概率论与数理统计第三章.pdf

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1、第三章第三章 随机向量的分布及数字特征随机向量的分布及数字特征 一、教材说明一、教材说明 本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念。本章仿照一维随机变量的研究思路和方法。1、教学目的与教学要求、教学目的与教学要求 本章的教学目的是：（1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量 的独立性概念；（2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数。本章的教学要求是：（1）深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度

2、函数，并熟练掌握几种常见的多维分布；（2）深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法；（3）熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目；（4）理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系。2、本章的重点与难点、本章的重点与难点 本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布的求法。二、教学内容二、教学内容 本章共分随机向量的分布、随机向量的独立性、随机向量函数的分布与数学期

3、望、随机向量的数字特征等 4 节来讲述本章的基本内容。3.1 随机向量的分布随机向量的分布 一、随机向量及其分布函数一、随机向量及其分布函数 1定义定义 定义定义 1 如果12(),(),()nXXX是定义在概率空间(,)P 上的个随机变量，则称n1()(),.,()nXXX=为(,上的维随机向量或随机变量。,)P n定义定义 2 对任意n个实数12,nx x x，则n个事件1122,nnXxXxXx同时发生的概率 121122(,),nnF x xxP Xx XxXxn=称为n维随机变量12(,)nXXX的联合分布函数。2二维随机变量的例子二维随机变量的例子 1)考察某地区成年男子的身体状况

4、，令 47()XYXY：该地区成年男子的身高；：该地区成年男子的体重则，就是一个二维随机变量()XYXY2)对一目标进行射击，令：弹着点与目标的水平距离；：弹着点与目标的垂直距离；则，就是一个二维随机变量 3性质性质 定理定理 任一二维联合分布函数必具有如下四条基本性质：(,)F x y（1）单调性单调性：分别对(,)F x yx或y是单调不减的，即 当12xx时有；当12(,)(,)F x yF xy12yy时有12(,)(,)F x yF x y。（2）规范性规范性：对任意的x和y，有0(,)F x y1，且,(,)lim(,)0,(,)lim(,)0(,)lim(,)1,xyx yFyF

5、 x yF xF x yFF x y+=+=,（3）右连续性右连续性：对每个变量都是右连续的，即(0,)(,),(,0)(,)F xyF x y F x yF x y+=+=。（4）非负性非负性：对任意的有,ab cd(,)(,)(,)(,)(,)0P axb cYdF b dF a dF b cF a c=+证明证明 仿一维分布函数的性质的证明，此处略。注注 任一二维联合分布函数必具有以上四条基本性质；还可证明具有以上性质的二元函数一定是某个二维随机变量的分布函数。(,)F x y(,)F x y例例 1 证明二元函数 0,0;(,)1,0.xyG x yxy+=+满足二维分布函数的性质（1

6、）（2）（3），但它不满足性质（4），故不是分布函数。分析分析：证明某二元函数是二维分布函数需验证满足二维分布函数的性质（1）（2）（3）（4），若证不是二维分布函数只需验证其中一条性质不满足即可。这是由于(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)1 1 1010.GGGG+=+=4.二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布 设(X,Y)的联合分布函数 F(x,y),则 X 和 Y 的边缘分布函数 分别为:(),()XXFx Fy 48(),(,)lim(,);XyFxP XxP Xx YF xF x y+=+=+=(),(,)lim(,).YxFyP YyP XYyFyF x y+=时，有

7、(,)()P Xi YjP=0.4当1时，由乘法公式 ji 11(,)()(|)4P Xi YjP Xi P Yj Xii=.事件XY=的概率为 11223344111125()0.5208.48121648P XYpppp=+=+=3）离散型二维随机变量的边缘分布律）离散型二维随机变量的边缘分布律 49111(),()(,i=1,2,iijijjijijP XxP Xx U YyP Xx Yypp+=+=?)j 111()(),(,1,2,jijiiiijjiP YyP U XxYyP Xx Yyppj+=+=?)j 其中.ip.和.jp分别表示11ijijjipp+=、的记号。它们分别是事

