概率论与数理统计第二版6 西南财经大学出版社.pdf

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1、 1概率论第六章习题解答概率论第六章习题解答 习题习题 6.1 1 求下列总体分布中参数的矩估计：（1）21,01,(;)0,xxf x+=其他 其中 1；（2）f(x;p)=p(1 p)x 1，x=1,2,；其中 0 p 1；（3）1211221e,(;,)0,xxf x=其他 其中 1 0 解：（1）因11320021211E()(21)d()323226Xxxxxx=+=+=+=+，有=6 E(X)3，故 的矩估计为63X=；（2）因1121111ddd11E()(1)ddd1(1)xxxxxxxxqXx pppx qpqpqppqqqqpq=，故1E()pX=，p 的矩估计为1 pX=

2、；（3）因+=121121121121deede)1(de1)(E2xxxxxXxxxx 212121121ee+=+xxx，且+=121121121121d2eede)1(de1)(E22222xxxxxxXxxxx 22212122122222)(E2de12e121121+=+=+=+Xxxxxx，则2222122212122)(22)(E)(E)(D=+=XXX，即)(D2X=，)(D)(E1XX=，故 1和 2的矩估计为nSX=1，nS=2 2 求下列总体分布中参数的极大似然估计：课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 2（1）f(x;)=(1 )x 1，x=1,2,

3、；其中 0 0；（3）222)(ln2e21),;(=xxxf，x=0；其中 0 解：（1）nxnxxxnniinxfxfxfL=121)1()1()1()1();();();()(11121?，即)1ln()(ln)(ln1+=nxnLnii，令011)(1d)(lnd1=+=nxnLnii，得xxnnii11=，故 的极大似然估计为X1=；（2）nnxnxxxnxxxxxxxfxfxfLniin=e!e!e!e!);();();()(212121121?，即nxxxxLnnii=)!ln(ln)(ln211?，令01d)(lnd1=nxLnii，得xxnnii=11，故 的极大似然估计为X

4、=；（3）),;(),;(),;(),(222212nxfxfxfL?=212222222212)(ln212)(ln2)(ln22)(ln1e)2(1e21e21e21=niinxnnxnxxxxxxxx?，即21221222)(ln)ln()ln2(ln2),(ln+=niinxxxxnL?，令0ln2)1()(ln2),(ln21212=nxxLniinii，得=niixn1ln1，再令02)(ln12),(ln412222=+=niixnL，得=niixn122)(ln1，故 和 2的极大似然估计为=niiXn1ln1，=niniiiXnXn1212)ln1(ln1 3 设总体X的密度

5、函数为+=,0,10,)1();(其他xxxf 求参数 的极大似然估计与矩法估计，并看看它们是否一致？今获得样本观测值为0.4,0.7,0.27,0.55,课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 30.68,0.31,0.45,0.83试分别求 的极大似然估计值与矩估计值 解：因12121 2()(;)(;)(;)(1)(1)(1)(1)()nnnnLf xf xf xxxxx xx=+=+?，即ln L()=n ln(+1)+ln(x1 x2 xn)，令1 2dln()1ln()0d1nLnx xx=+=+?，则1 2111ln()lnnniinnx xxx=?，故 的极大似

6、然估计为11lnniinX=；因121001E()(1)d(1)22xXxxx+=+=+=+，有2E()11E()XX=，故 的矩法估计为211XX=；显然参数 的极大似然估计与矩法估计不一致；又因样本观测值为0.4,0.7,0.27,0.55,0.68,0.31,0.45,0.83，有1(0.40.70.83)0.523758x=+=?，故 的极大似然估计值为810.3982ln0.4ln0.7ln0.83=+?，的矩估计值为20.52375 10.099710.52375=习题习题 6.2 1 设容量为3的随机样本X1,X2,X3取自概率密度函数为 1,0,(;)0,xf x=其他 的总体

