智轩考研数学冲刺短版--概率论与数理统计.pdf

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1、2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）1 第一篇 概率论 第一章 随机事件和概率 第一节 事 件 在个别试验中其结果没有规律性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象称为随机现象。对随机现象加以研究所进行的观察或试验，称为随机试验 随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的样本空间，记为W。E中的每一结果，称为集合中的一个元素，也称为一个样本点。样本空间W的任意子集称为E的随机事件，简称事件。每一样本点称为基本事件。如掷一颗骰子，样本空间1,2,3,4,5,6W=；1，2，3，4，5，6 都是样本 点；1,2,3S=是事件，1A=等为基本事件，所有可

2、能的事件为123456666666CCCCCC+63=种，称为E中所有可能的随机事件定义域F。在每次试验中，当且仅当某一子集中的一个样本点出现，称对应该子集的事件发生；W是自身的子集，称为必然事件；F=不包含任何样本点，称为空集，又称为不可能事件。7B=也是不可能事件。第二节 利用文氏图直观理解和推导事件的关系 概率论中的文氏图分为集合文氏图和概率文氏图两种。一、集合文氏图 在一个矩形区域（表示样本空间W）内，根据所给事件的集合关系画一系列圆，圆围成的平面区域表示一个集合，即事件，并且在需要时把集合元素写在区域内，从而将集合的交、并、余等集合关系用几何图形予以表示，并在此基础上利用面积的加减或

3、位置关系分析事件关系或概率问题。集合文氏图既可分析事件的集合关系，又可以分析事件的概率关系。比如：()0ABP AB=F=。二、事件的 8 个基本运算关系 事件既然是集合，因此，完全遵循集合的逻辑运算法则。包含：AB，即A事件发生必导致B事件发生。且有ABAB。相等：AB=，即AB且BA。和（并）：AB或AB+（注意此处的+号只是的简化表示，不一定满足数字运算的+号的功能），即A和B至少有一事件发生。如果ABB=，则等价结论有ABABAB=F 互逆或对立：,ABABABABABA B=W=F=W=F=，称,A B (),A B或为互逆或对立事件。互斥或不相容：ABABA=F=，称为互斥或不相容

4、事件，注意与对立事件的区别和联系。,A B不相容不能推出,A B，因为AB=F ABAB=+=F。积（交）：ABAB=，即A和B同时发生。2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）2 差：ABAB-=，称为差事件，即A发生时，B不发生。注意集合B可能比A 大，只减去B与A 相 同的子集元素。如AB-=F不能推出AB=F。独立：()()()P ABP A P B=，称为事件,A B独立，特别注意独立概念是用概率来定义的。其中事件A和B互斥（不相容）指的是A和B不能同时发生，即AB=F；A和B互逆（对立）也是指A和B不能同时发生，即AB=F，但是A和B必有一个发生，

5、且AB=W。因此 A和B互逆A和B互斥；A和B互斥A和B互逆；A和B互逆A和B互逆；A和B互斥A和B互斥。三、事件的 8 大常用运算结论();AAAA BBABABABAB=W=W=+与不相容。()ABABA=-()ABAABABAB-=-=W-=称为差积转换公式，如ABABABA=F-=与 不相容。ABABABAB+=+()ABA-=F()()ABCABC=()()()()()();ABCABACABCABAC=;ABABABAB=对于第 8 个公式，我们先在一个长方形内画出两个相交圆，分别标注 1，2，3 部分，再验证即可。注意符号+数字，例如：()()ABABAABAB=-+-=；符号

6、数字。例如：任意数()(),a b cabcabc+-=+-，而对任意事件,A B C一般没有类似的关系，即()()ABCABC+-+-；又如()()ABAABAABA-=F-=-。所以，读者应该把上述公式中的+与号理解为并与交，一般不遵循常规的四则运算规律。第三节 事件发生的概率 一、概率的 4 种定义及其性质 1.1 概率的统计定义（适应非等可能，但试验次数无穷）当n 时，()nfA常数()P A，则()P A称为事件A发生的概率。频率必须有多次试验才可计算，而概率只要有一次试验即可计算。比如我在掷一次硬币之前就知道出现正面的概率为12。我们投篮命中次数就是一个频率概念。1.2 概率的古典