8、件(X=ix)和(Y=jy)的概率。例例 3 将两封信随意地投入 3 个空邮筒，设 X、Y 分别表示第 1、第 2 个邮筒中信的数量，求 X 与 Y 的联合分布列，并求出第 3 个邮筒里至少投入一封信的概率.解 X、Y 各自可能的取值均为 0、1、2，由题设知，取（1，2）、（2，1）、（2，2）均不可能.取其他值的概率可由古典概率计算.2211009322011093211,9120029P XYP XYP XYP XYP XYP XY=，(X,Y)的联合分布及边缘分布列为：略。P第三个邮筒里至少有一封信 =P第一、第二个邮筒里最多只有一封信=PX+Y1，事件X+Y1包含三个基本事件事件，所

9、以 PX+Y1=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=5/9，即第三个邮筒里至少有一封信的概率为 5/9。2.连续型随机向量的概率密度函数连续型随机向量的概率密度函数 1）定义）定义 4 如果存在二元非负函数，使得二维随机变量(,)p x y(,)X Y的分布函数可表示为(,)F x y(,)(,),xyF x yp u v dvdu=则称(,)X Y为二维连续随机变量，称为(,)p u v(,)X Y的联合密度函数。注：注：在偏导数存在的点上，有2(,)(,)p x yF x yx y=。2）联合密度函数的基本性质）联合密度函数的基本性质 50（1）非负性非负性（2）正则性正

10、则性(,)0;p u v(,)1.p u v+=注注 可求概率具体使用左式时，积分范围是的非零区域与G的交集部分，然后设法化成累次积分再计算出结果。(,)(,),GP X YGp x y dxdy=(,)p x y例例 4 设连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为(),0,(,)0,x ykexyf x y+=其它0k=求(1)常数 k;(2)(X,Y)的分布函数 F(x,y);(3)PX1,Y=。3）二维连续型随机向量边缘密度函数二维连续型随机向量边缘密度函数 设连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为 p(x,y)，由于(),(,)xXFxP XxP Xx Yf x y dy dx+

11、=+=。所以()(,),()(,)XYpxp x y dy pyp x y+=dx。通常分别称上式为二维随机变量关于 X 和 Y 的边缘密度函数或边缘密度。例例 5 设随机变量（X，Y）的密度函数为,01(,)0,kxyxyp x y=其他 试求参数 k 的值及 X 和 Y 的边缘密度。解解 根据联合密度函数的性质，有 1101()d dd d18xp xyx ykxy y xk+=，=。所以，8k=。X 的边缘密度函数 ()()dXpxp xy+=，y，51当 0 x1 时，；，；12()8d4(1)Xxpxxy yxx=当或0 x 时,，故()0Xpx=24(1)01()0Xxxxpx=，

12、其它1。同理可得 340().0Yyypy=，其它 4）多维均匀分布）多维均匀分布 设为DnR中的一个有界区域，其度量为DS，如果多维随机变量12(,)nXXX的联合密度函数为 12121,(,),(,)0,nDnx xxDSp x xx=其他 则称12(,)nXXX服从上的多维均匀分布，记为D12(,)n.XXXU D（例例 6 设为平面上以原点为圆心以为半径的圆，(,Dr)X Y服从上的二维均匀分布，其密度函数为 D22222221,(,)0,.xyrp x yrxyr+=+试求概率()2rP X.解解 先找出的非零区域与事件(,)p x y|2rX 的交集部分。于是所求的概率为 2222

13、2/22222/22222/2/22222211(|)221arcsin|112arcsin42130.609.23rrxrrrrxrrrPXdydxrx dxrrxx rxrrrrr rrr=+=+=+=525）二元正态分布）二元正态分布 如果二维随机变量(,)X Y的联合密度函数为 2211222222112212()()()()11(,)exp2,2(1)21xxyyp x yx y =+则称(,)X Y服从二维正态分布，记为221212(,)(,).X YN 其中五个参数的取值范围分别是：1212,;,0;11.=i|j设是二维离散型随机变量 对于固定的若则称为在条件下随机变量的条件概

14、率分布，记作p|,1,2,(1)i ji jjpip=?i|ji对于固定的不难验证满足0;(2)p=1.:对称地,可定义,已知iXx=的条件下,Y的条件概率分布为:|1,2,.j ipj=?例例 1 见书 p75 例 8.2.离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性 定理定理 3 若(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)(i,j=1,2,),则 X 与 Y 相互独立的充分必要条件是对一切 i,j=1,2,有 ijijPX=x,Y=y=PX=x PY=y .例例 2 已知(X,Y)的联合分布律为 Y X 1 2 1 1/3 1/6 2 a 1/9 3 b 1/18 试确定常数 a,b,使

