概率论与数理统计JA(48,3-4)1.pdf

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1、三三、频频 率率 与与 概概 率率1）频率的定义和性质频率的定义和性质定义定义:在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n 次试验，次试验，在这在这n 次试验中，事件次试验中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为称为事件事件 A 发生的发生的频数频数。比值。比值 nA /n 称为事件称为事件A 发生的发生的频率频率，并记成，并记成 fn(A)。1 随机事件的概率第一章概率与随机事件)()()()(2121AfnAfnAfnAAAfkkn ;1)(2 Sfn则则是两两互不相容事件，是两两互不相容事件，若若kAAA,321它具有下述性质它具有下述性质:;1)(01 Afn1 随机事件的概

2、率第一章概率与随机事件2）频率的稳定性频率的稳定性实实 验验 者者德德摩根摩根蒲蒲 丰丰K 皮尔逊皮尔逊K 皮尔逊皮尔逊n nH fn(H)204840401200024000106120486019120120.51810.50960.50160.50051 随机事件的概率第一章概率与随机事件频频率率稳稳 定定 值值概率概率事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事件发生事件发生的可能性的大小的可能性的大小频率的性质频率的性质概率的公理化定义概率的公理化定义1 随机事件的概率第一章概率与随机事件3）概率的定义概率的定义定义定义 设设 E 是随机试验，是随机试验，S 是它的样本空间，对于是它的样本

3、空间，对于E 的每一个事件的每一个事件 A 赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为 P(A),称为事件称为事件 A 的概率，要求集合函数的概率，要求集合函数 P(.)满足满足下列条件下列条件：;1)(20 SP;)(010AP )()()(2121APAPAAP则则是两两互不相容事件是两两互不相容事件若若,3201AA1 随机事件的概率第一章概率与随机事件4）概率的性质与推广概率的性质与推广0)(1 P性质性质则则是两两互不相容事件是两两互不相容事件若若性质性质,221AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn )()()()()(3APBPAPBPABPBA 性质性质SAB)(A

4、BAB 1 随机事件的概率 第一章概率与随机事件)()()()(4ABPBPABPABP 性质性质SBA1 随机事件的概率ABBAB )(1)(6APAP 性质性质1)(5 AP性质性质SAAB 第一章概率与随机事件)()()()(7ABPBPAPBAP 性质性质SAB)(ABBABA 1 随机事件的概率)()()()()()()()(8ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 性质性质第一章概率与随机事件性质性质 9有有个事件个事件对任意对任意,21nAAAn niiAP1 niiAP1 njijiAAP1 nkjikjiAAAP1 nnAAAP2111 1 随机事件的概率要求：熟练掌

5、握概率的性质要求：熟练掌握概率的性质第一章概率与随机事件1）加法原理：）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有种，第二类有m种，则完成这件事共有种，则完成这件事共有n+m种方法。种方法。3）排列：排列：(1)有重复排列有重复排列:在有放回选取中，从在有放回选取中，从n个不同元素个不同元素中取中取r个个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为元素进行排列，称为有重复排列，其总数为。rn四、排列组合公式四、排列组合公式2）乘法原理：）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有种方法，第二步有m种方法，则完成这

6、件事共有种方法，则完成这件事共有nm种方法。种方法。1 随机事件的概率第一章概率与随机事件4）组合：）组合：（1）从）从 n 个不同元素中取个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为虑其顺序，称为组合，其总数为（2）选排列：在无放回选取中，从）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中个不同元素中取取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为个元素进行排列，称为选排列，其总数为)1()1(rnnnPrn)!(!)1()1(rnrnrrnnnrnCrn 1 随机事件的概率说明说明：如果把如果把 n 个不同元素分成两组，一组个不同元素分成两组，一组

7、r 个，个，另一组另一组 n-r 个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有有种。种。)!(!rnrn 第一章概率与随机事件（2）多组组合：把）多组组合：把n个不同元素分成个不同元素分成k组组,使第使第 组有组有个元素，个元素，若组内元素不考，若组内元素不考虑顺序，那么不同分法有虑顺序，那么不同分法有种。种。)1(nk iinnnkii 1!1knnn（3）常用组合公式：）常用组合公式：.2,0011nniinkiikminkmnknknknknnknCCCCCCCCC 1 随机事件的概率说明：说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题熟练运用排列组合公式对求概率问