7、定义（古典概型或离散等可能概型）试验结果一共有n个基本事件且每次试验各基本事件出现的可能性完全相同（等可能性）。以n表示样本空间基本事件（即集合中的元素总数）的总数，m表示事件A包含基本事件数，则()mP An=，即此时2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）3 概率等于频率，伯努利概型也属于这类概型。此类现象在客观情况中很普遍，研究的工具是利用排列与组合及加法与乘法原理。但对于主观因素有关的现象（非等可能性）就不适应，比如学生的考试成绩等等。取球模型是指从n个球中任取k个球，每个球被取到的可能性相同，按照有放回和无放回以及考虑取球次序和不考虑取球次序，其基本

8、事件总数如下：取球方式 基本事件总数 考虑次序 kn 有放回 不考虑次序 1kn kC+-考虑次序 knP 无放回 不考虑次序 knC 以 3 个求任取两个为例分析如下：有放回，考虑次序，先把三个求编号为 第一次取 第二次分别取，共三种取法，第一次取 第二次分别取，共三种取法，第一次取 第二次分别取，共三种取法，共有 9 种，等于239=。有放回，不考虑次序，先把三个求编号为 则和、和、和为同一种取法，故共有 6 种，等于213 2 16kn kCC+-+-=。无放回，考虑次序，先把三个求编号为 第一次取 第二次分别取，共二种取法，第一次取 第二次分别取，共三种取法，第一次取 第二次分别取，共

9、三种取法，共有 6 种，等于236knPP=。无放回，不考虑次序，先把三个求编号为 第一次取 第二次分别取，共二种取法，第一次取 第二次分别取，共三种取法，第一次取 第二次分别取，共三种取法，但、为同一种取法，故 共有 3 种，等于233knCC=。放球模型是指把n个球放入k个盒中，按照每盒最多可以容纳一个球和可以容纳任意多个球以及球可分辨和不可分辨，其基本事件总数如下：放球方式 基本事件总数 球可分辨 kn 每盒最多可以容纳任意多个球 球不可分辨 1kn kC+-球可分辨 knP 每盒最多可以容纳一个球 球不可分辨 knC 抽签原理 若n个签中有m个“有签”，nm-个“无签”，n个人排队依次

10、抽签（或一个人抽n次，每次抽一个），则第k个人（或某人第k次，1,2,kn=L）抽到“有签”的概率都等于mn。由抽签原理知，其概率与各人抽签的先后次序无关，也与抽签放回还是不放回的方式无关，仅与“有签”所占比例有关。在考研数学中，抽签原理可以直接使用。2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）4 抽签原理的前提就是信息不公开，抽签结果只有两个，前面抽签后可以不放回，也可以放回（但放回的情形不是抽签原理的体现，而是根据古典概型直接得出）。也就是前面抽的是白球还是红球（或正品还是次品等等）都不知道。所以任意一次抽的概率都相等。用全概率公式就可以证明。要是知道了前面的

11、结果再抽就是条件概率了，后面和前面不同。1.3 概率的几何定义（几何概型或连续等可能概型）古典概型只适合有限离散等可能情形，对于无限连续等可能情形，则需要延伸它的定义，即采用所谓的几何概型来描述：()()()L AP AL=W，L为相应几何测度，可以为长度、面积或体积，由此也可以看出概率是连续的，它可以用天上掉馅饼来比喻，我们用不同容积的器皿所接到的可能性是与器皿面积成正比的。几何概型是研考数学的一类常考题型，研究的工具是利用微积分。注意，等可能概型包括三种：几何概型、古典概型和伯努利概型三种。几何概型的概率文氏图 在一个矩形区域（表示概率等于 1）内，根据所给事件的概率关系画一系列圆，并且把