15、X 与 Y 相互独立.解解:先求出 X,Y 的边缘分布列分别为 54X 1 2 3 P 1/2 a+1/9b+1/18 Y 1 2 P a+b+1/3 1/3 要使 X 与 Y 相互独立，可用 pij=pipj来确定 a,b。P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)，P(X=3,Y=2)=P(X=3)P(Y=2)，即 111299391111918183aabb=+=+因此，(X,Y)的联合分布列和边缘分布为 Y X 1 2 pi 1 1/3 1/6 1/2 2 a 1/9 1/3 3 b 1/18 1/6 pj 2/3 1/3 经检验，此时X与Y是相互独立的。三、连续型随机变量的条件密

16、度函数与独立性三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性 1.连续型随机变量的条件密度函数连续型随机变量的条件密度函数 设对于任意小的 x0，有 Px X 0,若 00,lim|limxxP Yy xXxxP Yy xXxxP xXxx +=0,则有|0,(|)limY XxP xXxx YyFy xP xXxx+=+55000(,)(,)/lim()()/lim(,)(,)/lim()()/(,)()()(,)/(,)()xXXxXXxxyxXXyXF xx yF x yxFxxFxxF xx yF x yxFxxFxxp u v dvdupu duFxF x yxxxxp x v dvpx

17、+=+=+=对 y 求导，得到在条件 X=x 下 Y 的条件密度函数为|(,)(|)()Y XXp x ypy xpx=.类似地，在条件 Y=y 下，X 的条件分布函数及条件密度函数为|(,)(|)()xX YYp u y duFx ypy=,/(,)(|).()X YYp x ypx ypy=例例 3 设二维随机变量()XY，服从圆域221xy+上的均匀分布,试求条件密度函数|(|).Y Xpy x解解:二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为()22110 xyp xy+=，其它222112 1111()(,)yy.yyyp x y dxdx+=Y由此得，当时，p Y所以，随机变量 的密度函

18、数为()22110Yyypy1=其它()2110.11()2 1Yypyyyy X|YY由此得，当时,，1p(x,y)因此当时，p(x,y)=.所以1p 56()222221112 101111X Yyxypx yyyXYyyy=其它即当时，在下的条件分布是区间上的均匀分布 例 4例 4 设221212(,)(,;,;),X YN 求|(|).X Ypx y解:解:因为221212(,)(,;,;),X YN 所以22(0,),YN从而()()(|2121122221(,)1(|)()211exp21X YYp x ypx ypyxyx=+)()()22112121Ny+这表明，二元正态分布的

19、条件分布是一元正态分布：，2.连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性 定理 1 定理 1 若连续性随机变量(X,Y)的密度函数 p(x,y)处处连续，则 X 和 Y 相互独立的充分必要条件是 p(x,y)=pX(x)pY(y)证明证明 充分性：若 p(x,y)=pX(x)pY(y)，则(,)(,)()()()()()()xyxyXYxyXYXYF x yp u v dudypu pv dudvpu dupv dvFxFy=必要性：若 X、Y 互相独立，则 F(x,y)=FX(x)FY(y)，即(,)()()()()xyxyxyXYXYp u v dudvpu dup v dvpu p v

20、 dudv=故 p(x,y)=pX(x)pY(y)例 5例 5 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数 21501(,)x yxyp x y=0其它0其它 57(1)求X,Y的边缘概率密度；(2)问X与Y是否相互独立？解解:1224151501()0()(,)2Xxx ydyx1xxxpxp x y dy+=0其0其它0其0其它它它1 240150150()(,)yYx ydxyyypxp x y dx+=即N的分布函数为()()()11()1()NXFzFzF z=Y.结论的推广 结论的推广(1)设 X1,X2,Xn相互独立，且 Xi的分布函数为 Fi(xi)，则 M=maxX1,X2,X

21、n的分布函数为 FM(z)F1(z)F2(z)Fn(z);N=minX1,X2,Xn的分布函数为 1()11().nNiiFzF=z(2)当 X1,X2,Xn相互独立且具有相同分布函数 F(x)，则 M=maxX1,X2,Xn的分布函数为 FM(z)F(z)n N=minX1,X2,Xn的分布函数为 FN(z)1-1-F(z)n 60(3)当 X1,X2,Xn相互独立且具有相同的概率密度 p(x)，则 M=maxX1,X2,Xn的密度函数为 pM(z)=nF(z)n-1p(z)N=minX1,X2,Xn的分布函数为 FN(z)n1-F(z)n-1p(z)2.2.Z=X+Y 的分布的分布 已知(

