3应用统计.pdf

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1、第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合?表示统计资料的特征数有哪些？表示统计资料的特征数有哪些？?几何平均数与调和平均数各适合于什么情况？几何平均数与调和平均数各适合于什么情况？?计算样本方差与总体方差公式有何区别？计算样本方差与总体方差公式有何区别？第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.1 表示集中位置的特征数3.1 表示集中位置的特征数 3.1.1 平均数3.1.1 平均数算术平均数（Arithmetic average）算术平均数（Arithmetic average）几何平均数（Geometric Mean）几何平均数（Geometric Mean）调和平均数调和平均数第三章统

2、计资料的综合第三章统计资料的综合(1)算术平均数（Arithmetic average）(1)算术平均数（Arithmetic average）定义：定义：一组n个观测值x一组n个观测值x1 1,x,x2 2,，x，xn n的算术平均数，定义为的算术平均数，定义为nxxnii=1第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合(1)算术平均数（Arithmetic average）(1)算术平均数（Arithmetic average）如果资料已经分组，组数为k，用x如果资料已经分组，组数为k，用x1 1,x,x2 2,，x,，xk k表示各组中点，f表示各组中点，f1 1，f，f2 2,f,fk k

3、表示相应的频数，那么表示相应的频数，那么=kiikiiifxfx11第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合(1)算术平均数（Arithmetic average）(1)算术平均数（Arithmetic average）表表表表3 3 3 3-1 1 1 1 某校某校某校某校125125125125位大学一年级新生体重表位大学一年级新生体重表位大学一年级新生体重表位大学一年级新生体重表体重（公斤）体重（公斤）组中值(x)组中值(x)人数(f)人数(f)4646484847 47 4 44949515150 50 20 20 5252545453 53 25255555575756 56 38

4、38 5858606059 59 21 21 6161636362 62 12126464666665655 5第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合(1)算术平均数（Arithmetic average）(1)算术平均数（Arithmetic average）其平均体重：其平均体重：=kifikixifi1155.59255.5921256949x=第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合(1)算术平均数（Arithmetic average）(1)算术平均数（Arithmetic average）0nx_xi1i=()=niAxi12当当xA=时最小时最小性质性质性质性质第三章统计资料的

5、综合第三章统计资料的综合(2)几何平均数（Geometric Mean）(2)几何平均数（Geometric Mean）在数据为环比类型的问题中，算术平均数是不适用的。例如下表是天津市工业总产值在在数据为环比类型的问题中，算术平均数是不适用的。例如下表是天津市工业总产值在“十五十五”期间的逐年增长率，如求该期间平均增长率，算术平均数是不恰当的。几何平均数可以解决这个问题。期间的逐年增长率，如求该期间平均增长率，算术平均数是不恰当的。几何平均数可以解决这个问题。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合(2)几何平均数（Geometric Mean）(2)几何平均数（Geometric Mean）

6、表表表表3 3 3 3-2 2 2 2 天津市工业总产值天津市工业总产值天津市工业总产值天津市工业总产值年份年份比上年增长比上年增长200020002001200114.014.02002200219.619.62003200324.124.12004200431.031.02005200520.8 20.8（天津市2005统计年鉴）（天津市2005统计年鉴）第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合(2)几何平均数（Geometric Mean）(2)几何平均数（Geometric Mean）定义:一组n个数据的几何平均数定义为定义:一组n个数据的几何平均数定义为nr.rrGn21=rrr52

7、1,.,121.8120.8131.0124.1.6191114.05=在上式中，依次为114.0，119.6，124.1，十五期间天津市工业总产值年均增长率为21.8%在上式中，依次为114.0，119.6，124.1，十五期间天津市工业总产值年均增长率为21.8%。131.0，120.8于是几何平均数：131.0，120.8于是几何平均数：第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合(3)调和平均数(3)调和平均数 当数据是相对变化率，求平均数时，算术平均数也不恰当。当数据是相对变化率，求平均数时，算术平均数也不恰当。例如：甲乙两地相距120公里，某人乘车往返甲乙两地之间，去时速度每小时20公

8、里，回来时速度为每小时30公里，若求平均速度，这时用算术平均数是不对的，但调和平均数可解决此类问题。例如：甲乙两地相距120公里，某人乘车往返甲乙两地之间，去时速度每小时20公里，回来时速度为每小时30公里，若求平均速度，这时用算术平均数是不对的，但调和平均数可解决此类问题。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合+=RnRRnH1111121241301201211=+=H24,=H在上例中，在上例中，（公里/小时）（公里/小时）定义：定义：一组n个数据的调和平均数H，由下式定义一组n个数据的调和平均数H，由下式定义(3)调和平均数(3)调和平均数第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.