12、概率值写在圆域内，利用面积的加减来分析概率问题。概率文氏图不能分析事件的集合关系，只能分析事件的概率关系。比如：()0P AB=AB=F；()|0P B A=()0P AB=AB or AB。但是，已知事件关系却可以得到概率关系，比如()0ABP AB=F=。概率文氏图一般需要掌握两种情形：()a事件独立性情形。即两个圆的交集表示()()()P ABP A P B=。由此可以直观导出条件概率。()b条件概率情形。如设()()(),P Aa P Bb P ABc=，则条件概率()|cP B Aa=正好对应事件B在事件A中的概率c与事件A的概率a之比；同理，则条件概率()|cP A Bb=则对应事

13、件A在事件中B的部分概率c与事件B的概率b之比。1.4 概率的公理化定义（普适定义，1933 年）设E是随机试验，W为其样本空间，以E中所有可能的随机事件组成的集合F为定义域，对任意事件A，规定一个实值函数(),P AAF，如果()P A满足下列三个条件，就称()P A为事件A发生的概率。非负性：()0P A；规范性：()1P W=；可列可加性：即：设12,nA AAL为两两互斥事件，则()()()()()121212nnnP AAAP AAAP AP AP A=+=+LLL。上述前三种定义都具有局域性，是针对特定场合而言的，只有公理化定义才具有一般性。公理化定义完全包含了前述三种定义的全部思

14、想。公理化定义用实数描述事件，则概率就是一种实变函数，正是这种定义，才使我们可以利用高等数学工具来研究概率问题。2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）5 6 种基本概率计算题型：排列组合题型；几何概率题型；事件相关题型；条件概率混合独立性题型；全概率和逆概率题型；伯努利题型。二、条件概率 在事件A发生条件下，事件B发生的概率，称为条件概率，用()|P B A表示。以古典概型为例，设样本空间12,nw wwW=L，若事件A包含m个样本点，B包含s个样本点，而s个样本点中又有k个是属于A中的，即事件AB包含k个样本点，则 ()()/()()|/()()ABkk

15、nP ABP ABP B AP B AAmm nP AP A=包含样本点的个数包含样本点的个数 ()()/()()|/()()ABkk nP ABP ABP A BP A BBss nP BP B=包含样本点的个数包含样本点的个数 ()|P B A是在增加了条件A发生后，在缩减的样本空间AW中，B的基本事件数与AW之比。另外，要特别注意条件概率中，必须要求()0P A 或()0P B，即()0P A 或()0P B。而在乘法公式()()()|P ABP A P B A=中就无此要求。三、概率的 5 类关系运算公式 利用概率文氏图理解。3.1 加法公式 ()()()()()()()()()()0

16、1;1PPP ABP AP ABP AP AP AP ABP ABF=W=+=-=+；()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11P ABP BAP ABP ABP BAP ABP AP ABP BP ABP BP ABP ABP A BP ABCP AP BP CP ABP ACP BCP AP ABP AP BPBCAB=-+-+=+=+=+=+-=-+=-+=+-+=+-若12,nA AAL为两两互斥事件，则()()()()1212nnP AAAP AP AP A+=+LL 注意事件12,nA AAL不一定独立。3.2 减法

17、公式()()()()()()()()()()()()()()()(),()1()P ABP ABP AABP AP ABP AP BABP ABP AP BABP ABP AA BP ABP ABP A P BP AP A-=-=-=-=F-=-=-当当独立 3.3 乘法公式()()()()()()()()()()()()()()12121312121|nnnP ABP A P B AP B P A BP ABCP A P B A P C ABP A AAP A P AA P AA AP AA AA-=LLL 2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）6 3.4

18、 条件概率公式 当条件“|B”不变且()0P B 时，条件概率运算中(|)P A B与()P A的全部公式完全相同。如：()()|1|P A BP A B=-()()()|PACBP A BP AC B-=-()()|1|1PAP A AW=()()|1 P B AP B A+=()()()()()|+|PBCAP B AP C AP BC A+=-()()()()()|P AB CP A C PB ACP A C P B AC=如为互斥事件（即：()0P BC=F=），则()()()|+|PBCAP B AP C A+=。3.5 概率的单调与连续 单调性 ()()()()()ABP AP B

