典型环节和开环系统频率特性的对数坐标图.ppt

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1、5-4 典型环节和开环系统频率特性的对数坐标图典型环节和开环系统频率特性的对数坐标图 一一 对数坐标图对数坐标图 极坐标图上的奈氏曲线极坐标图上的奈氏曲线,不能明显表示时间常数等不能明显表示时间常数等参数变化对系统性能的影响参数变化对系统性能的影响,当各典型环节串接时当各典型环节串接时,幅幅频频特性是各典型环节幅频特性的乘积特性是各典型环节幅频特性的乘积,给计算和作图带来不给计算和作图带来不便便,这是两大缺点这是两大缺点,为此引出工程上常用的对数坐标图为此引出工程上常用的对数坐标图.设系统的开环频率特性表达式为设系统的开环频率特性表达式为:其幅频特性和相频特性表达式分别为其幅频特性和相频特性表

2、达式分别为:为把为把中各环节的乘除运算化为加减运算中各环节的乘除运算化为加减运算,对对两边取以两边取以10为底的常用对数为底的常用对数,变成变成:上式称为对数幅频特性表达式上式称为对数幅频特性表达式,单位为贝尔单位为贝尔.但贝尔的单位太大但贝尔的单位太大,所以取分贝为单位所以取分贝为单位,一个贝尔等于一个贝尔等于20分贝分贝,则上式就为则上式就为:上式的单位为分贝上式的单位为分贝,用用db表示表示.由于由于已为加减运已为加减运算算,就不再取对数就不再取对数.一个对数坐标图分两部分一个对数坐标图分两部分,一部分一部分是以是以为纵轴为纵轴,单位为单位为db,线性刻度线性刻度,以以为横轴为横轴,对数

3、刻度对数刻度,构成对数幅频特性图构成对数幅频特性图.另一部分以另一部分以为为纵轴纵轴,单位为度或弧度单位为度或弧度,线性刻度线性刻度,以以为横轴为横轴,也以对也以对对数刻度对数刻度,构成对数相频特性图构成对数相频特性图,而这两部分就构成对数而这两部分就构成对数坐标图坐标图,也叫伯德也叫伯德(Bode)图图.以以对数刻度的对数刻度的横轴的画法请见教材横轴的画法请见教材P.174图图5-6及表及表5-1.横轴虽以对数刻度横轴虽以对数刻度,但横轴上仍标以对但横轴上仍标以对取以取以10为底为底的对数前的的对数前的值值.将将值以对数刻度的好处在于值以对数刻度的好处在于,能把能把一个较宽频率范围的图形较紧

4、凑地表示在一张尺寸适当一个较宽频率范围的图形较紧凑地表示在一张尺寸适当的图纸上的图纸上,其次其次,对数刻度后对数刻度后,把把的低频段图线适当的低频段图线适当展开展开,使频率特性低频段的变化情况表示的更清楚使频率特性低频段的变化情况表示的更清楚.而频而频率特性低率特性低 中频段变化情况反映了系统输出时域响应曲线中频段变化情况反映了系统输出时域响应曲线的稳态部分和过渡部分的稳态部分和过渡部分,而工程上对这两部分比较感兴趣而工程上对这两部分比较感兴趣.二二 典型环节的典型环节的伯德图伯德图 1.比例比例环节环节其伯德图如下所示其伯德图如下所示:2.惯性惯性环节环节惯性环节对数幅频曲线的近似画法惯性环

5、节对数幅频曲线的近似画法:a)当当即即,则则为一条通过零分贝点的水平直线为一条通过零分贝点的水平直线,如下图如下图,b)当当即即,则则,此式表明此式表明当当增大到原来的增大到原来的10倍时倍时,减少减少20分贝分贝,即即因此因此,是一条斜率为是一条斜率为的直线的直线,如上图所示如上图所示c)当当即即,则则由上面分析可知由上面分析可知,在在范围内范围内,是一条通过零是一条通过零分贝点的斜率为分贝点的斜率为的水平直线的水平直线,在在范围内范围内,是一条斜率为是一条斜率为的直的直线线,这两条直线在这两条直线在处相交处相交.称称为惯性环节的转折频率为惯性环节的转折频率.当时间常数当时间常数T发生变化时

6、发生变化时,曲线形曲线形状不变状不变,只是作水平的左右移动只是作水平的左右移动.由两条直线组成的折线代替由两条直线组成的折线代替的精确曲线必有误差的精确曲线必有误差,设误差为设误差为,折线用折线用表示表示,且且由计算可得最大误差发生在由计算可得最大误差发生在,约为约为,见下图见下图.误差曲线请见教材误差曲线请见教材P.181图图5-16.两条直线分别是精确曲线当两条直线分别是精确曲线当和和时的渐近线时的渐近线.工程上将工程上将精确曲线形状制成模板以方便作图精确曲线形状制成模板以方便作图.惯性惯性环节对数相频曲线的近似画法环节对数相频曲线的近似画法:因因的的近似曲线可由下近似曲线可由下图所图所示

7、的三段直线组成的折线表示示的三段直线组成的折线表示.的精确的精确曲线如图曲线如图中绿线所示中绿线所示,对转折频对转折频率率斜对称斜对称.3.一阶微分一阶微分环节环节其其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线如下图所示对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线如下图所示.4.积分积分环节环节其其对数幅频特性曲线如下图所示对数幅频特性曲线如下图所示.通过纵轴上的通过纵轴上的0分贝分贝点的水平线叫点的水平线叫0分贝线分贝线,由于由于轴通过纵轴上的轴通过纵轴上的0分贝点分贝点,故故轴也叫轴也叫0分贝线分贝线.积分积分环节穿环节穿越越0分贝线的频率分贝线的频率叫叫穿穿越频率越频率.曲线在曲线在范围内范围内是一条斜率

