形维测算结果注：p v a l u e 值为价

30、格弹性分形维的t 统计量的显著性水平。1 11 O0 9O 80 70 60 5O 4O 3、一一一一一一，L 月Jl、厂厂y六YV123456789l O1 l1 21 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8巨受哑两班麴蔓野甄嘲亘重鲴图1基金投资风格一致性及1 8 只基金投资风格漂移价格弹性分形维对比图(-)实证结果与分析根据前面介绍的价格弹性分形维计算公式及测算方法。来对我国2 0 0 3 年成立的1 8 只开放式基金的投资风格漂移价格弹性分形维进行测算，测算结果见表2。从实证结果中发现，大部分基金收益都没有与业绩比较基准风格指数收益完全同步吻合，价格弹性分形维均不等于l，而是分布在1

31、的左右，即在投资风格一致性基准线上下波动(见图1)，表明基金没有很好地遵守宣称时的投资风格，均存在不同程度的投资风格漂移现象。其中，富通精选混合、易方达策略成长混合、金鹰成份优选混合、鹏华普天收益混合、银河稳健混合与国联德胜安稳健混合等6 只基金的弹性分形维在l的上下1 0 附近，表明基金收益率与业绩比较基准风格指数收益率相差不大，基金的投资风格相对比较稳健，这些基金宣称的投资风格是积极成长型、收益型、稳健成长型与平衡型；招商安泰股票与广发聚富混合2 只基金的弹性分形维在0 8 2 70 8 3 0 之间，表明发生了一定程度的投资风格漂移现象，这2 只基金宣称的投资风格是平衡型与成长型；泰达荷

32、银稳定股票、泰达荷银周期股票、泰达荷银成长股票、华宝兴业宝康消费品、华宝兴业宝康配置、长城久恒平衡混合等6 只基金的弹性分形维在0 7 5 3 0 7 9 6 之间，表明发生了较大程度的风格漂移现象，这些基金宣称的投资风格是价值型、成长型、稳健成长型与平衡型；景顺长城优选股票、嘉实稳健混合、融通蓝筹成长混合与国泰精选基金4 只基金的弹性分形维在0 3 3 3 0 6 4 3万方数据总第4 0 9 期许林：基于弹性分形维的开放式基金投资风格漂移研究1 2 7 之间，表明发生了非常严重的风格漂移现象，这些基金宣称的投资风格是稳健成长型与成长型。综合以上实证结果并对比图l 发现：基金宣称的投资风格大

33、多只是起销售标签作用而已，实际上没有起到很大的投资指导作用，基金经常发生无序的投资风格漂移现象，且成长型基金更倾向于发生投资风格漂移；在1 8 只基金中有1 6 只基金(占8 8 9)的弹性分形维小于l，即基金收益小于比较基准风格指数收益，说明投资风格漂移减少了投资收益，同时增大了漂移风险；根据价格弹性分形维与投资风格一致性基准线综合得到基金投资风格漂移的阀值大约为0 9，小于0 9 表明发生了较大程度的风格漂移，大于等于0 9 表明基金投资风格稳健性较好。投资风格漂移不但给投资者起到误导作用，反而让他们失去选择基金产品判断标准的方向，因此，可通过设定一个阀值来作为基金公司控制较严重的投资风格

34、漂移的临界点，避免投资风格漂移过大所带来的不可预期风险。五、结语本文通过引入分形理论探索性地研究基金投资风格漂移问题，给出了投资风格漂移的价格弹性分形维计算公式，通过推导挖掘出其经济含义，进一步提出将业绩比较基准风格指数作为基金投资风格是否发生漂移的指标。以我国2 0 0 3 年成立的1 8 只开放式基金日单位净值与相应业绩比较基准风格指数日收盘价为研究样本，实证结果表明：这些基金投资风格漂移具有明显的分形特征，提出的价格弹性分形维正好是基金对数收益率与业绩比较基准风格指数对数收益率的O L S 拟合斜率，为研究基金投资风格漂移提供了一种新研究范式。通过计算投资风格漂移价格弹性分形维不仅可以得

35、到我国开放式基金投资风格漂移的阀值，而且可能成为进一步测度与控制投资风格漂移风险的工具。特别地，从价格弹性分形维的计算结果均为正数又可发现：当比较基准风格指数价格的波动越大时，提示基金公司或基金经理预防投资风格漂移风险的意识要加强；从价格弹性分形维的计算结果小于l 还可发现：投资风格漂移所带来的风险大于所带来的收益，这暗示了基金公司需要加大投资风格漂移的控制。当然，本文还有待进一步研究的地方，比如没有考虑基金收益与比较基准风格指数收益的协同与交互效应、影响基金投资风格漂移的其他因素、投资风格漂移风险测度及对他们进行多重分形分析等，这些问题都是下一步研究的重点方向，我们将陆续撰文进行系列探索研究

36、。参考文献：S h a r p e，W F A s s e tA l l o c a t i o n：M a n a g e m e n tS t y l ea n dP e r f o r m a n c eM e a s u r e m e n t J J o u r n a lo fP o r t f o l i oM a n a g e m e n t，1 9 9 2，1 8(2)：7 一1 9 熊鹏。刘煜辉近四成投资基金“言行不一”J 新财富，2 0 0 3(1 1)：4 0 4 2 袁境中国开放武基金投资风格趋同化的因子分析 J 经济体制改革，加0 1 5(5)：1 2 6 1 3

37、 0 M a n d e l b r o tB B T h eF r a c t a lG e o m e t r yo fN a t u r e M 2 F r e e m a n，S a nF r a n c i s c o，1 9 8 3 P e t e r sE E F r a c t a lM a r k e tA n a l y s i s：A p p l y i n gC h a o sT h e o r yt oI n v e s t m e n ta n dE c o n o m i c s M N e wY o r k：J o h nW i l e y&S o n s，1

38、9 9 4 李宇海我国证券市场多时间跨度的分形特征研究 J 经济经纬，2 0 0 9(1)：1 5 0 1 5 3 王鹏，魏宇，张蕾中国交易所债券市场分形特征的实证研究 J 数理统计与管理，2 0 0 9，2 8(2)：3 2 4 3 3 0 T r i k iM o h a m e dB i l e l&S e l m iN a d h e m L o n gM e r e-o r yi nS t o c kR e t u r n s：E v i d e n c eo fG 7S t o c k sM a r-k e t s J R e s e a r c hJ o u r n a lo f

39、I n t e r n a t i o n a lS t u d i e s，2 0 0 9(9)：3 6 4 6 S i o w H o o iT a n，L e e L e eC h o n g，P e i k F o o n gY e a p L o n gM e m o r yP r o p e r t i e si nS t o c kP r i c e s：E v i d e n c ef r o mt h eM a l a y s i a nS t o c kM a r k e t J E u r o p e a nJ o u r n a lo fE c o n o m i c s，2 0 1 0(1 8)：7 78 4(责任编辑：严元)1 J1-1J1 J1 J1 J1 J1 J1 123456789r Lr Lr Lr Lr Lr Lr Lr Lr L万方数据