19、P BAP BP A-=-。概率是连续的，且()01P A。四、全概率公式和逆概率公式（贝叶斯公式）4.1 一个划分 如果事件组12,nA AAL满足()()()11,2 niijiAAAij=W=FU，称12,nA AAL（n可以为无穷大）为样本空间W的一个划分，又称为W的一个完备事件组。正确理解一个划分是能否使用好全概率公式和贝叶斯公式的关键。注意，()12,2nA AAn L为一个完备事件组，则12,nA AAL就一定不是一个完备事件组。4.2 全概率公式 已知原因求结果，如果12,nA AAL为一个划分，并且12,nA AAL是事件B发生的全部可能原因，则 ()()()()11|nni

20、iiiiP BP A P B AP AB=简单地说，求一般概率使用全概率公式。关键是要全面考虑第一阶段的所有可能结果构成一个划分。4.3 逆概率公式（贝叶斯公式）已知结果求原因，如果12,nA AAL为个划分，并且12,nA AAL是事件B发生的全部原因，则 ()()()()()()()1|kkkkniiiP A BP AP B AP ABP BP A P B A=简单地说，求条件概率使用贝叶斯公式。关键是要全面考虑第一阶段的所有可能结果构成一个划分。五、概率与事件的独立性的关系 2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）7 5.1 两个事件独立 5.1.1 定

21、义：()()()()()|P ABP A P B AP A P B=,A B独立，则()()()()()()()11 P A BP ABP ABP AP BP A P B=+=-+=-()()()()11 P AP BP APBA B=-=，也独立。任意事件A都与概率为 0（不可能事件）或 1（必然事件）的事件B相互独立。即 ()()()()()()()()()()0;0P AP A PP AP A PP APPPF=F=W=W=FW=FW=。任意两个事件如有包含关系且它们的概率()0,1P A，则一定不相互独立。概率为 1 或 0 的事件与任意一个事件相互独立。5.1.2 两个事件独立的等价

22、结论 设()()0,0P AP B，则两个事件A、B独立的等价结论有()1()()()()()()|P B AP B AP BP A BP A BP A=或 ()2()()|1P B AP B A+=()3()()|2ABP ABABBP A+=()4 A与B独立A与B独立A与B独立。()5若n个事件相互独立，则不含相同事件的事件组经并、差、交、逆运算后，还是相互独立。5.2 事件的互斥与独立的关系 A与B互斥是指A与B不能同时发生，即AB=F，此时与事件的概率性质无关；但是A与B独立是指()()()P ABP A P B=，此时与事件的概率性质有关，故“互斥”与“独立”并没有蕴含关系。互斥的

23、两个事件可以独立也可以不独立，需要注意的是：互斥的两个事件独立时，则()()0P A P B=，其余情形互斥的两个事件是不独立的。5.3 多个事件（事件组）的独立 两两独立：()()()()ijijP A AP A P Aij=相互独立：()()()()121212 1kkiiiiiikP A AAP AP AP Aiii=LLL 如对三个事件,A B C 两两独立：()()()()()()()()();P ABP A P BP BCP B P CP ACP A P C=相互独立：()()()()()()()()()()()()();P ABP A P BP BCP B P CP ACP A

24、P CP ABCP A P B P C=可见，相互独立，则两两必独立，反之不然。,A B C相互独立，则,A B C也相互独立，但他们的组合却不一定，如AC与C就不独立，因为 2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）8()()()()()()()P AC CP ACCP ACCPCP CP AC P C=F=。另外，事件的独立性关系是指一般性关系，而后面要讲述的相关关系仅仅指线性关系，它只是一般关系中的一个特殊。另外，特别注意：,A B独立AB=F，这是因为独立是使用事件的概率来定义的，而不是事件的相交关系。01概率为 或 的事件与任何事件均独立。六、伯努利概

25、型 6.1 单个伯努利试验 若一次试验E只有两个结果A或A（如成功和失败），E称为单个伯努利试验。如()P Ap=，则()1P Ap=-。6.2 n重伯努利试验 当把E独立地重复进行n次，称为n重伯努利试验。n重伯努利试验的具体条件有 5 个：（1）独立，指()()()()121212 1kkiiiiiikP A AAP AP AP Aiii=LLL；（2）重复，指()iP Ap不变；（3）要求等可能抽样；（4）要求放回回抽样，与()P Ap=是相容的；（5）试验结果只有两种可能，即对立结果。形象记忆掌握法：n重伯努利试验的特征是“独重回对等”。如果不是抽样试验，则n重伯努利试验的具体条件只有

