北科大《材料力学》考点强化教程7.应力应变状态典型习题解析.pdf

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1、应力、应变状态分析应力、应变状态分析 典型习题解析典型习题解析 1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力FS=120 kN及弯矩mkN10=M。绘出表示 1、2、3 及 4点应力状态的微体，并求出各点的主应力。b=60 mm，h=100 mm。解题分析：解题分析：从图中可分析 1、4 点是单向应力状态，2 点在中性轴上为纯剪切应力状态，31 取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。则各点处的应力状态如图示。2、梁截面惯性矩为 点微体上既有正应力又有切应力。解：解：、画各点处微体的应力状态图计算各点处主应力 4843333m1050012m10100(106012=）bhIz 1 点处弯曲正应力（

2、压应力）MPa100Pa10100m10500m1050mN101064833=zIMy 1 点为单向压缩受力状态，所以 021=，MPa1003=2 点为纯剪切应力状态，MPa30Pa1030m10100602N1012036263=（向下）容易得到，MPa301=，02=，MPa303=3 点为一般平面应力状态 弯曲正应力MPa50Pa1050m10500m1025mN101064833=zIMy 弯曲切应力14 2FS=120 kN 题图1中性轴324h 25 mm 31b M=10 kNm3150 mm 1MPa5.22Pa1050.22m10500m1060m105.372560N1

3、01206483393*S=zzbISF MPa6.8MPa6.58Pa)105.22()2Pa1050(2Pa1050)2(22626622minmax=+=+=xyxyx 所以 MPa6.581=，02=，MPa6.83=4 点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与 1 点相等。所以 4 点的主应力为 MPa1001=，032=2 试求图示微体斜截面上的应力，主应力及其方位，并求最大切应力。解题分析：解题分析：所要计算的斜截面外法线与 x 轴的夹角为正。斜截面应力计算公式中，?60角正负号规定为自 x 轴正向逆时针转向外法线为正。解：解：1、计算斜截面上应力 选取 x y 坐标系，如图示。

4、则该微体各应力为 MPa40=x，MPa20=y，MPa10=x?60=斜截面上的应力为 MPa3.16120sinMPa10120cos2MPa20402MPa20402sin2cos22=+=+=?）（）（xyxyx 22.5o10 MPax2y20 MPa40 MPa 30o图 2 2MPa66.3120cosMPa10120sin2MPa20402cos2sin2=+=+=?）（xyx 2、计算主应力及其方位=+=+=MPa9.15MPa1.44MPa10)2MPa2040(2MPa2040)2(22222minmax）（）（）（xyxyx 所以主应力为 MPa1.441=，MPa9.

5、152=，03=由公式min0tan=xx得?5.22)MPa9.15MPa40MPa10arctan()arctan(min0=xx 所以主应力1对应的方位为。?5.223、计算最大切应力 MPa1.2220MPa1.44231max=讨论：讨论：当采用公式 yxx=22tan0计算时，得 或。这时往往不能 直 观 判 定 方 位 角 对 应 的 是?5.220=?5.670=?5.220=1的 方 位 或 是2的 方 位。采 用 公 式min0tan=xx或yx=max0tan计算时，可以避免这一问题。3 自受力构件内取一微体，其上承受应力如图 a 所示，3/=x。试求此点的主应力及主平面

6、微体。a a 3(c)(a)(b)dbyx/3/3 x xc b 60o60o题 3 图解题分析：解题分析：本题微体为一三角体。为使用极值应力计算公式，应首先建立直角坐标系并确定x、y和x。微体处于静力平衡状态，所以从其上切取的任何一块也应处于静力平衡状态。在建立直角坐标系后，利用上述关系可计算出x、y和x。建立直角坐标系，如图b所示。图b 中，解：解：从三角形微体中取出一直角三角形adb，并?90=adb，并用Aab表示ab斜面面积。设在ad截面上设正应力为x、切应力为x。当将竖直切开后，由于左右对称性，所以截开面ad上的剪应力必为零，即0=微体abc从中间x。由剪应力互等定理知db边上切应

7、力也为零。所以，可以确定ad面和db面即是该点的主平面。由于直角三角形 adb 微体处于平衡状态，于是有 0=xF，030cos30sin=+?abxabAA，得 3/3/=x(压)所以该点处主应力为=1，02=，3/3=。构力状态两斜截上的应力如a 所示。试用应力圆求主应力和 解题分析解题分析件中某点 A 为平面应，面图最大切应力。100 100 200 50 AD(200,100)D1(-100,50)O1Cmax 3(b)(a)题 4 图：本题应理解为已知了 A 点处微体两个斜截面上的应力，或者说已知了应力圆上的两个点。但是，已知圆上的两个点并不能确定这个圆，所以还需要补充一个条件。这个

8、补充条件是：应力圆的圆心必在横坐标轴（即轴）上。解：解：1、建立、坐标系(见图 b)2、在坐标图上确定点D(200，100)和点D1(-100，50)，连接D、D1，做DD1线的中垂线，交于轴上C点。以C点为圆心，CD为半径作圆，即为所求之应力圆。在应力圆上量取 MPa2351=3、，02=，MPa1103=。44、量取 5.172maxMPa=在状态中，如果三向应力132=，并且都是拉应力，它的应力圆是怎样的？又如果怎样的？都是压应力，它的应力圆又是 解题分析：解题分析：当31=时，应力圆均为点圆。解：解：建立、坐标应力时见图a，压应力时见图b。10700，?系，设OC=1=2=3，拉 用直

9、角应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为0=-6-610350=，-610500=，试作应变圆，求该点处的主应变数值。4590解题分析：解题分析：已知一点处三个方位上的正应变，可完全确定应变圆。解：解：1、确定，(/2)坐标系 2、在轴上量取0值，得点 A；在轴上量取?45值，得点 B；在轴上量取?90值，得点 D。分别过 A、B点做、D轴垂线。3、平分 AD 得圆心 C。DB A 11.3oy x0o 45o 90o 13390o45o0o/2 1CDAB 题 6 图2(b)(a)(b)C C O 1=2=3O 1=2=3题 5 图0(a)54、在 D 点向上量取 DD=CB。5交

10、、连 DC 即为应变圆半径，作应变圆轴于1和3两点，则1和3即为主应变数值。6、连CA，AC1=20，即可得主应变1与0的夹角0。7-6750，-6?、结果=，讨论讨论角三角形 CDD及三角形 CBBCD=CB=应变圆半径。7 中，在顶面上受力 F=14 kN 作用。已知110310550=3.110=：可以证明：在直中，CDDBBC，故 DD=CB 边长为 20 mm 的钢立方体置于钢模3.0=，假设 解题分析：解题分析：钢立方体置于钢模中，x、z 方向限制钢立方体变形，即钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。F=14kN 在 y 方向有应力，0=x、0=z，以此可求出x和z。解：解：1、MPa35Pa1035m102N10143AFy020626=2、因有钢模限制，所以 x、z 方向的应变均为零。0)(=+=Ezyxx 0)MPa35(3.0=+zx (a)0)(=+=Exyzz 0)MPa35(3.0=+xz (b)联立(a)、(b)两式，得 MPa15=xz xz y题 7 图 (压)6