7、证明1(1)4X=和2(3)43X=都是 的无偏估计量 证：总体X的分布函数为 0,0,(;),0,1,xxF xxx=则容量为3的样本的最小顺序统计量X(1)的分布函数和密度函数为 33(1)0,0,(;)1 1(;)11,0,1,xxFxF xxx=23(1)(1)3(),0,(;)(;)0,xxfxFx=其他 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 4且最大顺序统计量X(3)的分布函数和密度函数为 33(3)0,0,(;)(;),0,1,xxFxF xxx=23(3)(3)3,0,(;)(;)0,xxfxFx=其他 得234222321(1)33300031212E()4

8、E()4()d(2+)d2+234xxxXxxxxxxx=，2432(3)33300044344E()E()dd334xxXxxxx=，故1(1)4X=和2(3)43X=都是 的无偏估计量 2 设总体X服从伯努利分布B(1,p)，p为未知参数（0 p 0）的总体X中分别抽取容量为n1,n 2的两个独立样本，样本均值分别为1X和2X试证：对于任意满足条件a+b=1的常数a和b，12aXbX=+都是 的无偏估计，并确定a、b使方差D()达到最小 解：因12E()E()XX=，211D()Xn=，222D()Xn=，有12E()E()E()()aXbXabab=+=+=+，故当a+b=1时，E()=

9、，12aXbX=+都是 的无偏估计；又2222222222212111212121 2()2(1)D()D()D()(1)nn an anaaaXbXaannnnn n+=+=+=+=，令21211 22()2dD()0dnn anan n+=，得112nann=+，且221221 22()d D()0dnnn na+=，课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 5故当112nann=+，2121nbann=+时，方差D()达到最小 4 设X1,X2,X3,X4是来自均值为 的指数分布的样本，其中 未知证明下列三个估计量 1123411()()36TXXXX=+，212341(6

10、543)10TXXXX=+，T3=2 X1 X2+3 X3 3 X4，均为 的无偏估计量，并说明上述估计量中哪个最有效 证：因总体X服从均值为 的指数分布，即X e(1/)，有E(X)=，D(X)=2，则112341111E()E()E()E()E()()()3636TXXXX=+=+=，2123411E()6E()5E()4E()3E()(6543)1010TXXXX=+=+=，E(T3)=2 E(X1)E(X2)+3 E(X3)3 E(X4)=2 +3 3=，故T1,T2,T3均为 的无偏估计量；又222221123411115D()D()D()D()D()()()93693618TXXX

11、X=+=+=，22222212341143D()36D()25D()16D()9D()(3625169)10010050TXXXX=+=+=，D(T3)=4 D(X1)+D(X2)+9 D(X3)+9 D(X4)=4 2+2+9 2+9 2=23 2，显然D(T1)D(T2)，试证：2()不是 2的无偏估计量 证：因是参数 的无偏估计量，即E()=，有2222E()()E()()DD=+=+，故2()不是 2的无偏估计量 习题习题 6.3 1 随机地从一批零件中抽取10个，测得其长度（单位：cm）为：2.13,2.14,2.12,2.13,2.11,2.15,2.14,2.13,2.12,2.

12、13假设该批零件的长度服从正态分布N(,2)，试求总体均值 的置信系数为95%的置信区间：（1）若已知=0.01；（2）若 未知 解：（1）单个正态总体，已知，估计，总体均值 的点估计为X，枢轴量为(0,1)XUNn=，置信系数1 =0.95，置信区间为/2/2(,)XuXunn+，因1(2.132.142.13)2.1310 x=+=?，=0.01，n=10，u 0.025=1.96，故 的置信系数95%的置信区间为0.010.01(2.13 1.96,2.13 1.96)(2.1238,2.1362)1010+=；（2）单个正态总体，未知，估计，总体均值 的点估计为X，枢轴量为(1)XTt

13、 nSn=，置信系数1 =0.95，置信区间为/2/2(1),(1)SSXtnXtnnn+，课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 6因1(2.132.142.13)2.1310 x=+=?，222221(2.132.13)(2.142.13)(2.132.13)0.01159s=+=?，n=10，t 0.025(9)=2.2622，故 的95%置信区间为0.01150.0115(2.132.2622,2.132.2622)(2.1217,2.1383)1010+=2 为估计制造某件产品所需的单件平均工时（单位：小时），现制造了五件，记录所需工时为：10.5,11,11.2,1