26、 4 个：“独重对等”。6.3 伯努利概型公式（二项分布(),XB n p）n重伯努利试验中有许多事件发生，其中事件A发生（用m表示）k次的概率为 ()()(),1n kkknnB n pP kC pp-=-。注意：当1p=时，()1nP k。2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）9 第二章 一维随机变量及其分布 一、随机变量 比如将一枚硬币抛三次，以X表示三次投掷中出现正面()HT用表示正面，表示反面的总次数，那么，对于样本空间 eW=中的每一个样本点e，X都有一个实数值与之对应，即 样本点e HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT

27、 X的值 3 2 2 2 1 1 1 0 这种对应并不要求反函数式的一一对应，但每一个数应能够一一对应同一事件，不能存在歧义，这样的X称为随机变量，其 3 个特征是：第一，随机变量定义域为样本空间的全部基本事件；第二，随机变量取值是随机的，它取每一个可能值有确定的概率（即分布函数）；第三，随机变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。二、随机变量的普适分布函数 2.1 分布函数定义诠释 一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能区间的概率 12121212 P xXxP xXxP xXxP xXx 或 或 或 读者只要利用一维坐标轴就能容易得出下列结论 当0

28、e1221122112211221 P xXxP XxP XxP xXxP XxP XxP xXxP XxP XxP xXxP XxP Xxeeee=-=-=-。()c()()()()lim1,lim0 xxFF xFF x+-+=-=。2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）10()d右连续。即对于任意实数()()0 xF xF x+=。实质上第一个性质已经包含在后 3 个性质中。上述 4 个性质是()F x是否为分布函数的充要条件。作为分布函数的复合变量不能为单向取值，因为这时会导致()()FF+=-这一错误结论。比如()F x是X的分布函数，则可能成为分

29、布函数的是()()21,1kFxF x+-等形式，但不能是()()2,kF xFx等形式；分布函数不能随便乘以常数，如()2F x就不是分布函数。2.3 分布函数要求右连续的数学根据 ()()()()()()()()()()()()()()001221211221211221211221210000000000000000lim0limxxxxP xXxP XxP XxF xF xP xXxP XxP XxF xF xP xXxP XxP XxF xF xP xXxP XxP XxF xF xP XxF xF xP XxP XxP XxF xF xF xF xP Xxeeee-=-=-=-=-

30、=-=-=-=-=-=-=()()00 11P XxF x-=-上述全部可能的表示中，只有()0F x-形式，但()()0F xF x-，因为如()()110F xF x-=，那么，当离散型在1x点的概率不为零时，等式1212P xXxP xXx=就会出现矛盾，故()F x不可能左连续。其中()()()()()0000000limxxP XxF xF xF xF x-=-=-是计算离散型分布函数的重要公式。由于上式中根本不可能出现()0F x+的形式，()()0F xF x+=即()F x右连续在上述 5 种关系不存在，故需要增加右连续规定，即()()()()00000;0F xF xF xF

31、 x+=-。当然，由于连续型在一点的概率恒为零，所以，连续型分布函数左连续和右连续同时成立。正是要求()F x右连续，才使()F xP Xx=成为分布函数的普适定义。所以，在分布函数结论中，等号一般和大于号放在一起，以保证右连续，请读者注意这个细节。普适分布函数不仅可以描述离散型，还可以描述连续型及其他非连续型。对连续型任一点的概率等于零，而对非连续型任一点的概率不一定等于零。读者要重点掌握离散和连续两类随机变量的分布规律。任何随机变量都存在分布函数，离散型的随机变量的分布函数一般为阶梯函数；连续型随机变量的分布函数一定是连续函数。不同的随机变量可以有相同的分布函数。比如抛一枚硬币，令1211