22、X,Y)的联合概率密度 p(x,y)，求 Z=X+Y 的分布函数。根据分布函数定义有()(,)(,)(,)zDz xx y zF zP ZzP XYzp x y dxdp x y dxyp x y dy dx+=+=y(,)(,)zzuyxdxp x ux dup x ux dx du+=+=令 对 z 求导，得 Z 的概率密度()Zpz为 p()(,)Zzp x zx dx+=由对称性可得()(,)Zpzp zy y+=dy 卷积公式:卷积公式:若 X,Y 相互独立，则(,)()()XYp x ypxpy=，代入前述()Zpz的表达式可得()()()ZXYpzpx pzx dx+=()()(

23、)ZXY;zpzy py dy+=.p例例 4 设随机变量X与Y相互独立,都服从区间上的均匀分布,令(0,1),ZXY=+试求随机变量Z的密度函数.解解:由题意可知:()()10110100XYxypxpy=其它其它 则()()()ZXYpzpx pzx+=dx1 01,0 xzx,(1)若或,0z 2z()0;Zpz=(1)若或,0z 2z()0;Zpz=(2)若01,0()1;zZzpzdx=z11()12.Zz(3)若12,zzdxz=p 61ZXY=+综上所述，我们可得的密度函数为()01210Zzzpzzz2=其它.例例 5（正态分布的可加性）设221122(,),(,),XNYN

24、且X与相互独立。证明Y221212(,)ZXYN.=+证明证明 见书 p85.注注 如果 Xi(i=1,2,n)为 n 个互相独立的随机变量,且 Xi N(i，i2)，则 22111(,)nnniiiiiiiiic XNcc=3.变量变换法变量变换法 1)变量变换法变量变换法 设(,)X Y的联合密度函数为，函数有连续偏导数，且存在唯一的反函数(,)p x y12(,),(,).ug x yvgx y=(,),(,)xx u vyy u v=，其变换的雅可比行列式 11(,)(,)0.(,)(,)uuxyxyx yu vuuJxyvvu vx yvvxy=若 则(,的联合密度函数为 12(,)

25、(,),Ug X YVgX Y=)U V(,)(,),(,).p u vp x u vy u vJ=这个方法实际上就是二重积分的变量变换法，其证明可参阅数学分析教科书。例例 6 设X与独立同分布，都服从正态分布Y2(,)N，记,.UXYVXY=+=试求的联合密度函数。U是否相互独立？(,)U VV与解解 因为 的反函数为 ,uxyvxy=+=()/()/xuvyuv=+=2,2,62则1/21/21.1/21/22xyuuJxyvv=所以得的联合密度函数为(,)U V222222221(,)(,),(,)|()/2)()/2)|21()/21()/2expexp222 221(2)exp.44

26、XYp u vp x u vy u vJpuvpuvuvuvuv=+=+=这正是二元正态分布的密度函数,其边际分布为 22(2,0,2,2,0)N22(2,2),(0,2),UNVN所以由(,)()()UVp u vpupv=知U与V相互独立.2)增补变量法增补变量法 增补变量法实质上是变换法的一种应用：为了求出二维连续随机变量(,)X Y的函数的密度函数，增补一个新的随机变量(,)Ug X Y=(,)Vh X Y=，一般令V或V。先用变换法求出的联合密度函数，再对关于v积分，从而得出关于U的边际密度函数。X=Y=(,)U V(,)p u v(,)p u v例例 7（积的公式）设X与相互独立，

27、其密度函数分别为 Y()Xpx和()Ypy.则U的密度函数为XY=1()()().UXYpupu v pvv+=dv 证证 记则,VY=,uxyvy=的反函数为/,xu vyv=雅可比行列式为 211,01uJvvv=所以(,的联合密度函数为)U V1(,)(/)()|(/)().|XYXYp u vpu vpvJpu vpvv=对关于积分,就可得U的密度函数(,)p u vXY=1()()().UXYpupu v pvv+=dv 63例例 8（商的公式）设X与Y相互独立，其密度函数分别为()Xpx和()Ypy，则UX Y=的密度函数为()()().UXYupuv pv v dv+=p证证记则