9、1.2众数（Mode）3.1.2众数（Mode）算术平均数表示了集中位置特征，它照顾到每一个值，但它不见得是出现次数最多的值（甚至也可能不是观测值中的一个）。所以有必要研究表示集中位置的其它的特征数。算术平均数表示了集中位置特征，它照顾到每一个值，但它不见得是出现次数最多的值（甚至也可能不是观测值中的一个）。所以有必要研究表示集中位置的其它的特征数。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.1.2众数（Mode）3.1.2众数（Mode）定义：对于有频数分布的变量，它的众数指频数最大的变量的值定义：对于有频数分布的变量，它的众数指频数最大的变量的值表表3 3-3 3 频数分布表频数分布表频数

10、分布表频数分布表Xf3 3155273对于已分组且等组距的频数分布，根据最大频数，可求得众数所在组。根据众数定义，可知众数不唯一。对于已分组且等组距的频数分布，根据最大频数，可求得众数所在组。根据众数定义，可知众数不唯一。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.1.3 中位数（Median）3.1.3 中位数（Median）算术平均数作为集中位置的特征还有一缺点，就是受观测值中极端值的影响很大，而一组观测值中的极端值常常没有代表性。中位数将避免这种影响。算术平均数作为集中位置的特征还有一缺点，就是受观测值中极端值的影响很大，而一组观测值中的极端值常常没有代表性。中位数将避免这种影响。第三章

11、统计资料的综合第三章统计资料的综合一组n个观测值按数值大小排列，处于中央位置的值称为中位数以表示一组n个观测值按数值大小排列，处于中央位置的值称为中位数以表示，Me+=+xxxMennn1222121，当n为奇数，当n为奇数，当n为偶数，当n为偶数定义定义：即即3.1.3 中位数（Median）3.1.3 中位数（Median）第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合第25百分位数又称第一个四分位数（First Quartile）,用Q第25百分位数又称第一个四分位数（First Quartile）,用Q1 1 表示；第50百分位数又称第二个四分位数（Second Quartile），用Q表示

12、；第50百分位数又称第二个四分位数（Second Quartile），用Q2 2表示；第75百分位数又称第三个四分位数（Third Quartile）,用Q表示；第75百分位数又称第三个四分位数（Third Quartile）,用Q3 3表示。表示。第25百分位数又称第一个四分位数（First Quartile）第25百分位数又称第一个四分位数（First Quartile）,用Q,用Q1 1 表示；第50百分位数又称第二个四分位数表示；第50百分位数又称第二个四分位数（Second Quartile），用Q（Second Quartile），用Q2 2表示；第75百分位数表示；第75百分位数

13、又称第三个四分位数（Third Quartile）,用Q又称第三个四分位数（Third Quartile）,用Q3 3表示。表示。中位数是第50百分位数中位数是第50百分位数一组n个观测值按数值大小排列如x一组n个观测值按数值大小排列如x1,1,x x2,2,x x3,3,x x4 4处于p%位置的值称第p百分位数。处于p%位置的值称第p百分位数。定义定义：3.1.4 百分位数（3.1.4 百分位数（Percentile）Percentile）第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合如何计算百分位数如何计算百分位数计算第p百分数计算第p百分数第1步：以递增顺序排列原数据（即从小到大排列）第1步

14、：以递增顺序排列原数据（即从小到大排列）。第2步：计算指数第2步：计算指数%npi=第3步第3步1.若i不是整数，将i向上取整。大于I 的毗邻整数为第p百分位数的位置。1.若i不是整数，将i向上取整。大于I 的毗邻整数为第p百分位数的位置。1.若i不是整数，将i向上取整。大于I 的毗邻整数为第p百分位数的位置。1.若i不是整数，将i向上取整。大于I 的毗邻整数为第p百分位数的位置。2.若i是整数，则第P百分位数是第i项与第（il）项数据的平均值。2.若i是整数，则第P百分位数是第i项与第（il）项数据的平均值。2.若i是整数，则第P百分位数是第i项与第（il）项数据的平均值。2.若i是整数，则

