考研数学基础班概率与统计讲义.pdf

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1、1基础班概率主讲：马超基础班概率主讲：马超第一章随机事件和概率第一节基本概念1、概念网络图第一节基本概念1、概念网络图贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BCCBCBCBAPAE2、重要公式和结论2、重要公式和结论（1）排列组合公式)!(!nmmPnm从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(!nmnmCnm从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。（2）加法和 乘 法 原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m

2、 种方法完成，第二种方法可由 n种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，2试 验 和 随机事件但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空 间 和 事

3、件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的 关 系 与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件B的组

4、成部分，（A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=

5、(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)德摩根率：11iiiiAABABA，BABA（7）概率的 公 理 化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P()=13 对于两两互不相容的事件1A，2A，有11)(iiiiAPAP常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件A的概率。（8）古典概型1n21,，2nPPPn1)()()(21。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有P(A)=)()()(21m=)()()(21mPPP3nm基本事件总数所包含的基本事件数A（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的

6、可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，)()()(LALAP。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时，P(B)=1-P(B)（12）条件概率定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称)()(APABP为事件A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是

7、概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。（14）独立性两个事件的独立性两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必

8、然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件nBBB,21满足1nBBB,21两两互不相容，),2,1(0)(niBPi，2niiBA1，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。（16）贝叶设事件1B，2B，nB及A满足4斯公式11B，2B，nB两

9、两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2niiBA1，0)(AP，则njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1i，2，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1i，2，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表

10、示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,2,1,0。例 11：有 5 个队伍参加了甲 A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例 12：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和 Titanic 号，问有多少种走法？例 13：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例 14：10 人中有 6 人是男性，问组成 4 人组，三男一女的组合数。例 15：两线段MN 和

11、PQ 不相交，线段 MN 上有 6 个点 A1，A2，A6，线段 PQ 上有 7 个点B1，B2，B7。若将每一个 Ai和每一个 Bj连成不作延长的线段AiBj(i=1,2,6;j=1,2,7),则由这些线段 AiBj相交而得到的交点（不包括 A1，A6，B1，B713 个点）最多有A 315 个B 316 个C 317 个D 318 个例 16：3 封不同的信，有 4 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例 17：某市共有 10000 辆自行车，其牌照号码从 00001 到 10000，求有数字 8 的牌照号码的个数。例 18：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的种数？（有

12、序）151513CC2112121515CCCC例 19：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413CC1811121415CCCC5例 110：3 白球，2 黑球，任取 2 球，至少一白的种数？（无序）121413CC92225CC例 111：化简(A+B)(A+B)(A+B)例 112：)()()(CBCACBA成立的充分条件为：(1)CA(2)CB例 113：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的概率？例 114：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的概率？例 115：3 白球，2 黑球，任取 2 球，至少一白的概率？例

13、 116：袋中装有个白球及个黑球。从袋中任取 a+b 个球，试求其中含 a 个白球，b 个黑球的概率（a，b）。从袋中任意地接连取出 k+1（k+1+）个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。上两题改成“放回”。例 117：从 6 双不同的手套中任取 4 只，求其中恰有一双配对的概率。例 118：有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子，从中任取 3 个，问其中至少有 1 个是黑色的概率？例 119：设 O 为正方形 ABCD坐标为（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1）中的一点，求其落在 x2+y21 的概率。例 120：某市共有 10000 辆自行车，其牌照号码从 0

14、0001 到 10000，求偶然遇到的一辆自行车，其牌照号码中有数字 8 的概率。例 121：一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。试求：两只球都是白色的概率；两只球颜色不同的概率；至少有一只白球的概率。例 122：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。例 123：某工厂生产的产品以 100 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过 3 件，并具有如下的概率：一批产品中的次品数0123概率0.10.20.30.4现在进行抽样检验，从每批中抽取 10 件来检验，如果发现其中有

15、次品，则认为该批产品是不合格的，求一批产品通过检验的概率。例 124：某工厂生产的产品以 100 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过 3 件，并具有如下的概率：一批产品中的次品数0123概率0.10.20.30.4现在进行抽样检验，从每批中抽取 10 件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求通过检验的一批产品中，恰有)4,3,2,1,0(ii件次品的概率。例 125：A，B，C 相互独立的充分条件：（1）A，B，C两两独立（2）A与BC独立6例 126：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为 0.9，乙射中的概率为 0.8，求目标被射中的概率。例