28、的反函数为,VY=/,ux yvy=,xuvyv=雅可比行列式为,01vuJv=所以的联合密度函数为(,)U V(,)()()|()()|XYXY.p u vpuvpvJpuvpvv=对关于积分,就可得(,)p u vUX Y=的密度函数()()().UXYpupuv pv v+=dv 注注 例 7 和例 8 的结果可以直接用来解题。例 9例 9 设 X、Y 相互独立，都服从正态分布 N(0,1)，试求 Z=X/Y 的密度函数.解解:由商的密度公式知:22221(1)21(1)202221()d21d11(1)(1)2yzzyzp zy eyyeytyzz+=+.+3.4 随机向量的数字特征随

29、机向量的数字特征 一、随机向量函数的数学期望一、随机向量函数的数学期望 定理定理 1 若二维随机变量(,)X Y的分布用联合分布列(,iP Xx Yy)j=或联合密度函数表示，则(,)p x y(,)Zg X Y=的数学期望为(,)(,),()(,)(,),ijijijg x yP Xx YyE Zg x y p x y dxdy+=在离散场合，在连续场合。这里所涉及的数学期望都假设存在。注：注：在连续场合（离散场合也类似）有(i)当时，(,)g X YX=(,)().XEXxp x y dxdyxpx dx+=(ii)当时，可得2(,)()g X YXEX=222()()(,)()()X.D

30、XE XEXxEXp x y dxdyxEXpx dx+=64同理可得Y的数学期望和方差。例例 1 在长为的线段上任取两个点aX与Y，求此两点间的平均长度。解解:由于且,(0,1X YU),X与Y独立，则(,)X Y的联合密度函数为 210,0(,)0;xayp x yaa=其它其它 于是两点间的平均长度为 200200022201(|)|1()()1().23aaaxaaxaEXYxydxdyaxy dydxyx dydxaaaxaxdxa=+=+=例 2例 2 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 215,01;(,)0 x yxyp x y=,其它.,其它.设Z=XY，试求Z的数学期望。

31、解：解：()()(,)E ZE XYxy f x y dxdy+=12001515.28yxyx ydx dy=例例 3 设随机变量12,nXXX?相互独立，且都服从(0,)的均匀分布，记试求1212max,min,.nnYXXXZXXX=?EY和EZ。解解：记iX的密度函数和分布函数分别为 0,0,1,0,()(),0,01,.iixxxp xF xxx=,其它,其它 则当0t 时，Y与Z的密度函数分别为 111111111()()()(),1()1()()(1).nnYnnZtptn F tp tntptnF tp tn=所以 65010.1()1nnnnnnEYt dtnnEZttdtn

32、.=+=+注注：上例表明在某些场合我们不能直接运用上述定理去求。二、数学期望与方差的运算性质二、数学期望与方差的运算性质 性质性质 1 设(,)X Y是二维随机变量，则有()()().E XYE XE Y+=+注注 。1212()()()nnE XXXE XE XE X+=+()性质性质 2 若随机变量X与Y相互独立，则有()()()E XYE X E Y=。注注 若12,nXXX相互独立，则有1212()()()nnE X XXE X E XE X()=性质性质 3 若随机变量X与Y相互独立，则有()()(D XYD XD Y).=+注注 若12,nXXX相互独立，则有 1212()()()

33、nnD XXXD XD XD X=+()例例 4 设(,),XB n p试求,.EX DY 分析分析：在计算时，若将X表示成若干个相互独立的 01 分布变量之和，运用上述性质计算就极为简便。解：在 n 重 Bernoulli 试验中，A 发生的概率为 p，不发生的概率为 q=1-p。设 10iiAXiA=，第 次试验 发生，第 次试验 不发生。()()1,2,iiE XpD Xpqin=?，.).则A发生的次数：1,(,niiXXXB n p=1111()(),()().nnnniiiiiiE XE Xpnp D XD Xpqnpq=例例 5 已知随机变量12,3XXX相互独立，且 123(0