15、第P百分位数是第i项与第（il）项数据的平均值。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.2 表示变异（分散）程度的特征数3.2 表示变异（分散）程度的特征数数据的变异程度数据的变异程度产品质量检查的结果产品质量检查的结果说明生产是否稳定说明生产是否稳定测量的结果测量的结果说明测量方法或仪器是精密还是粗糙说明测量方法或仪器是精密还是粗糙学生的成绩学生的成绩成绩是否整齐（而不是高低）成绩是否整齐（而不是高低）第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.2.1极差（或称全距 Range）R3.2.1极差（或称全距 Range）R 定义定义其中x其中xmaxmax和x和xminmin分别为数据中的

16、极大值和极小值。分别为数据中的极大值和极小值。minmaxxxR=第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合=niixxnDM11.对于已分组的频数分布（组数为k）对于已分组的频数分布（组数为k）=kiiixxfnDM11.定义定义平均差M.D.是离差的绝对值的平均数，即平均差M.D.是离差的绝对值的平均数，即3.2.2 平均差（Mean Absolute Deviation）3.2.2 平均差（Mean Absolute Deviation）第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合方差方差=niixxn122)(1样本样本=niixxnS122)(11对于已分组的频数分布（组数为k）总体对于已

17、分组的频数分布（组数为k）总体=kiiixxfn122)(1样本样本=kiiixxfnS122)(11总体总体3.2.3 方差（Variance），标准差（StandardDeviation）3.2.3 方差（Variance），标准差（StandardDeviation）第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合标准差标准差样本标准差样本标准差总体标准差总体标准差样本标准差样本标准差总体标准差总体标准差=niixxn12)(1=niixxnS12)(11对于已分组的频数分布（组数为k）对于已分组的频数分布（组数为k）=kiiixxfn12)(1=kiiixxfnS12)(11标准差的单位与X的

18、单位相同。标准差的单位与X的单位相同。3.2.3 方差（Variance），标准差（StandardDeviation）3.2.3 方差（Variance），标准差（StandardDeviation）第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.2.4变异系数（Coefficient of Variation）3.2.4变异系数（Coefficient of Variation）定义变异系数C定义变异系数C(%)100=xsC是一个无量纲的量。它适于用在比较有不同算术平均数或有不同量纲的两组数据的情况。例如比较大学生身高与小学生身高，或比较130名大学生身高和体重哪个变化波动范围比较大时，都可

19、用变异系数。是一个无量纲的量。它适于用在比较有不同算术平均数或有不同量纲的两组数据的情况。例如比较大学生身高与小学生身高，或比较130名大学生身高和体重哪个变化波动范围比较大时，都可用变异系数。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.3 表示偏倚情况或程度的特征数3.3 表示偏倚情况或程度的特征数 定义变异系数C定义变异系数C(%)100=xsC是一个无量纲的量。它适于用在比较有不同算术平均数或有不同量纲的两组数据的情况。例如比较大学生身高与小学生身高，或比较130名大学生身高和体重哪个变化波动范围比较大时，都可用变异系数。是一个无量纲的量。它适于用在比较有不同算术平均数或有不同量纲的两组

20、数据的情况。例如比较大学生身高与小学生身高，或比较130名大学生身高和体重哪个变化波动范围比较大时，都可用变异系数。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.3 表示偏倚情况或程度的特征数3.3 表示偏倚情况或程度的特征数3.3.1比较众数、中位数和算术平均数的相对位置3.3.1比较众数、中位数和算术平均数的相对位置下图列举出了对称的、具有左偏态（负偏态）和右偏态（正偏态）的频数分布的例子。注意到它们的特点是：下图列举出了对称的、具有左偏态（负偏态）和右偏态（正偏态）的频数分布的例子。注意到它们的特点是：对称的分布的众数、中位数和算术平均数相同；对称的分布的众数、中位数和算术平均数相同；具有

21、偏倚性的分布，算术平均数突出在外，偏向具有偏倚性的分布，算术平均数突出在外，偏向分布的尾端，而中位数则介于众数与算术平均数之分布的尾端，而中位数则介于众数与算术平均数之间。间。具有偏倚性的分布，算术平均数突出在外，偏向具有偏倚性的分布，算术平均数突出在外，偏向分布的尾端，而中位数则介于众数与算术平均数之分布的尾端，而中位数则介于众数与算术平均数之间。间。偏倚性是表示各观测值分布不对称情况或程度的。偏倚性是表示各观测值分布不对称情况或程度的。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.3.1比较众数、中位数和算术平均数的相对位置3.3.1比较众数、中位数和算术平均数的相对位置图3-1图3-1第三

