2011年全国高中数学联赛一试评分标准.pdf

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1、2011 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1评阅试卷时，请严格按照本评分标准填空题只设 8 分和 0 分两档；解答题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次 2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题第 9 题 4 分为一个档次，第 10,11 题 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分把答案填在横线上 1设集合，若,4321aaaaA=A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合8,5,3,1=B=A

2、解 显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以 15853)1()(34321=+=+aaaa，故，于是集合54321=+aaaaA的四个元素分别为 5（1）6，532，550，583，因此，集合6,2,0,3=A 2函数11)(2+=xxxf的值域为 解 设22,tan=x，且4，则)4sin(21cossin11tancos1)(=xf 设)4sin(2=u，则12u，且0u，所以),1(22,(1)(+=Uuxf 3设为正实数，ba,2211+ba，则32)(4)(abba=balog 解 由2211+ba，得abba22+又 23322)(8)(24)(44)(4)(a

3、bababababbaabba=+=+=+，即 abba22+于是 abba22=+再由不等式中等号成立的条件，得1=ab与联立解得+=,12,12ba或=+=,12,12ba 2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（A 卷）第 1 页（共 6 页）故 1log=ba 4如果，)cos(sin7sincos3355)2,0，那么的取值范围是 解 不等式等价于)cos(sin7sincos3355+，又5371)(xxxf+=是上的增函数，所以),(+cossin，故+kkk(45242Z)因为)2,0，所以的取值范围是45,4 5现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能

4、参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答）解 由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有 3 人参加，共有种方案；3600!5!51537=CC（2）有两个项目各有 2 人参加，共有11400!5!5)(21252527=CCC种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+6在四面体中，已知ABCD=60CDABDCADB，3=BDAD，则四面体的外接球的半径为 2=CDABCD 解 设四面体的外接球球心为，则O在过ABCDOABD的外心且垂直于平面NABD的垂线上 由题设知，ABD是正三角形，

5、则点为NABD的中心 设分别为的中点，则在MP,CDAB,NDP上，且，DPON CDOM 因为，设CD与平面=60ADBCDBCDAABD所成角为，可求得 32sin,31cos=A BC DO PMN 在中，DMN33233232,121=DPDNCDDM 由余弦定理得 231312)3(1222=+=MN，故2=MN 四边形的外接圆的直径 DMON3322sin=MNOD 故球的半径O3=R 2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（A 卷）第 2 页（共 6 页）7 直线与抛物线交于两点，C为抛物线上的一点，则点C的坐标为 012=yxxy42=BA,=90ACB 解 设，由)2,()

6、,(),(22211ttCyxByxA=,4,0122xyyx得 ，则0482=yy821=+yy，421=yy 又，所以 12,122211+=+=yxyx182)(22121=+=+yyxx，11)(24212121=+=yyyyxx 因为，所以=90ACB0=CBCA，即有 0)2)(2()(212212=+ytytxtxt，即，0)(24)(21212212214=+yytyytxxtxxt即，03161424=ttt即 0)14)(34(22=+tttt显然，否则，则点C在直线0142 tt01222=tt012=yx上，从而点与点CA或点重合 B所以，解得0342=+tt3,121

7、=tt 故所求点的坐标为或C)2,1()6,9(8 已知C=na()95,2,1(2162003200L=nnnn，则数列中整数项的个数为 na 解 C=na65400320020023nnn 要使 为整数，必有)951(nan65400,3200nn均为整数，从而 4|6+n当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80 时，=n3200n和65400n均为非负整数，所以为整数，共有 14 个 na当时，C，在 C86=n=86a5388620023!114!86!20086200=中，!200中因数 2 的个数为1972200220022002200220

8、022002200765432=+，同理可计算得中因数 2 的个数为 82，中因数 2 的个数为 110，!86!114所以 C中因数 2 的个数为86200511082197=，故是整数 86a当时，C，在 C92=n=92a10369220023!108!92!20092200=中，同样可求得中因数 2 的个数为!92 2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（A 卷）第 3 页（共 6 页）88,中因数 2 的个数为 105,故 C86200中因数 2 的个数为!108410588197=，故不是整数 92a因此，整数项的个数为 114=+15 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56

9、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9（本小题满分 16 分）设函数|)1lg(|)(+=xxf，实数)(,baba满足)21()(+=bbfaf，求的值 2lg4)21610(=+bafba,解)21()(+=bbfaf，|)2lg(|)21lg(|)121lg(|)1lg(|+=+=+=+bbbba，或，21+=+ba1)2)(1(=+ba又，ba21+ba1)2)(1(=+ba 4 分 又由|)1lg(|)(+=aaf有意义知10+a，从而2110+bba，于是2110+=+=+bbbaba 8 分 从而 210)2(6lg|210)2(6lg|)21610(+=+=+bbbbba

10、f 又，所以2lg4)21610(=+baf2lg4210)2(6lg=+bb，故 16210)2(6=+bb 12 分 解得31=b或（舍去）1=b把31=b代入解得1)2)(1(=+ba52=a 所以 52=a，31=b 16 分 10（本小题满分 20 分）已知数列满足：na=tta(321R 且)1t，121)1(2)32(11+=+nnnnnntattatan(N)*（1）求数列的通项公式；na（2）若，试比较与的大小 0t1+nana解 （1）由原式变形得 112)1)(1(211+=+nnnnntaata，则 2111)1(212)1(21111+=+=+nnnnnnnnntat

11、ataata 记nnnbta=+11，则221+=+nnnbbb，21221111=+=tttab 5 分 2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（A 卷）第 4 页（共 6 页）又 211,211111=+=+bbbnn，从而有221)1(111nnbbn=+=，故 ntann211=+，于是有 1)1(2=ntann 10 分（2）ntntaannnn)1(21)1(211+=+)1)(1()1()1()1(211+=nnnttntttnnntLL)()()1()1()1(2)1()1()1(211+=+=nnnnnntttttnntttntnntLL 132212)1()1()1()1

12、(2+=nnnnnttttttnntLLL，显然在)1(0tt时恒有，故 20 分 01+nnaannaa+1 11（本小题满分 20 分）作斜率为31的直线l与椭圆C：143622=+yx交于两点（如图所示），且BA,)2,23(P在直线l的左上方（1）证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若=60APB，求PAB的内切圆的面积 解（1）设直线l：mxy+=31，),(),(2211yxByxAy xOP A B 将mxy+=31代入143622=+yx中，化简整理得 03696222=+mmxx 于是有2369,322121=+mxxmxx，232,2322211=xykxykP

13、BPA 5 分 则)23)(23()23)(2()23)(2(2322322112212211+=+=+xxxyxyxyxykkPBPA，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221+=xmxxmx)2(26)(22(322121+=mxxmxx)2(26)3)(22(2369322+=mmmm 0122626312322=+=mmmm，从而，0=+PBPAkk 又P在直线l的左上方，因此，APB的角平分线是平行于轴的直线，所以yPAB的内切圆的圆心在直线23=x上 10 分 2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（A 卷）第 5 页（共 6 页）（2）若=60APB时，结合（1）的结论可知3,3=PBPAkk 直线PA的方程为：)23(32=xy，代入143622=+yx中，消去得 y0)3313(18)331(69142=+xx 它的两根分别是和1x23，所以14)3313(18231=x，即14)3313(231=x 所以7)133(23|23|)3(1|12+=+=xPA 15 分 同理可求得7)133(23|=PB 所以 493117237)133(237)133(232160sin|21=+=PBPASPAB20 分 2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（A 卷）第 6 页（共 6 页）