北科大《材料力学》考点强化教程5.弯曲应力典型习题解析.pdf

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1、 弯曲应力 弯曲应力 典型习题解析典型习题解析 1 T形截面铸铁梁受力如图，许用拉应力MPa40t=，许用压应力MPa60c=，已知 kN，kN，m 121=F5.42=F810765=zI4，mm521=y，mm882=y。不考虑弯曲切应力，试校核梁的强度。y 解题分析：解题分析：铸铁为脆性材料。脆性材料的拉压强度有显著区别，一般其抗压强度明显高于抗拉强度。为了充分利用这一特点，通常将其横截面选为 T 形。脆性材料梁一般要同时校核其抗拉强度和抗压强度。解：解：1、计算支反力 设 A 处支反力为，B 处支反力为，均竖直向上。考虑梁 AD 的平衡，有 yAFyBF0=BM，0m1N0112m1N

2、015.4m233=+yAF得 kN 75.3=yAF0=AM，0m1N0112-m3N015.4m233=yBF得 kN 75.12=yBF2、作弯矩图，确定危险截面 4.5kNmx(b)3.75kNm M(a)zy2y1 F1F21m1m C BA DFByFAy1m 题 1 图 1弯矩图如图 b 所示，峰值为m3.75kN=CM和m4.5kN=BM。B 截面的上边缘各点受拉，下边缘各点受压；C 截面的上边缘各点受压，下边缘各点受拉。由于不能直观确定最大拉、压应力的位置，需要进一步计算。3、计算 B、C 截面上的应力 B 截面上：最大拉应力t48331xam,tMPa6.30m10765m

3、1052mN105.4=zBIyM 最大压应力c48332xam,cMPa8.51m10765m1088mN105.4=zCIyM 所以，梁的强度不够。2 图示结构承受均布载荷，AC 为 10 号工字钢梁，B 处用直径 d=20 mm 的钢杆 BD 悬吊，梁和杆的许用应力 MPa160=。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷q。D题2图2(b)1qq32M 92m(a)A BqxCd1m 2解题分析：解题分析：DB 杆作为支撑 AC 梁的约束，在考虑梁的强度时，也要考虑 DB 杆的强度，许可载荷取两种构件能承担的最小值。解：解：1、计算支反力 设 A 点处支反力为，B 处支反力为，均竖直向上。考

4、虑 AC 梁的平衡，得 yAFyBF qFyA4m3=，qFyB4m9=2、梁的强度条件 画梁的弯矩图如图b。显然，B 截面为危险截面。，查表知10号工字钢，于是 B 截面上弯曲正应力强度条件为 qMB2m5.0=36m1049=zW xam 或 =zzWqWM2maxxamm5.0 解得 kN/m15.68N/m68015m5.0Pa10160m1049m5.026362=zWq 3、BD 杆的强度条件 BD 杆横截面上各点拉伸正应力相同，强度条件为 或=2N414m9dqAFBD 解得 kN/m22.3N/m22300Pa10160m1020m91m916262=dq 4、确定结构的许用载

5、荷 取 AC 梁、BD 杆的许用 q 值中的小值，即为结构的许用载荷。所以。m/kN68.15=q讨论：讨论：本题中根据题意，没有考虑工字梁腹板上的弯曲切应力。在实际工程设计时，工字钢 3等薄壁截面梁一般不宜忽略切应力。3 材料相同，宽度相等，厚度2/1/21=hh的两板叠放在一起组成一简支梁如图所示，梁上承受均布载荷q。(1)若两板简单叠放在一起，且忽略接触面上的摩擦力，试计算此时两板内最大正应力；(2)若两板胶合在一起不能相互滑动，则此时的最大正应力比前种情况减少了多少？q 解题分析：解题分析：两板叠放在一起，在均布载荷 q 作用下，两梁一起变形，在任一截面上，两者弯曲时接触面的曲率相等。

6、小变形情况下，近似认为两者中性层的曲率相等。根据该条件，可计算出各梁分别承担的弯矩。然后再分别计算两梁的最大应力。两板胶合在一起时，按一个梁计算。解：解：1、计算两板简单叠放在一起时的最大应力 设变形后任一截面处两梁中性层曲率半径分别为1和2，两梁承担的弯矩分别为和，截面惯性矩分别为和。则由前面分析知1M2M1I2I21=。由于 1111IEM=，2221IEM=所以 223212211221181)(,MMhhMIIMIEMIEM=梁中间截面弯矩为 22181lqMMM=+=于是 21721lqM=，2291lqM=bh2h1A l题3图 4两板最大弯曲正应力分别为 21221111xam1

7、,126hblqbhMWM=22222222xam,2326hblqbhMWM=21812122xam2,xam1,=hh 2、计算两板胶合在一起时的最大正应力 这时，按一个梁计算，于是梁中最大弯曲正应力为 2222212xamxam36)(81hblqhhblqWM=+=胶合前后最大正应力之比 21xam,2xam=亦即，两板胶合后最大正应力是未胶合时最大正应力的一半。4 简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。q 解题分析：解题分析：梁弯曲时，截面上、下边缘上各点处为单向应力状态。利用弯曲正应力公式计算应力，再由胡克定律求应变。在下表面取微段，可由该微段处应变计算其伸长，然后进行积分可