16、127：有三个臭皮匠独立地解决一个问题，成功解决的概率分别为 0.45，0.55，0.60，问解决该问题的能力是否赶上诸葛亮（成功概率为 0.9）？例 128：假设实验室器皿中产生 A 类细菌与 B 类细菌的机会相等，且每个细菌的产生是相互独立的，若某次发现产生了n个细菌，则其中至少有一个 A 类细菌的概率是。例 129：袋中装有个白球及个黑球，从袋中任取 a+b 次球，每次放回，试求其中含 a个白球，b 个黑球的概率（a，b）。例 130：有 4 组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？例 131：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功 2 次之前已经失败3

17、 次的概率为：A32)1(4ppB3)1(4ppC32)1(10ppD32)1(ppE3)1(p第二节重点考核点第二节重点考核点事件的运算、概率的定义（古典概型和几何概型）、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公式、独立性和伯努利概型第三节常见题型1、事件的运算和概率的性质第三节常见题型1、事件的运算和概率的性质例 132：(AB)-C=(A-C)B成立的充分条件为：(1)AB=(2)AC=例 133：A,B,C 为随机事件，“A 发生必导致 B、C 同时发生”成立的充分条件为：(1)ABC=A(2)ABC=A例 134：设 A，B 是任意两个随机事件，则)()()(BABABABAP=。例 13

18、5：假设事件 A 和 B 满足 P（B|A）=1，则（A）A 是必然事件。（B）BA。（C）BA。（D）0)(BAP。72、古典概型和几何概型2、古典概型和几何概型例 136：有两组数，都是1，2，3，4，5，6，分别任意取出一个，其中一个比另一个大2 的概率？例 137：52 张扑克牌，任取 5 张牌，求出现一对、两对、同花顺的概率。例 138：设有 n 个质点，每个以相同的概率落入 N 个盒子中。设 A=“指定的 n 个盒子中各有 1 个质点”，对以下两种情况，试求事件 A 的概率。（1）（麦克斯威尔-波尔茨曼统计）假定 N 个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限。（2）（费

19、米-爱因斯坦统计）假定 n 个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点。例 139：袋中有 10 个球，其中有 4 个白球、6 个红球。从中任取 3 个，求这三个球中至少有 1 个是白球的概率。例 140：侯车问题：某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每个乘客到站等车时间不多于 2 分钟的概率。例 141：会面问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，求它们会面的概率是多少？3、条件概率和乘法公式3、条件概率和乘法公式例 142：从 0 到 9 这 10 个数

20、中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为 8 时，出现 5 的概率是多少？例 143：一个家庭有两个孩子，已知至少一个是男孩，问另一个也是男孩的概率？4、全概和贝叶斯公式4、全概和贝叶斯公式例 144：在盛有 10 只螺母的盒子中有 0 只，1 只，2 只，10 只铜螺母是等可能的，今向盒中放入一个铜螺母，然后随机从盒中取出一个螺母，则这个螺母为铜螺母的概率是A 6/11B5/10C5/11D4/11例 145：有 5 件产品，次品的比例为 20，从中抽查 2 件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？例 146：有 5 件产品，每件产品的次品率为 20，从中抽

21、查 2 件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？例 147：发报台以概率 0.6 和 0.4 发出信号“”和“”，由于通信系统存在随机干扰，当发出信号为“”和“”时，收报台分别以概率 0.2 和 0.1 收到信号“”和“”。求收报台收到信号“”时，发报台确实发出信号“”的概率。例 1 48：100 个球，40 个白球，60 个红球，先后不放回取 2 次，问第 2 次取到白球的概率？例 149：袋中有 4 个白球、6 个红球，先从中任取出 4 个，然后再从剩下的 6 个球中任取一个，则它恰为白球的概率是。例 150：设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报

22、名表分别为 3 份、7 份和 5 份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，8（1）求先抽到的一份是女生表的概率p；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。5、独立性和伯努利概型5、独立性和伯努利概型例 151：设两两相互独立的三事件 A，B，C，满足：21)()()(,CPBPAPABC，并且169)(CBAP，求事件 A 的概率。例 152：设 P(A)0,P(B)0，证明（1）若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 不互斥；（2）若 A 与 B 互斥，则 A 与 B 不独立。例 153：对行任意二事件A和B，（A）若AB，则A，B一定独立。（B）若AB，则