32、;11XX-=-，出正面，出正面，出反面，出反面，2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）11 它们有共同的分布函数()0,11,1121,1xF xxx-=-，且为离散型。三、离散型随机变量的分布律 当随机变量所取的有限个或可列个值，并能够按照由小到大的顺序排列时，称为离散型随机变量。当已知分布函数，求分布律（概率分布）的计算方法如下()()()()00limiiiiixxP XxF xF xF xF x-=-=-。设离散型随机变量X的可能取值为()1,2,kxk=L，事件kXx=的概率为kkP Xxp=，离散型分布函数称为离散分布律，一般用列表表示。注意1

33、1kkp=。要求掌握的离散性分布律有 5 种：0 1-分布，伯努利二项分布，泊松分布，几何分布和超几何分布。离散分布函数()F xP Xx=一般为阶梯函数。已知离散分布函数()F x，根据分布函数的性质，可以计算出离散分布律kP Xx=；反过来，已知离散分布律kP Xx=，根据一维直角分割法(后述)，可以计算出离散分布函数()F x。四、连续型随机变量的概率密度 4.1 连续型分布函数的性质 ()a 连续型()F x是连续函数（左右均连续），即()()0F xF x=()b 连续型()F x几何意义是面积，且()00F xx=()c()()()()1(),0()Ff t dtFf t dt+-

34、+=-=必然事件不可能事件 ()()()()bad P aXbP aXbP aXbP aXbF aF bf t dt=-=()e 要求掌握的连续型分布函共有 3 种：均匀分布，指数分布和正态分布。4.2 概率密度()()xF xf t dt-=（()0f t）称为连续分布函数，()()f tFx=称为概率密度，或分布密度。离散型分布函数反应在各个分布点上，而连续型任意点上的分布函数值为 0，显然不能反应其分布本质，因而一般先求分布函数()F x（即计算事件Xx的概率），然后对()F x求导得其相应的概率密度()f x来反应分布规律，这一点和离散分布率是不同的。连续型从分布函数求导而得密度时，若

35、()F x在x点可导，则有()()f xFx=，若()F x在x点不可导，则直接令()0f x=，这不会影响分布函数的取值，因此一般地密度函数与分布函数的求导关系为()()()(),0,FxFxfxFx=存在不存在。故连续型的密度函数未必连续。连续型的密度函数不一定连续，例如(),Xa b，则()f x在xa=或b两个端点处不连续，所以，一2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）12 般把均匀分布密度函数写成()1,0,axbf xbaother=-，而不写成()1,0,axbf xbaother=-，这一点读者要明确。只有存在概率密度的随机变量才可能为连续型

36、，不能认为分布函数连续的随机变量就是连续型。也存在既非离散也非连续的分布函数，如()0,01,0121,1xF xxxx=，显然它既非阶梯函数也非连续函数。但是即便密度函数存在也不一定是连续型，如果()g x为连续函数，X为连续型随机变量，()g X不一定是连续型分布。如果X为离散型随机变 量，则()g X必是离散型分布，离散型分布一般为阶梯函数。直角分割法计算一维分布函数。直角分割法也适应二维分布 五、分布函数的重要结论 5.1 只有存在概率密度（不恒为零）的随机变量才称为连续型，但不能错误认为分布函数连续的随机变量为连续型。如()1,12F xx=就不是连续型。5.2 若()()()12,

37、nF xFxFxL均是分布函数，则 ()11 0,1nniiiiiia F xaa=和()1niiF x=仍然为分布函数。如果是连续型，则上述求和11niia=以积分表出。5.3 若()()()12,nfxfxfxL均是密度函数，则 ()11 0,1nniiiiiia fxaa=仍然为密度函数，但()1niifx=不一定是密度函数。六、一维随机变量的 8 大分布 3 个离散分布+5 个连续分布。1两点分布 又称 0-1 分布，表示符号为()1,Bp，属于离散分布。()()()11111,0,1.kkkkkP XkC ppp qBpk-=-=模 型：试验变量X只有两种可能结果（对立事件），随机变

