1999-数二真题、标准答案及解析.pdf

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1、 -1-1999 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析理工数学二试题详解及评析 一、填空题一、填空题（1）曲线sin2cos2ttxetyet=在点()0,1处的法线方程为 .【答】210yx+=【详解】根据参数方程的求导公式，有 cossin,sin22cos2ttttdyetetyxetet=+与0,0 xy=对应0t=，故 0112|xydydx=，从而在点()0,1处的法线的斜率为-2，法线方程为 ()120,yx=即 210yx+=（2）设函数()yy x=由方程()23lnsinxyx yx+=+确定，则0|xdydx=.【答】1.【详

2、解】方程两边同时对x求导，视y为x的函数，得 23223cosxyx yx yxxy+=+由原方程知，0 x=时1y=，代入上式，得 001.|xxdyydx=（3）25613xdxxx+=+.【答】()213ln6134arctan.22xxxC+-2-【详解】()()22222613518613261361313 ln6134arctan.22d xxxdxxxxxxxxxxC+=+=+（4）函数221xyx=在区间13,22上平均值为 .【答】31.12+【详解】函数221xyx=在区间13,22上平均值为 3222312263622sinsincoscos31311211 sin224

3、3131 .12|xtdxxttdttxtt=+=（5）微分方程24xyye=得通解为 .【答】221214xxC eCx e+.【详解】特征方程为：240=解得 122,2=故40yy=的通解为 2212xxyC eC e=+由于非齐次项为()2xf xe=，2=为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为*2xyAxe=，代入原方程，得 14A=故所求通解为 -3-*2221122212141 4xxxxxyyyC eC exeC eCx e=+=+=+二、选择题二、选择题（1）设()()21 cos,0,0 xxf xxx g xx=其中()g x是有界函数，则()f x在0 x=处（A）极

4、限不存在.（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导 （D）可导.【】【答】应选（D）【详解】因为()()()300201 cos00limlim0,xxf xfxfxx+=()()()()()2000000limlimlim0,xxxf xfx g xfg x xxx=可见，()f x在0 x=处左、右导数相等，因此，()f x在0 x=处可导，故正确选项为(D).（2）设()()()15sin00sin,1,xxttxdtxt dtt=+则当0 x 时，()x是()x的（A）高阶无穷小；（B）低阶无穷小；（C）同阶但不等价的无穷小；（D）等价无穷小.【】【答】应选（C）-4-【详解】因为

5、()()()()5011000sinsin0sinsin555limlim5lim11 sincos1xxxxxtxtxdtxtxxexxt dt=+故()x是()x的同阶但不等价的无穷小.因此正确选项为（C）.（3）设()f x是连续函数，()F x是其原函数，则（A）当()f x是奇函数时，()F x必是偶函数.（B）当()f x是偶函数时，()F x必是奇函数.（C）当()f x是周期函数时，()F x必是周期函数.（D）当()f x是单调增函数时，()F x必是单调增函数.【】【答】应选（A）【详解】()f x的原函数()F x可以表示为()()0,xF xf t dtC=+于是()(

6、)()()00.xxFxf t dtCutfu duC=+=+当()f x为奇函数时，()()fuf u=，从而有()()()()00 xxFxf u duCf t dtCF x=+=+=即 ()F x为偶函数.故（A）为正确选项.至于（B）、（C）、（D）可分别举反例如下：()2f xx=是偶函数，但其原函数()3113F xx=+不是奇函数，可排除（B）；()2cosf xx=是周期函数，但其原函数()11sin224F xxx=+不是周期函数，可排除（C）；()f xx=在区间()+内是单调增函数，但其原函数()212F xx=在区间()+内非单调增函数，可排除（D）.（4）“对任意给定

7、的()0,1，总存在正整数,N当nN时，恒有2nx”是数列 -5-nx收敛于的（A）充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分条件又非必要条件；【】【答】应选（C）【详解】由数列 nx收敛于“对任意给定的()10,1，总存在正整数1N当1nN时，恒有1nx”，显然可推导处：“对任意给定的()0,1，总存在正整数,N当nN时，恒有2nx”反过来，若有“对任意给定的()0,1，总存在正整数,N当nN时，恒有2nx”则对任意的10（不访设101，当时，取一?111,01,，存在正整数,N当nN时，恒有，令11NN=，则满足“对任意给定的()10,1，总存在正

8、整数1N当1nN时，恒有1nx 可见上述两种说法是等价的，因此正确选项为（C）（5）记行列式212322212223333245354435743xxxxxxxxxxxxxxxx为()f x，则方程()0f x=的根的个数为（A）1 （B）2 （C）3.（D）4【】【答】应选（B）【详解】因为 ()210121002210122100331223312143734376xxxxf xxxxxxxxx=-6-()21022104377xxxxx x=三、三、求()201tan1 sinlim.ln 1xxxxxx+【详解】原式()0tansin1limln 11tan1 sinxxxxxxxx+

9、()()02001sin11 coslim2cosln 1112lim2ln 1121lim14211xxxxxxxxxxxxxx=+=+=+四、四、计算21arctan.xdxx+【详解】方法一：原式11arctan xdx+()()2112211limarctanlim111lim lnlnln24221ln2lim ln4211ln242|bbbbbbxdxxxxbbbb+=+=+=+=+方法二：作变换arctan,xt=则 -7-原式22244csccotttdtt dtdt=224424cotcot1lnsinln2442|tttdtt=+=+=+。五、五、求初值问题()()2210