23、A，B有可能独立。（C）若AB=，则A，B一定独立。（D）若AB=，则A，B一定不独立。例 154：“A,B,C 为随机事件，A-B 与 C 独立”的充分条件：(1)A,B,C 两两独立（2）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）例 155：设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且 0P（C）1。则在下列给定的四对事件中不.相互独立的是（A）BA与 C。（B）AC与C。（C）BA与C。（D）AB与C。例 156：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A=掷第一次出现正面，2A=掷第二次出现正面，3A=正、反面各出现一次，4A=正面出现两次，则事件（A）321,AAA相互独立。（B）432,AAA

24、相互独立。（C）321,AAA两两独立。（D）432,AAA两两独立。例 157：某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为 0.3，并且它们下车与否相互独立。求在发车时有 10 个乘客的条件下，中途有 3 个人下车的概率。例158：某种硬币每抛一次正面朝上的概率为0.6，问连续抛5 次，至少有4次朝上的概率。例 159：A 发生的概率是 0.6，B 发生的概率是 0.5，问 A,B 都不发生的最大概率？例 160：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为 2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为 2：1。今任取一

25、罐并从中取出 50 只球，查得其中有 30 只红球和 20 只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(A)154 倍(B)254 倍(C)798 倍(D)1024 倍9第四节历年真题数学一：1第四节历年真题数学一：1（87，2 分）设在一次试验中A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为；而事件A至多发生一次的概率为。2 2（87，2）三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球5 个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出 1 个球，这个球为白球的概率等于。已知取出的球是白球，此球属

26、于第二个箱子的概率为。3 3（88，2 分）设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为。4 4（88，2 分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为。5 5（89，2 分）已知随机事件A的概率P（A）=0.5，随机事件B的概率P（B）=0.6及条件概率P（B|A）=0.8，则和事件AB的概率P（AB）=。6 6（89，2 分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。7 7（90，2 分）设随机事件A，B及其和事件AB的概率分

27、别是 0.4,0.3 和 0.6，若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P（AB）=。8 8（91，3 分）随机地向半圆 0y22xax(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比。则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于4的概率为。9 9（92，3 分）已知P（A）=P（B）=P（C）=161)()(,0)(,41BCPACPABP，则事件A、B、C全不发生的概率为。1010（93，3 分）一批产品有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为。1111（94，3 分）已知A、B两个事件满足条件P（AB）=P

28、（A B），且P（A）=p，则P（B）=。1212（96，3 分）设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 厂和 B厂的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是 A 厂生产的概率是。1313（97，3 分）袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第 2 个人取得黄球的概率是。101414（98，3 分）设A、B是两个随机事件，且 0P(A)0,P(B|A)=P(B|A)，则必有（A）P（A|B）=P(A|B)（B）P（A|B）P(A|B)（C）P（AB）=P(

29、A)P（B）（D）P（AB）P(A)P（B）1515（99，3 分）设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=，P（A）=P（B）=P（C）21，且已知169)(CBAP，则P（A）=。1616（00，3 分）设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为91，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P（A）=。1717（06，4 分）设,A B为随机事件，且()0,(|)1P BP A B，则必有（A）()().P ABP A（B）()().P ABP B（C）()().P ABP A（D）()().P ABP B数学三：1数学三：1（87，2 分）若二事件A和B同时出现的概率

30、P（AB）=0，则（A）A和B不相容（互斥）。（B）AB是不可能事件。（C）AB未必是不可能事件。（C）P（A）=0 或P（B）=02 2（87，8 分）设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装30 件，其中 18 件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求（1）先取出的零件是一等品的概率p;（2）在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q。3 3（88，2 分）设P（A）=0.4,7.0)(BAP，那么（1）若A与B互不相容，则P（B）=；（2）若A与B相互独立，则P（B）=。4 4（8

31、8，2 分）（是非题）若事件A，B，C满足等式CBCA，则 A=B（）。5 5（88，7 分）玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8,0.1 和 0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4 只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。116 6（89，3 分）以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为：（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。（B）“甲、乙两种产品均畅销”。（C）“甲种产品滞销”。（D）“甲种产品滞销或