38、量X使用 0 与 1 两种取值。如每次A发生的 概率为p，共试验了 1 次，求其中A发生的概率（放回抽样）。()()1,01P XpP Xpq=-=2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）13 0-1 分布11 2B，的幂同分布，比如11 2XB，则2311,2nXXXBL，。2伯努利二项分布 表示符号为(),B n p，属于离散分布，当1n=，为 0-1 分布。()()()1,0,1,2,n kkkkkn knnP XkC ppC p qB n pkn-=-=L 模 型：随机试验结果只有两种，如每次A发生的概率为p，共试验了n次独立试验，求其中A发生k次的概

39、率（放回抽样）。设(),XB n p，则使得概率()P Xk=达到最大的k为 ()()()()()1 11,11,1np ornpnpknpnp+-+=+为正整数为非整数 若(),XB n p，则(),1YnXB np=-3泊松分布 表示符号为()Pl，属于离散分布。()(),0,1,2,!kP XkePkklll-=L 模 型：满足下列条件的随机质点流（一串重复出现的事件）称为泊松流。(1)在时间(),t tt+D内流过质点数的概率仅与有关，而与t无关；(2)不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立；(3)在充分短的一瞬间只能流过一个或没有质点流过，要流过 2 个或 2 个以上质点几乎是不可能

40、的。可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。例如：单位时间内放射性物质放射出的粒子数；单位时间内某电话交换台接到的呼唤次数；单位时间内走进商店的顾客数等等，均可认为它们服从泊松分布。当p很小时，有()()lim,nPB n pnpll=其中，即泊松分布是伯努利二项分布的极限形式。设()XPl，则使得概率()P Xk=达到最大的k为：1,orklllll-=为正整数为非整数。4几何分布 表示符号为()G p，属于离散分布。()()()111,1,2,3,kkP XkpppqG pk-=-=L 模 型：随机试验结果只有两种，如每次A发生的概率为p，试验一直继续，直到A发生为止，求第k次

41、 （放回抽样）A才发生的概率。5超几何分布 表示符号为(),H n M N，属于离散分布。2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）14()()(),0,1,2,min,kn kMN MnNC CP XkH n M NkM nC-=L 模 型：N个元素分为1N和2N两类，从中取n件（不放回，如放回抽样则是二项分布模型），其中含有k个第一类元素的概率为()120,1,2,kn kNNnNC CkC-=L。当N很大，而n相对N较小，设MpN=，则有 ()()()1,kn kn kkkMN MnnNC CC ppH n M NB n pC-6.均匀分布 表示符号为()

42、,U a b，属于连续分布。()()1,0,axbf xU a bbaother=-注意区间为开区间，端点的分布密度值取零()()()0,1,xxaxaxaF xf x dxf x dxaxbbaxb-=-()()211221xxP axXxbF xF xba-=模 型：在实践中，如果随机变量X表示某一随机事件发生所需等待的时间，则一般()XEl。例如，某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）；随机服务系统中的服务时间；在某邮局等候服务的等候时间等等均可认为是服从指数分布。指数分布计算中常用到G函数公式()01!nxnx e dxn+-G+=。指数分布的无记忆性定理：()()|P Xst XsP

43、 Xt+=8正态分布 8.1 正态分布的密度和分布函数 表示符号为()2,Nm s，属于连续分布。2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）15()()()()()()222221,2xf xeNxYaXbNabamsm smsps-=-+=+模 型：在实践中，如果随机变量X表示许许多多均匀微小随机因素的总效应，则它通常将近似地服从正态分布。如：测量产生的误差；弹着点的位置；噪声电压；产品的尺寸等等均可认为近似地服从正态分布。尽管它来源于连续型，但它是任何分布在样本数一般大于 45 时的极限分布。而 且，根据中心极限定理，若干个未知分布的随机变量之和近似地服从正

44、态分布，它是数理统计的 基础，是概率与数理统计中的第一大分布。当()()2210,10,12xf xeNmsp-=，称为标准正态分布。此时分布函数及其性质为 ()()()()()()22211211000210,12txxxP XP XxedtXNxxP xXxmpssmmss-F-=-FF=F=-F-=()2下分位数 ()()2,zP XzNdxaaam sa-=评 注 无论哪种分位数，对标准正态分布都有：1zzaa-=-切记标准正态分布的查表中使用的()()2212uzzeduP Zzp-F=是下分位数；其他三种抽样分布的查表中则使用的是上分位数，即()()()()()()221212,P