14、2.5,12.8 设制造单件产品所需工时服从正态分布，试求单件平均工时的置信系数95%的置信区间 解：单个正态总体，未知，估计，总体均值 的点估计为X，枢轴量为(1)XTt nSn=，置信系数1 =0.95，置信区间为/2/2(1),(1)SSXtnXtnnn+，因1(10.51112.8)11.65x=+=?，222221(10.5 11.6)(11 11.6)(12.8 11.6)0.99754s=+=?，n=5，t 0.025(4)=2.7764，故 的95%置信区间为0.99750.9975(11.62.7764,11.62.7764)(10.3615,12.8385)55+=3 设有

15、两台机床用来生产规格相同的铝合金薄板随机选取每台机床轧制的产品若干张，测得它们的厚度（单位：cm）如下：机器I：0.243,0.238,0.248,0.245,0.236,0.241,0.239，机器II：0.261,0.254,0.255,0.257,0.253,0.250，设两台机床所生产的薄板的厚度服从方差相等的正态分布试给出两台机床生产的铝合金薄板平均厚度差的置信系数为95%的置信区间 解：两个正态总体，未知22,xy（但22xy=），估计 x y，均值差 x y的点估计为XY，枢轴量为22()()(2)(1)(1)112xyxyXYTt nmnSmSnmnm=+，置信系数1 =0.9

16、5，置信区间为22/2(1)(1)11(2)2xynSmSXYtnmnmnm+，因1(0.2430.2380.239)0.24147x=+=?，1(0.2610.2540.250)0.2556y=+=?，222221(0.2430.2414)(0.2380.2414)(0.2390.2414)0.00426xs=+=?，222221(0.2610.255)(0.2540.255)(0.2500.255)0.00375ys=+=?，n=7，m=6，t 0.025(11)=2.2010，故 的95%置信区间为 2260.00425 0.003711(0.24140.2552.2010)(0.018

17、5,0.0087)1176+=课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 74 由容量为15，取自正态总体N(,2)的随机样本算得23.2,4.24xs=，确定 2和 的置信系数90%的置信区间 解：单个正态总体，估计 2，总体方差 2的点估计为S 2，枢轴量为2222(1)(1)nSn=，置信系数1 =0.90，置信区间为2222/21/2(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn，因s 2=4.24，n=15，20.05(14)23.685=，20.95(14)6.571=，故 2的90%置信区间为144.24 144.24(,)(2.5062,9.0336)23.6856.5

18、71=；的90%置信区间为(2.5062,9.0336)(1.5831,3.0056)=5 设有两个化验员A和B独立对某种聚合物中的含氯量用同一种方法各做了10次测定，其测定值的方差分别为220.512,0.665ABss=假定各自的测定值均服从正态分布，方差分别为2A和2B，求22AB的置信系数为0.90的置信区间 解：两个正态总体，估计22AB，方差比22AB的点估计为22ABSS，枢轴量为2222(1,1)AABBSFF nmS=，置信系数1 =0.90，置信区间为 2222/22222/21/2/2111(,)(,(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)AAAABBBBSSSSFmnF

19、nmFnmFnmSSSS=，因220.512,0.665ABss=，n=10，m=10，F 0.05(9,9)=3.18，故22AB的置信系数为0.90的置信区间为0.51210.512(,3.18)(0.2421,2.4484)0.6653.18 0.665=6 设枪弹的速度（单位：米/秒）服从正态分布为了比较两种枪弹的速度，在相同的条件下进行了速度测定算得数据如下：枪弹甲：m=110，2810 x=，sx=121.41；枪弹乙：n=100，2682y=，sx=105.06 试求这两种枪弹的平均速度之差的置信系数近似为95%的置信区间 解：两个正态总体，未知22,xy（大样本），估计 x y