8、求出梁下边的总伸长。解：解：1、计算梁底层微段的伸长量 在距左端为x处，取梁底层上一微段来研究。由弯曲正应力公式，有 xddxx Bh bA l题4图 5 WxMx)()(=由胡克定律)()(xEx=得)(362121)()(2222xxlhbEqhbExqxlqEWxMx=而xxxd)d()(=，所以xxxlhbEqxd)(3)d(22=3、梁的最底层纤维的总伸长 沿梁全长积分得 23032202)32(3)d(hbElqxlxlhbEqxlll=5 矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知Nk5=F，m5.1=a，MPa10=，试确定此矩形截面bh的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并

9、计算所需圆木的最小直径。dFF 解题分析：解题分析：利用圆木直径 d 与 h、b 的数学关系，写出矩形截面抗弯截面系数 W 的表达式，用求极值的方法确定 h/b 的最优比值。再利用弯曲强度条件确定 W 值，最后解出 d 值。解：解：1、确定W最大时的bh 6)(6222bdbhbW=，令0dd=bW得 bhdCDaaBA a题5图 6 0)2(6122=bh 或 2=bh 2、确定圆木直径d C、D 截面处弯矩最大，为危险截面。根据强度条件 =WMxamxam 知 maxMW mN105.7m5.1N10533max=aFM 所以有 343563mm1075m1075Pa1010mN105.7

10、=W 取 3422mm1075)2(616=bbhbW，于是得 mm131=b。22222222mm10515mm13133=+=bbhd 得。mm227=d6 截面为40 mm5 mm的矩形截面直杆，受轴向拉力 F=12kN作用，现将杆件一侧开一切口，如图a所示。已知材料的许用应力 MPa100=，(1)计算切口许可的最大深度，并画出切口处截面的应力分布图。(2)如在杆的另一侧切出同样的切口，正应力有何变化？解题分析：解题分析：此题为偏心拉伸问题，可利用弯曲与拉伸组合变形的强度条件求出切口的允许深度。若另一侧开同样深度切口，偏心拉伸问题变为轴向拉伸问题。解：解：1、计算切口许可的最大深度 设

11、切口深度为。如图 b 所示,切口截面形心在Cy点，显然，杆在切口处截面承受偏心拉伸，偏心距 e=y/2。切口的内力如图c所示。轴力FF=N，弯矩 M=Fy/2。切口的许y(a)F 题6图h=40mm CFFFF b=5mm(b)(c)(d)100MPaFCM 38MPa 7可最大深度 y 由杆的强度条件确定。强度条件为 +=zWMAFNxam 式中切口截面的面积，抗弯截面系数)(yhbA=6)(2yhbWz=，代入强度条件得 +=2xam)(3)(yhbFyyhbF 0mm640mm12822=+yy解方程后得到两个解：mm2.5,mm8.12221=yy。显然mm8.1221=y不合理，所以

12、切口最大深度不得超过5.2 mm。2、计算切口截面的最大正应力和最小正应力，画应力分布图 MPa100Pa10100m105.2)40(5m102.5N10123m10)2.540(5N1012639233263Nxam=+=+=zWMAF MPa38Pa1038m105.2)40(5m102.5N10123m10)2.540(5N1012639233263Nnim=zWMAF 切口截面上的应力分布如图d 所示。3、在杆另一侧切出同样的切口情况 由于没有偏心，切口截面只承受轴向拉力 F，正应力在截面上均匀分布，其大小为 MPa1.81Pa101.81m10)2.5240(5N1012)2(62

13、63N=yhbFAF 讨论讨论：从计算结果可以看出，杆的两侧有切口虽然截面面积减少，但正应力却比一侧切口时的最大正应力为小，可见弯矩的出现明显增大构件中的应力。这也是工程上尽可能避免或减小结构中弯矩的原因。7 图示直径为 d 的均质圆杆 AB 承受自重，B 端为铰链支撑，A 端靠在光滑的铅垂墙上。试确定杆内出现最大压应力的截面到 A 端的距离。8F 解题分析：解题分析：杆 AB 的自重可看作方向竖直向下的均布载荷 q。它在杆轴向和垂直轴线方向产生两个分量。加上 A 点支反力 F 也在轴向有分量，所以杆发生弯曲和轴向压缩的组合变形。解：解：设杆的单位长度的重量为 q，墙对杆的水平支反力为 F，考虑 AB 杆的平衡，有 ，0=BMcos2sinllqlF=cot2lqF=考虑到 A 点的距离为 s 的横截面，该截面上的内力分量为 轴力（压）sinsincos2sincos2NqslqqsFF+=+=弯矩 cos2cos2cos2sin22sqslqsqsFM=s 横截面上绝对值最大的压应力为)cos2cos2(32)sinsincos2(4A2322NsqslqdsqlqdWMF+=+=令0dd=s得到 0)coscos2(32sin432=+sqlqdqd 求得 tan821ds+=。此即最大压应力截面到 A 端的距离。BAqB A s l题7图 9