45、nnP t ntnP F n nFn naaaccaaa=。标准化公式：()0,1XNms-七、一维随机变量函数()YfX=的分布的求法 如果()g x为连续函数，X为连续型随机变量，()Yg X=不一定是连续型分布，所以题中必须明显给出或说明随机变量存在概率密度，以表征()Yg X=为连续型函数分布。如果X为离散型随机变量，则2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）16()g X必是离散型分布，离散型分布一般为阶梯函数。一、离散型随机变量的函数分布的计算方法 已知X的分布律()1,2,kkP Xxpk=L，则X的函数()Yg X=的分布律按以下原则确定：1等

46、价原则 若()kkyg x=()1,2,k=L互不相同，则()1,2,kkkP YyP Xxpk=L。2相加原则 若()kkyg x=()1,2,k=L部分值相同，则相同的值对应的概率相加，而不同的值仍按照“等价原则”。二、连续型随机变量的函数分布的计算方法 2.1 分布函数微分法 分布函数微分法是求()Yg X=分布的一般的解法 ()1首先写出()XFx并确定Y的值域,ab，也可以是开区间或半开半闭区间。()2()()0;1;YYyaFyybFy=()3 ayb，根据分布函数定义求，即()()()()()()g XyF yP YyP g Xyf x dxfyF y=。2.2 公式法 当()y

47、g x=单调时，由分布函数微分法可推导得到公式()()()(),0,XYfh yhyyfyothera b=其中()h y为()yg x=的反函数，()()in,Mgga=-+，()(),Max ggb=-+。注意推广的()Yg X=的公式法：如果()g x逐段严格单调，则()()()YXiifyfhyhy=。若()Xfx在有限区间,a b上大于零，而在其它点处皆为零，则 ()()in,Mg ag ba=；()(),Max g ag bb=若()yg x=不为单调函数，则划分为单调区间，在每个单调区间使用上述公式，然后将结果合并。如果X为连续型，则YaXb=+也是连续型，根据上述公式容易得出：

48、()1YXybfyfaa-=（由函数分布的导数公式也可直接导出），如果X为离散型，则YaXb=+却不一定为同一类型的离散型，如X服从泊松分布，YaXb=+就不再是泊松分布。2.3 智轩积分转换法 设随机变量X的概率密度为()Xfx，()g x为分段连续或分段单调函数，()Yg X=，对任何非负连续2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）17 函数()h x，()()()()11iiniih g xf x dxh y py dyaa-+-=成立，则随机变量Y的密度函数()Yfy ()()()()1012121,0,Ymmmpyypyyfypyyotheraaaa

49、aa-=；()3(),F x y对x和y都是右连续；()4()()()()(),lim,1,0 xxFF x yFF xFy+=-=-=-=联合分布函数的几何意义表示(),F x y在(),x y的函数值就是随机点(),X Y在Xx=左侧和 Yy=下方的无穷矩形内的概率。对有限矩形域有 121222122111,(,)(,)(,)(,)P xXxyYyF xyF xyF xyF xy，可以得到ZaXbY=+；ZaXY=；aXbYZorbYaX=的密度函数。三、【连续型智轩积分变换法】设二维随机变量(),X Y的联合密度函数为(),f x y，则(),Zg X Y=的一维密度函数()Zfz有与一

50、元2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）24 随机变量的类似的积分变换法。设(),g x y是连续的实函数，对任意非负的连续函数()h z，下式成立：()()()()11,iimiih g x yf x y dxdyh z pz dzaa-+-=则()()()()()10121211,ZmmpzzpzzZg X Yfzpzzaaaaaa-=大大大并大大小小交小小大大交大小小小并小 2011 智轩考研数学冲刺短版-公式 考点 题型 题法（考前快速全面回顾）26 3 个常用的事件关系：()()()()()()()21,21,2XYCXCYCMMax X YXYX