8、题是很重要的。是很重要的。第一章概率与随机事件2 等可能概型等可能概型等可能概型（古典概型）第一章概率与随机事件生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同。每个基本事件发生的可能性相同。一、一、等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）我们把这类实验称为我们把这类实验称为等可能概型等可能概型，考虑到它在概率论，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型古典概型。2等可能概型等可能概型第一章概率与随机事件设设 S=e1,e2,en,

9、由古典概型的等可能性，得由古典概型的等可能性，得.21ne=PePeP又由于基本事件两两互不相容；所以又由于基本事件两两互不相容；所以,121nePePePSP .,2,1,1ninePi 2等可能概型等可能概型第一章概率与随机事件若事件若事件 A 包含包含 k 个基本事件，即个基本事件，即 A=e1,e2,ek,则有则有：中基本事件总数中基本事件总数包含的基本事件数包含的基本事件数SAnkAP )(2等可能概型等可能概型例例 1 把一套把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：卷本的书随机地摆放在书架上，问：恰恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？好排成序（从左至右或从右至左）的概率是

10、多少？解：解：将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一个基本事件，共有放法个基本事件，共有放法4！种。！种。把书恰好排成序有两种放法。把书恰好排成序有两种放法。所以，所求概率为所以，所求概率为0833.0!42 p第一章概率与随机事件例例 2 将将 n 只球随机的放入只球随机的放入 N(N n)个盒子中去，个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。设盒子的容量不限）。,种放法种放法nNNNN 解：解：将将 n 只球放入只球放入 N 个盒子中去个盒子中去,共有共有而每个盒子中至多放一只球而每个盒子中至多放一只

11、球,共有共有,)1()1(种放法种放法nNPnNNN .)1()1(nnNnNPNnNNNp 故故思考：思考：某指定的某指定的n 个个盒子中各有一球的概率。盒子中各有一球的概率。2等可能概型等可能概型第一章概率与随机事件此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：以得出：“在一个有“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”人的班级里，至少有两人生日相同”的的概率为概率为 99.7%。np20 23 30 40 50 64 1000.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997 经计算可得下述结

12、果：经计算可得下述结果：2等可能概型等可能概型第一章概率与随机事件例例3 同时掷同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：颗骰子，试求下列事件的概率：A=5 颗骰子不同点颗骰子不同点；B=5 颗骰子恰有颗骰子恰有 2 颗同点颗同点；C=5 颗骰子中有颗骰子中有 2 颗同点，另外颗同点，另外 3 颗颗同是另一个点数同是另一个点数；4630.0 5635625PCBP 所以所以所含样本点数为所含样本点数为事件事件 B AP所以所以个个共有共有颗骰子，所有可能结果颗骰子，所有可能结果同时掷同时掷5652等可能概型等可能概型解：解：5656P，35625PC 第一章概率与随机事件03858.0 5626

13、25PCCP 所以，所以，所含样本点数为所含样本点数为事件事件C2等可能概型等可能概型，2625PC 第一章概率与随机事件例例4 设有设有 N 件产品，其中有件产品，其中有 M 件次品，今从中任件次品，今从中任取取 n 件，问其中恰有件，问其中恰有 k(k M)件次品件次品的概率是多少的概率是多少?种，种，nNC又又 在在 M 件次品中取件次品中取 k 件，所有可能的取法有件，所有可能的取法有种，种，knMNC 在在 N-M 件正品中取件正品中取 n-k 件件,所有可能的取法有所有可能的取法有种，种，kMC解：解：在在 N 件产品中抽取件产品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有不放回抽样不放回

14、抽样1）2等可能概型等可能概型第一章概率与随机事件于是所求的概率为：于是所求的概率为：nNknMNkMCCCp 此式即为此式即为超几何分布超几何分布的概率公式。的概率公式。由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品的取法共有件次品的取法共有种，种，knMNkMCC 2等可能概型等可能概型第一章概率与随机事件2）有放回抽样有放回抽样而在而在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k 件次品的件次品的取法共有取法共有于是所求的概率为：于是所求的概率为：knkknMNMC )(从从 N 件产品中有放回地抽取件产品中有放回地

15、抽取n 件产品进行排列，件产品进行排列，可能的排列数为可能的排列数为个，将每一排列看作基本事个，将每一排列看作基本事件，总数为件，总数为。nNnNknkknnknkknNMNMCNMNMCP )1()()(此式即为此式即为二项分布二项分布的概率公式。的概率公式。2等可能概型等可能概型第一章概率与随机事件2等可能概型等可能概型例例 5 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已次来访，已知所有这知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？是否可以推断接待时间是有规定的？解：解：假设接待站的接待时间没有规定

