函数的导数与最值.ppt

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1、函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数2/28/20231aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0复习复习:一、函数单调性与导数关系一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有,则则为常数为常数.设函数设函数y=f(x)在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数2/28/20232二、函数的极值定义二、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0),则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的

2、一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0)；函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值.使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点2/28/20233 (1)(1)求导函数求导函数f(x)f(x)；(2)(2)求解方程求解方程f(x)=0f(x)=0；(3)(3)检检查查f f(x)(x)在在方方程程f f(x)=0(x)=0的的根根的的左左右右 的的符符号号，并并根根据据符符号号确确定定极极大大值值与与极极小小 值值.口诀：口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。左负右正为极小，左正右负为极大。三、用导数法求解函数极值的三、用导数法求解函数极值的步骤：步骤：

3、2/28/20234求下列函数的极值求下列函数的极值:（3 3）函数函数的极值点为的极值点为x=0,x=0,对吗？对吗？结论：结论：导数值为导数值为0 0的点是该点为的点是该点为极值点的极值点的 条件条件.必要不充分必要不充分x xo oy y2/28/20235 （1 1）确定函数的定义域，求导数）确定函数的定义域，求导数f f/(x x)；（2 2）解方程）解方程 f f/(x x0 0)=0)=0；（3 3）列表，根据表格求出极值）列表，根据表格求出极值 总结总结:求函数极值的步骤求函数极值的步骤2/28/20236例例2：设设，在，在和和处处有极有极值值，且，且=1,求求，的的值值，并

4、求出函数的极，并求出函数的极值值。，2/28/202372/28/20238思考思考:下图是导函数下图是导函数的图象的图象,试找出函数试找出函数的极值点的极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x62/28/20239在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新新 课课 引引 入入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并

5、不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。2/28/202310知识回顾知识回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足：1最大值最大值（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2/28/2023112最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f

6、(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 2/28/202312阅读课本判断下列命题的真假：阅读课本判断下列命题的真假：1.函数在其定义域上的最大值与最小值至多函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个；各有一个；2、最大值一定是极大值；、最大值一定是极大值；3、最大值一定大于极小值；、最大值一定大于极小值；x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(af(a)f(xf(x3 3)f(bf(b)f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)讲授新课讲授新课2/28/202313 例例1 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值与上的最大

7、值与最小值最小值解：解：令令，有，有，解得，解得1345413y+00+02(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当当x 变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：从表上可知，最大值是从表上可知，最大值是13，最小值是，最小值是42/28/202314归纳结论：归纳结论：（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此（2）函数f（x）若在闭区间a，b上有定义，但有间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值总结：一般地，如果在区间a，b上函数f（x）的图像是

8、一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如何求最值？只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可求最大值、最小值2/28/202315 例例1 1、求函数、求函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在区间在区间-1-1，44内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解:f(x)=2x-4:f(x)=2x-4令令f(x)=0f(x)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x=2x=2x x-1-1（-1,2-1,2）2 2（2 2，4 4）4 40 0-+8 83-1 故故函函数数f f(x)(x)在在区区间间-1-1，44内内的的最最大大值值为为8 8，最小值为，最小值

9、为-1-1 例题讲解例题讲解2/28/202316一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在在a,b上上的最大值与最小值的的最大值与最小值的步骤步骤如下：如下：(2)(2)将将y=f(x)y=f(x)的的各各极极值值与与端端点点处处函函数数值值f(a)f(a)、f(b)f(b)比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值.(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内极值内极值(极大值或极大值或极小值极小值)2/28/2023171、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的最大值和最小值的最大值和最小值

10、法法一一、将将二二次次函函数数f(x)=x2-4x+6配配方方，利利用用二次函数单调性处理二次函数单调性处理练习练习2/28/2023181、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的最值的最值 故故函函数数f(x)在在区区间间1，5内内的的最最大大值值为为11，最小值为，最小值为2 法二、法二、解、解、f(x)=2x-4令令f(x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1,2）2（2,5）5y，0y-+31122/28/202319 2 2、函数函数y=xy=x3 3-3x-3x2 2，在，在2 2，4 4上的上的最大值为最大值为()()A.-4 B.0 C.16A.

11、-4 B.0 C.16D.20D.20C C练练 习习2/28/2023203.已知函数y=-x2-2x+3在区间a,2上的最大值为 ，则a等于（）A.B.C.D.或2/28/2023214.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在区间-2，2上有最小值-37，（1）求实数a的值；（2）求f(x)在区间-2，2上的最大值.2/28/202322知识要点：知识要点：.函数的最大与最小值函数的最大与最小值设设y=f(x)是定义在区间是定义在区间a,b上的函数上的函数,y=f(x)在在(a,b)内有导数内有导数,求函数求函数y=f(x)在区间在区间a,b上的最大最小值上的最大最小值,可分两步进行可分两

12、步进行:求求y=f(x)在区间在区间(a,b)内的极值内的极值;将将y=f(x)在各极值点的极值与在各极值点的极值与f(a),f(b)比较，比较，其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。最小的一个为最小值。若函数若函数f(x)在区间在区间a,b上单调递增上单调递增(减减),则则f(a)为最小为最小(大大)值值,f(b)为最大为最大(小小)值。值。小结小结2/28/202323作业作业1:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大值与最小上的最大值与最小值值.课本课本P99第第6题的（题的（1）、（）、（2）2/28/2023242/28/202325