34、,6),(1,3),(3).XUXNXExp求的数学期望、方差和标准差。1223YXXX=+3解解 略。三、协方差三、协方差 1、定义、定义 X定义 1定义 1 设(,是二维随机变量，若)X Y()()E XE XYE Y存在，则称此数学期望为 66与Y的协方差，或称为X与Y的相关（中心）矩，并记为 (,)()()Cov X YE XE XYE Y=特别有(,)().Cov X XD X=注注:协方差的计算 (i)离散型随机变量其中 ov(,)()(),ijijCX YxE XyE Yp=ijX=x ,Y=y=p ,i,j=1,2.?ijijP(ii)连续型随机变量 cov(,)()()(,)

35、.X YxE XyE Yp x y dxdy+=2、性质、性质 性质性质 1(,)()()()Cov X YE XYE X E Y=性质性质 2 若随机变量X与Y相互独立，则(,)0Cov X Y=，反之不然。性质性质 3 对任意二维随机变量(,)X Y，有()()()2(,D XYD XD YCov X Y)=+注注 该性质可以推广到更多个随机变量场合，即对任意个随机变量n12,nXXX，有 11111()()2(,nnniiiiiiijDXD XCov XX=+)j性质性质 4 协方差的计算与(,)Cov X YX，Y的次序无关，即(,)(,)Cov X YCov Y X=性质性质 5 任

36、意随机变量X与常数的协方差为零，即a(,)0Cov X a=。性质性质 6 对任意常数有,a b(,)(,Cov aX bYabCov X Y)=。性质性质 7 设,X Y Z是任意三个随机变量，则(,)(,)(,Cov XY ZCov X ZCov Y Z)+=+。例例 6 设二维随机变量(,)X Y的联合密度函数为 3,01,(,)0,.xyxp x y由此我们还可以得结论：X与Y不相互独立.四、相关系数四、相关系数 1、定义、定义 由协方差的性质 6 知,协方差取值的大小要受到量纲的影响,为了消除量纲对协方差值的影响,我们把,X Y标准化后再求协方差.()()()()*,.XE XYE

37、YXYD XD Y=()()()()()()()()*(,)()()()(,).()()Cov XYEXE XYE YE X YXE X YE YED XD YEXE XYE YCov X YD XD YD XD Y=定义 2定义 2 设是二维随机变量，且则称(,)X Y()0,()0.D XD Y,(,)(,)()()X YXYCov X YCov X YD XD Y=为X与Y的（线性）相关系数。注注 相关系数的另一个解释是：它是相应标准化变量的协方差。例 7例 7 若2(0,1),XNYX=,问 X 与 Y 是否不相关？解解 因为 XN(0,1),密度函数221()e2xp x=为偶函数,

38、所以3()()0E XE X=.于是由:32cov(,)()()()()()()0.X YE XYE X E YE XE X E X=得 cov(,)0.()()XYX YD XD Y=这说明 X 与 Y 是不相关的,但2YX=,显然，X 与 Y 是不相互独立的.例例 8 二维正态分布221212(,)N 相关系数就是。68证明:证明:显然，我们有 ()22112,E XDXEYDY2=.由于()()()()()()221122222112212211exp2 121xxyyp xy 2=+，22121222212112()122(1)12212(,)()()(,)1()()21xyxCov

39、X Yxyp x y dxdyxyeedydx =令212211,1yxxtu11=2112,(12)xuytu=+则 112212111111 0ttx yJuuxy1 =12122121()11 =则 221212222121()122(1)122121(,)()()21xyxCov X Yxyeedydx =2222222222121221222121222221(1)121122utututu tu edtduu eduedtuedutedt =+=+12122202 =+=1212(,)()()xyCov X YD XD Y =从而说明二维正态分布随机变量 X、Y 相互独立0=，即

40、X、Y 相互独立与不相关是等价的。692、相关系数的性质、相关系数的性质 引理引理 2（柯西-施瓦茨不等式）对任意二维随机变量(,)X Y，若X与Y的方差都存在，且记22(),()YXD XD=Y2.，则有 22(,)XYCov X Y 性质性质 1.,11X Y 定义定义 3 当,0X Y=，称X与Y不相关;当,1X Y0，称X与Y负相关;当,01X Y,1X Y=时有0a 12,.XX22(0),求 解:因为与不相关,所以与也不相关,从而 22()()()DXYDXDY,+=+=+,22()()()DXYDXDY=+=+2222(,)(,)(,)(,)(,),CovXYXYCov X XCov X YCov Y XCov Y Y+=+=故 122212,2212(,).XXCov XXDXDX=+作业：作业：70