16、，各来访者在假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12 次次接待来访者都在周二、周四的概率为接待来访者都在周二、周四的概率为:212/712=0.0000003，即千万分之三。即千万分之三。第一章概率与随机事件人们在长期的实践中总结得到“人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的在一次实验中几乎是不发生的”（”（称之为称之为实际推实际推断原理断原理）。现在概率很小的事件在一次试验中）。现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，从而可以推断接待时间是有规定的竟然发生了，从而可

17、以推断接待时间是有规定的。等可能概型2等可能概型等可能概型第一章概率与随机事件例例 6 将将 n个男生和个男生和m个女生个女生(mn)随机地排成一列随机地排成一列,问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？解：解：2等可能概型等可能概型任意两个女生都不相邻时，任意两个女生都不相邻时，首先首先n个男生的排法有个男生的排法有n!种，种，每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队列两侧各有一个位置可以站女生，这样列两侧各有一个位置可以站女生，这样m个女生共有个女生共有n+1个位置可以站，个位置可以站，所以，所以，任意

18、两个女生都不相邻这一事件的概率为任意两个女生都不相邻这一事件的概率为)!(!1mnCmnpmn n+m个学生随机地排成一列共有排法个学生随机地排成一列共有排法(n+m)!种种!1mCmn 总共排法有总共排法有种。种。mmnmnCC 1第一章概率与随机事件思考题：思考题：如果这如果这n+m个学生不是排成一列，而是排个学生不是排成一列，而是排成一个圆状，首尾相接，这时，成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生都不任意两个女生都不相邻的概率是多少？相邻的概率是多少？2等可能概型等可能概型)/(1mmnmnCC 第一章概率与随机事件例例 7 袋中有袋中有 a只白球，只白球，b 只黑球从中将球取出只黑球

19、从中将球取出依次排成一列，问第依次排成一列，问第 k 次取出的球是黑球的概率次取出的球是黑球的概率种排法（样本点总数）种排法（样本点总数）成一列共有成一列共有个球中将球取出依次排个球中将球取出依次排从从)!(baba 解：解：设设 A=“第第 k 次取出的球是黑球”次取出的球是黑球”所含样本点数为所含样本点数为种，因此事件种，因此事件次取出黑球，有取法次取出黑球，有取法第第)!1()!1(babAbabk无关无关注意：此结果与次数注意：此结果与次数k 所以，所以，babbababAP )!()!1(2等可能概型等可能概型第一章概率与随机事件例例 8 从从 19 这这 9 个数中有放回地取出个数

20、中有放回地取出 n 个个.试求取出的试求取出的 n 个数的乘积能被个数的乘积能被 10 整除的概率整除的概率解：解：A=取出的取出的 n 个数的乘积能被个数的乘积能被 10 整除整除；B=取出的取出的 n 个数至少有一个偶数个数至少有一个偶数；C=取出的取出的 n 个数至少有一个个数至少有一个 5 则则 A=B C.BCP 1 CBP 1 CBPCPBP 1nnnnnn9498951 BCPAP 2等可能概型等可能概型第一章概率与随机事件街头摸奖问题：街头摸奖问题：一位赌主在街头设摊“摸彩”，他拿着一个布袋，内装一位赌主在街头设摊“摸彩”，他拿着一个布袋，内装6个红个红球球和和6个绿球个绿球，

21、除颜色不同外，球的形状、大小、质量都相同。，除颜色不同外，球的形状、大小、质量都相同。每次让人从袋中摸出每次让人从袋中摸出6个球，输赢规则为：个球，输赢规则为：6个全红个全红得得100元元5红红1绿绿 得得50元元4红红2绿绿 得得20元元3红红3绿绿 得得-100元元2红红4绿绿 得得20元元1红红5绿绿 得得50元元6个全绿个全绿得得100元元0.1%3.9%24.4%43.2%24.4%3.9%0.1%一连有一连有10几个人各摸几个人各摸5次，都输次，都输了，金额在了，金额在60130元。有人连元。有人连续摸续摸14次，竟输了次，竟输了570元。元。如果连续摸如果连续摸1000次，将大次，将大约有约有432次输次输100元，元，2次赢次赢100元，元，78次赢次赢50元，元，488次赢次赢20元，元，总计输总计输29340元，近元，近3万元。万元。第一章概率与随机事件