20、，均值差 x y的点估计为XY，大样本情形下枢轴量为22()()(0,1)xyyxXYTNSSmn=+?，置信系数1 =0.95，置信区间为2222/2/2(,)yyxxSSSSXYuXYumnmn+，因m=110，2810 x=，sx=121.41，n=100，2682y=，sx=105.06，u 0.025=1.96，课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 8故 x y的95%置信区间为22121.41105.06(281026821.96)(97.36,158.64)110100+=复习题六复习题六 1 设X1,Xn为来自总体X的样本，X的概率密度函数为 22(),0,(

21、;)0,xxf x 0）是未知参数试求参数 的矩估计量 解：因3323222002212E()()d()()23233Xxxxxx=，有=3 E(X)，故 的矩估计为X=注：此题有误，密度函数非零取值范围应为0 x 2 伯莱托（Pareto）分布是常用于研究收入的模型，其分布函数为 0，2 0若随机样本X1,Xn取自该分布，求 1与 2的极大似然估计量 解：伯莱托分布的密度函数为=试求参数 的矩估计和极大似然估计，并证明矩估计量是无偏的 解：因222231/2211/2200E()4ed2(1)dexxXxxxx+=课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 922222211/2

22、211/221/21/20002e2ed()0(2 e)2 xxxxx+=+=+=，故E()2 X=，的矩估计为2 X=；因2222221231/2231/2231/221212()(;)(;)(;)4e4e4enxxxnnLf xf xf xxxx=?2213/221 24()eniixnnnnx xx=?，即21 2211ln()ln43 lnln2ln()2nniinLnnx xxx=+?，令231dln()1230dniiLnx=+=，得2123niixn=，故 的极大似然估计为2123niiXn=；4 设总体X的密度函数为|1(;)e,2xf xx=+，试求参数（+）的极大似然估计量

23、 解：112|121111()(;)(;)(;)eeee2222ninixxxxnnLf xf xf x=?，即1ln()ln2|niiLnx=，设顺序统计量为x(1),x(2),x(n)，并且记x(0)为，x(n+1)为+，不妨设x(k)x(k+1)，k=0,1,n 1,n，则1111ln()ln2()()ln2()knkniiiiii kii kLnxxnkxxnk=+=+=+11ln2(2)kniiii knnkxx=+=+，若2nk，有n 2k，有n 2k 0，ln L()关于 单调减少，当n为偶数时，取2nk=，ln L()在()()221nnxx+时达到最大，（由连续性知()21n

24、x+=时也达到最大），故当n为偶数时，的极大似然估计量为区间()()221,nnXX+上的任何值；当n为奇数时，取12nk=，ln L()在()()1122nnxx+时单调增加，取12nk+=，ln L()在()()1322nnxx+时单调减少，课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 10即ln L()在()12nx+=时达到最大，故当n为奇数时，的极大似然估计量()12nX+=5 设总体X N(,2)，X1,Xn是X的样本，X为样本均值，求常数c和d，使=+1121)(niiiXXc与=niiXXd1|分别为 2和 的无偏估计 解：因E(X i)=，2222)(E)(D)(E

25、+=+=iiiXXX，则=+=+=+=+=1112211112211121)(E)(E2)(E)(E)2(E)(EniiiiiniiiiiniiiXXXXcXXXXcXXc 221122222)1(22)1(2)()(=+=ncnccni，故当)1(21=nc时，21121)(E=+niiiXXc，=+1121)()1(21niiiXXn为 2的无偏估计；因=ijjinjjiiXnXnnXnXXX1111，有iXX服从正态分布，且E()E()E()0iiXXXX=，222222222(1)1(1)11D()D()D()(1)iijj innnXXXXnnnnnn=+=+=，则21(0,)inXXNn，(0,1)1iXXNnn，记1iXXYnn=，有Y N(0,1)，则222222001112E(|)|ed2ed2e2222yyyYyyyy+=，即21E(|)2inXXn=，1121E(|)E(|)2nniiiindXXdXXd nn=，故当2(1)n nd=时，1E|niidXX=，12(1)|niin nXX=为 的无偏估计 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m