32、乙种产品畅销”。7 7（90，3 分）一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率为8180，则该射手的命中率为。8 8（90，3 分）设A、B为二随机事件，且AB，则下列式子正确的是（A）)()(APBAP（B）)()(APABP（C）)()|(BPABP（D）)()()(APBPABP9 9（90，4 分）从 0，1，2，9 等 10 个数字中任意选出 3 个不同的数字，求下列事件的概率：A1=三个数字中不含 0 和 5；A2=三个数字中不含 0 或 5。1010（91，3 分）设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（A）BA与不相容。（B）

33、BA与相容。（C）)()()(BPAPABP。（D）)()(APBAP1111（92，3 分）将C，C，E，E，I，N。S这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE 的概率为。1212（92，3 分）设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（A）1)()()(BPAPCP（B）1)()()(BPAPCP（C）)()(ABPCP（D）)()(BAPCP1313（93，3 分）设两事件A与B满足1)|(ABP，则（A）A是必然事件。（B）0)|(ABP。（C）BA。（D）BA。1414（94，3 分）设1)|()|(,1)(0,1)(0BAPBAPBPAP，则事件 A 和B（A）互不相容

34、。（B）互相对立。（C）不独立。（D）独立。1515（95，8 分）某厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂，以概率 0.3 需进一步调试，经调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格产品不能出厂。现该厂12新生产了)2(nn台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1）全部能出厂的概率；（2）恰有两台不能出厂的概率；（3）至少有两台不能出厂的概率。1616（96，3 分）已知,1)(0BP且)|()|(|)2121BAPBAPBAAP，则下列选项成立的是（A）)|()(|)(2121BAPBAPBAAP（B）)()()(2121BAPBAPBABAP（C）)|(

35、)|()(2121BAPBAPAAP（D）)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP1717（96，6 分）考虑一元二次方程,02CBxx其中B、C分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q。1818（98，9 分）设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份（3）求先抽到的一份是女生表的概率p；（4）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。1919（00，3 分）在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随

36、机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件“电炉断电”，而)4()3()2()1(TTTT为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于考试之星网 QQ:327917661电话:13608959455（A）0)1(tT（B）0)2(tT（C）0)3(tT（D）0)4(tT2020（03，4 分）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A=掷第一次出现正面，2A=掷第二次出现正面，3A=正、反面各出现一次，4A=正面出现两次，则事件（A）321,AAA相互独立。（B）432,AAA相互独立。（C）321,AAA两两独立。（D）432,AAA

37、两两独立。13数学四：1数学四：1（87，2 分）对于任意二事件A和B，有P（A-B）=（A）P（A）-P（B）。（B）P（A）-P（B）+P（AB）。（C）P（A）-P（AB）。（D）P（A）+P（B）-P（AB）。2 2（87，8 分）设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件，其中 18 件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求：（1）先取出的零件是一等品的概率p；（2）在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q.3 3（88，2 分）设P（A）=0.4,P(AB)=0.7

38、，那么（1）若A与B互不相容，则P（B）=；（2）若A与B相互独立，则P（B）=。4 4（88，2 分）（是非题）若事件A，B，C满足等式AC=BC，则A=B。（）5 5（88，7 分）玻璃杯成箱出售，每箱 20 只。设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8,0.1 和 0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看 4 只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。6 6（89，3 分）以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为：（A）“甲种产品滞销，乙种

39、产品畅销”。（B）“甲、乙两种产品均畅销”。（C）“甲种产品滞销”。（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。7 7（90，4 分）从略，1，2，9 等十个数字中任意选出 3 个不同的数字，求下列事件的概率：A1=三个数字中不含 0 和 5；A2=三个数字中含 0 但不含5。8 8（91，3 分）设A、B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则P（AB）=。9 9（91，3 分）设A和B是任意两个概率不为 0 的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（A）A与B不相容。（B）A与B相容。（C）P（AB）=P（A）P（B）（D）P（A-B）=P（A）1010（92，3 分）设A，B，