22、章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.3.1比较众数、中位数和算术平均数的相对位置3.3.1比较众数、中位数和算术平均数的相对位置可以看出，对于单峰的分布，可以看出，对于单峰的分布，可以看出，对于单峰的分布，可以看出，对于单峰的分布，对称态：对称态：对称态：对称态：=Me=Mo=Me=Mo=Me=Mo=Me=MoxMeMoMeMoMeMoMeMeMoMeMoMeMoMeMo右偏态：右偏态：右偏态：右偏态：x第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.3.2 定量地描述偏倚性，常用的两个公式3.3.2 定量地描述偏倚性，常用的两个公式（1）Pearson偏倚系数（1）Pearson偏倚系数Pe

23、arsonPearson分布对称，则k=0分布对称，则k=0左偏态，则k0左偏态，则k0右偏态，则k0sMexk)(3=第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.3.2 定量地描述偏倚性，常用的两个公式3.3.2 定量地描述偏倚性，常用的两个公式（2）用标准化的三阶矩阵g表示（2）用标准化的三阶矩阵g表示313/)(snxxgnii=第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.4 五数概括法3.4 五数概括法五数概括法五数概括法（2）第1四分位数（Q（2）第1四分位数（Q1 1）。）。（3）中位数（Q（3）中位数（Q2 2）。）。（4）第3四分位数（Q（4）第3四分位数（Q3 3）。）。（5

24、）最大值。（5）最大值。（1）最小值。（1）最小值。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.4 五数概括法3.4 五数概括法 首先将数据按递增顺序排列，然后很容易就能确定最小值、3个四分位数和最大值了。对12个月薪数据的样本，按照递增顺序排列如下：首先将数据按递增顺序排列，然后很容易就能确定最小值、3个四分位数和最大值了。对12个月薪数据的样本，按照递增顺序排列如下：2210 2255 2350|2380 2380 2390|2420 2440 2450|2550 2630 28252210 2255 2350|2380 2380 2390|2420 2440 2450|2550 2630

25、 2825Q Q1 12365 Q2365 Q2 22405 Q2405 Q3 32500上述起薪数据以五数概括为：2210，2365，2405，2500，2825。2500上述起薪数据以五数概括为：2210，2365，2405，2500，2825。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.5 盒形图3.5 盒形图 盒形图实际上是以图形来概括数据。我们将盒形图延至这一章才讲是因为它的关键是计算中位数和四分位数Q盒形图实际上是以图形来概括数据。我们将盒形图延至这一章才讲是因为它的关键是计算中位数和四分位数Q1 1和Q和Q3 3。此外还将用到四分位数间距IQRQ。此外还将用到四分位数间距IQRQ

26、3 3QQ1 1。盒形图的画法步骤如下：盒形图的画法步骤如下：（1）画一个方盒，其边界恰好是第1和第3四分位数。对于上述的起薪数据，Q（1）画一个方盒，其边界恰好是第1和第3四分位数。对于上述的起薪数据，Q1 12365，Q2365，Q3 32500。2500。这个方盒包含了中间的50的数据。这个方盒包含了中间的50的数据。（2）在方盒上中位数的位置画一条垂线（对起薪数据，中位数为2405）。因此中位数将数据分为相等的两个部分。（2）在方盒上中位数的位置画一条垂线（对起薪数据，中位数为2405）。因此中位数将数据分为相等的两个部分。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.5 盒形图3.5

27、盒形图（3）利用四分位数间距IQR=Q（3）利用四分位数间距IQR=Q3 3QQ1 1，来设定界限。盒形图的界限定于低于Q，来设定界限。盒形图的界限定于低于Q1 1以下15个IQR和高于Q以下15个IQR和高于Q3 3以上15个IQR的位置。上、下限以外的数值作为异常值。以上15个IQR的位置。上、下限以外的数值作为异常值。（4）在图34中的横线叫做须线（whisker），须线从方盒的边线出发，直至在上、下限之内的最大值和最小值。（4）在图34中的横线叫做须线（whisker），须线从方盒的边线出发，直至在上、下限之内的最大值和最小值。（5）最后，任一异常值的位置以符号“”标出。（5）最后，任一异常值的位置以符号“”标出。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.5 盒形图3.5 盒形图图3-2图3-2盒形图例图盒形图例图