10、,00|xyxydxxdyxy=+=的解【详解】原方程可化为 2221yxydyyydxxxx+=+令,yux=上述方程可化为 21,duuxuudx+=+分离变量，得 21dudxxu=+解得 ()2ln1lnuuxC+=+将yux=代回，得 22ln1lnyyxCxx+=+将10|xy=代入，得0,C=故初值问题得解为 22ln1lnyyxxx+=即 221,yyxxx+=化简得 -8-21122yx=六、六、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m,抓斗自重 400,N缆绳每米重 500N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3m/s,在提升过程

11、中，污泥以 20/N s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：111;,NmJ m N s J=分别表示米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）【详解 1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功 123WWWW=+其中1W是克服抓斗自重所作的功；2W是克服缆绳重力作的功；3W为提出污泥所作的功.由题意知 1400 3012000.W=将抓斗由x处提升到xdx+处，克服缆绳重力所作的功为()250 30,dWx dx=从而 ()302050 022500.Wx dx=在时间间隔,t tdt+内提升污泥需作功为

12、()33 200020.dWt dt=-9-将污泥从井底提升至井口共需时间30103=，所以()10303 20002057000.Wt dt=因此，共需作功 ()12000225005700091500WJ=+=【详解 2】作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W，当抓斗运动到x处时，作用 力()f x包 括 抓 斗 的 自 重 400,N缆 绳 的 重 力()()50 30 xN，污 泥 的 重 力()12000203xN，即()()2017040050 3020003900,33f xxxx=+=于是 ()3030200170853900390011700024500915

13、0033|Wx dxxxJ=七、七、已知函数()32,1xyx=求(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图形的凹凸区间及拐点；(3)函数图形的渐进线.【详解】所给函数的定义域为 ()(),11,+()()233,1xxyx=令0y=，得驻点0 x=及3.x=()46,1xyx=令y=0，得0,x=列表讨论如下：-10-x(),0 0()0,1()1,3 3()3,+y+0+-0+y-0+y?拐点?极小值?由此可知：（1）函数的单调增加区间为(),1和()3,+；单调减少区间为()1,3，极小值为3274|xy=(2)函数图形在区间(),0内是（向上）凸的，在区间()0,1，内是（向上）凹的，拐

14、点为()0,0（3）由()321lim,1xxx=+知1x=是函数图形的铅直渐进线；由 ()22limlim1,1xxyxxx=又 ()()22limlim2,1xxxyxxx=故2yx=+是函数图形的斜渐近线.八、八、设函数()y x在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且()()()10,11,00,fff=证明：在开区间()1,1内至少存在一点,使()3.f=【详解】方法一：在0 x=处，将()f x按泰勒公式展开，得 ()()()()()231100,2!3!f xffxfx xfx=+其中介于0与x之间，1,1x 分别令1x=和1x=，并结合已知条件，得 -11-()()()()()()

15、()()()()1122110100,10,26111100,11,26ffffffff=+=+=过曲线()yy x=上任意一点(),P x y作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围程的三角形的面积记为1,S区间0,x上以()yy x=为曲边的曲边梯形面积记为2,S并设122,SS恒为 1，求此曲线()yy x=的方程.【详解】曲线()yy x=上点(),P x y处的切线方程为 ()()()Yy xyxXx=它与x轴的交点为,0yxy 由于()0yx，()01,y=因此()()00y xx，于是有 21122yySy xxyy=又 ()20,xSy t dt=根据题设1221SS=

16、有 ()201,2xyy t dty=并且()01.y=上述两边对x求导并化简得 ()2yyy=这是可降阶的二阶常微分方程，令py=，则上述方程化为 2dpyppdy=分离变量，得 dpdypy=-13-解得 1,pC y=即1,dyC ydx=从而 12C x Cye+=根据()01,y=()01.y=得121,0,CC=故所求曲线的方程为 xye=十、十、设()f x是 区 间)0,+上 单 调 减 少 且 非 负 的 连 续 函 数，()()()111,2,nnnkaf kf x dx n=L证明数列 na的极限存在.【详解】由题设可得 ()()()()111,2,kkf kf x dx

17、f kk+=L 所以有 ()()1110nnnnaaf nf x dx+=+即数列 na单调下降，又 ()()11nnnkaf kf x dx=()()()()()11111110nnkkkknkkkf kf x dxf kf xdxf n+=+=+即数列 na有下界.十一、十一、设矩阵111111,111A=矩阵X满足*12,A XAX=+其中*A是A的伴随矩阵，求矩阵.X【详解】在已知矩阵等式两边同时左乘,A得 *12,AA XAAAX=+-14-利用公式*AAA E=，上式可化为 2A XEAX=+即 ()2,A EA XE=从而 ()12XA EA=由于 1111114111A=111

18、22111111A EA=故 1111101111101124111101X=十二、十二、设向量组()()121,1,1,3,1,3,5,1,TT=()33,2,1,2,Tp=+()42,6,10,Tp（1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量()4,1,6,10T=用1，2，3，4线性表出；（2）p为何值时，该向量组线详相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.【详解】由于行列式 ()()12,3411321326,2 215110312ppp =+可见：（1）当2p时，向量组12,34,线性无关.此时设 1123344xxxx=+对矩阵()12,34,M作初等行变换：-15-()12,34113211324132602143,15110064122312047621132401324021431214300707001010092200021pppppppp =+MMMMMMMMMMMMM 解得：12343412,1,22ppxxxxpp=（2）当2p=时，向量组12,34,线性相关.此时向量组的秩为 3，12,3,（或13,4,）为其一个极大性无关组.