40、C为随机事件，P（A）=P（B）=P（C）=41，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=81，则A，B，C至少出现一个的概率为。141111（92，3 分）设当事件A与B同时发生时事件C也发生，则（A）P（C）=P（AB）。（B）P（C）=P（AB）（C）P（C）P（A）+P（B）-1。（D）P（C）P（A）+P（B）-1。1212（93，3 分）设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。1313（94，3 分）设一批产品中一、二、三等品各占 60%、30%、10%，现从中任了一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概

41、率为。1414（94，3 分）设 0P（A）1，0P（B）1，P（A|B）+P（A|B）=1，则事件A和B（A）互不相容。（B）互相对立。（C）不独立。（D）独立。1515（95，8 分）某厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂，以概率 0.3 需进一步调试，经调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1）全部能出厂的概率;（2）恰有两台不能出厂的概率；（3）至少有两台不能出厂的概率。1616（96，3 分）设A，B为随机事件且AB，P（B）0，则下列选项必然成立的是（A）P（A）P（

42、A|B）。（B）P（A）P（A|B）。（C）P（A）P（A|B）。（D）P（A）P（A|B）。1717（97，3 分）设 A，B 是任意两个随机事件，则P（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）=。1818（98，3 分）设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p=时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为。1919（98，3 分）设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且 0P（C）1。则在下列给定的四对事件中不.相互独立的是（A）BA与 C。（B）AC与C。（C）BA与C。（D）AB与C。2020（00，3 分）设A，B，C三个事件两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要

43、条件是（A）A与BC独立。（B）AB与AC独立。（C）AB与AC独立。（D）AB与AC独立。2121（00，3 分）在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件“电炉断电”，设T（1）T（2）T（3）T（4）为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E等于事件（A）T（1）t0.（B）T（2）t0.（C）T（3）t0.（D）T（4）t0.152222（01，3 分）对于任意二事件A和B，与AB=B不等价.的是（A）AB。（B）.AB（C）BA。（D）BA。2323（02，8 分）设A，B是

44、任意二事件，其中 0P（A）1。证明：P（B|A）=P（B|A）是A与B独立的充分必要条件。2424（03，4 分）对行任意二事件A和B，（E）若AB，则A，B一定独立。（F）若AB，则A，B有可能独立。（G）若AB=，则A，B一定独立。（H）若AB=，则A，B一定不独立。2525（06，4 分）设,A B为两个随机事件，且()0P B，(|)1P A B 则有（）（A）()()P ABP A（B）()()P ABP B（C）()()P ABP A（C）()()P ABP B16第二章随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图第二章随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图)()()()(

45、aFbFAPbXaAX随机事件随机变量基本事件)()(xXPxF分布函数：函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布102、重要公式和结论2、重要公式和结论（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，,2,1k，（2）11kkp。17（2）连续型随机变量的分布密度设)(xF是随机

46、变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：10)(xf。21)(dxxf。（3）离散与连续型随机变量的关系dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP可以得到 X 落入区间,(ba的概率。分布函数)(x

47、F表示随机变量落入区间（，x内的概率。分布函数具有如下性质：1,1)(0 xFx；2)(xF是单调不减的函数，即21xx 时，有)(1xF)(2xF；30)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5)0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(。（5）八大分布0-1 分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,2,

48、1,0,10,1，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(pnBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1.0k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为ekkXPk!)(，0，2,1,0k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。18超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。随机变量 X 服从参数

49、为 p 的几何分布，记为 G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数ab 1，即,0,1)(abxf其他，则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时，X 落在区间（21,xx）内的概率为abxxxXxP1221)(。指数分布其中0，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为记住积分公式：!0ndxexxn)(xf)(xF0，xb。axb,xe0 x,0,0 x,1xe0 x,0 x0,则 A=。例 215：设),(2NX，求)3|(|XP。例 216：XN(2,2)且

50、P(2X4)0.3，则 P(Xh）=P(Xa+hXa).(a,h 均为正整数)的充分条件为：(1)X 服从几何分布 P(X=k)=p(1-p)k-1(k=1,2,)(2)X 服从二项分布 P(X=k)=knCPk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)例 222：实验器皿中产生甲乙两种细菌的机会是相等的，且产生细菌的数 X 服从参数为的泊松发布，试求：（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。例 223：设随机变量 X 服从a,b(a0)的均匀分布，且 P(0X4)21，求：（1）X 的概率密度（2）P(1X5)例 224：X