8、为是一条斜率为的直线的直线.若有若有n个积分个积分环节串环节串接接,即其传递函数为即其传递函数为,则其则其对数幅频特性曲对数幅频特性曲线为线为一条斜率为一条斜率为的直线的直线.积分积分环节的相频特环节的相频特性曲线如下图所示性曲线如下图所示,是一条与频率无关的是一条与频率无关的-90度水平线度水平线.5.微分微分环节环节其其对数幅频特性曲线见上图蓝线对数幅频特性曲线见上图蓝线.其其对数相频特性曲线见左图蓝线对数相频特性曲线见左图蓝线.6.二阶振荡二阶振荡环节环节二阶振荡环节对数幅频曲线的近似画法二阶振荡环节对数幅频曲线的近似画法:a)当当,即即时时,为一条为一条通过零分贝点的通过零分贝点的水平

9、直线水平直线,如右图如右图,b)当当,即即时时,一条斜率为一条斜率为的直线的直线,如下图所示如下图所示,两条直线两条直线在在处相交处相交,为转折为转折频率频率.由两条直线组成的折线是由两条直线组成的折线是二阶振荡环节对数幅频的近似曲二阶振荡环节对数幅频的近似曲线线,与与 值无关值无关.但由但由的表的表达式可知达式可知,二阶振荡环节对数幅频的精确曲线与二阶振荡环节对数幅频的精确曲线与值有关值有关当当时时,二阶振荡环节对数幅频精确曲线有一簇二阶振荡环节对数幅频精确曲线有一簇,请请见教材见教材P.180图图5-13.精确曲线与近似曲线的误差曲线请见精确曲线与近似曲线的误差曲线请见教材教材P.182图

10、图5-17.二阶振荡环节相频表达式为二阶振荡环节相频表达式为:当当时时,当当时时,由于由于所以所以二阶振荡环节对数相频曲线的大至形状见下图二阶振荡环节对数相频曲线的大至形状见下图.二阶振荡环节对数相频曲线的形状也与二阶振荡环节对数相频曲线的形状也与值有关值有关,当当时时,二阶振荡环节对数相频曲线有一簇二阶振荡环节对数相频曲线有一簇,请见教材请见教材P.180图图5-13.7.二阶微分二阶微分环节环节二阶微分二阶微分环节对数幅频特性表达式为环节对数幅频特性表达式为:由上几式可见由上几式可见,二阶微分环节对数幅频曲线和对数相频二阶微分环节对数幅频曲线和对数相频曲线分别与振荡环节对数幅频曲线和对数相

11、频曲线关于曲线分别与振荡环节对数幅频曲线和对数相频曲线关于0分贝线及分贝线及0度线成镜像对称度线成镜像对称.8.延迟延迟环节环节延迟延迟环节的环节的对数幅频曲线于频率无关对数幅频曲线于频率无关,见下图见下图.延迟延迟环节环节的的相频相频表达式表达式是是的线性函的线性函数数,似乎应为一条直线似乎应为一条直线,但由于对但由于对数相频曲线画在半对数坐标图上数相频曲线画在半对数坐标图上,以对数刻度以对数刻度,即为非线性刻度即为非线性刻度,故延迟故延迟环节的环节的对数相频特性是条对数相频特性是条曲线曲线,见左下图见左下图.三三 开环系统的开环系统的伯德图伯德图 开环系统的幅相频率特性表达式为开环系统的幅

12、相频率特性表达式为:上式表明上式表明,开环系统的幅相频率特性表达式无非是各典型开环系统的幅相频率特性表达式无非是各典型环节幅相频率特性表达式的乘积环节幅相频率特性表达式的乘积,因而因而由上两式可知由上两式可知,开环系统的对数幅频特性表达式是各典型环开环系统的对数幅频特性表达式是各典型环节对数幅频特性表达式之和节对数幅频特性表达式之和,开环系统的对数相频特性表达开环系统的对数相频特性表达式是各典型环节对数相频特性表达式之和式是各典型环节对数相频特性表达式之和.因此开环系统因此开环系统的伯德图就较容易画出的伯德图就较容易画出.1.半对数直角坐标系半对数直角坐标系对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是

13、分别画在半对对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是分别画在半对数直角坐标系上的数直角坐标系上的.一个坐标系如下图所示一个坐标系如下图所示.纵坐标的单位为分贝纵坐标的单位为分贝(db),线性刻度线性刻度.横坐标为横坐标为对数刻对数刻度度,但仍标以但仍标以本身的数值本身的数值.由于对数刻度由于对数刻度,在横坐标的负无穷远处在横坐标的负无穷远处,无法刻度无法刻度.根据作图的需要根据作图的需要,纵轴纵轴可左右移动可左右移动,横轴可上下移动横轴可上下移动.另一个坐标系如下图所示另一个坐标系如下图所示.纵坐标的单位为度纵坐标的单位为度(deg),线线性性刻度刻度.横坐标仍为横坐标仍为对数刻度对数刻度,但仍标

14、以但仍标以本身的数值本身的数值.2.开环系统开环系统伯德图绘制举例伯德图绘制举例例例1.设设开环系统开环系统幅相频率特性表达式为幅相频率特性表达式为:试绘制其伯德图试绘制其伯德图.如上图所示如上图所示.解解:此此开环系统由比例环开环系统由比例环节节和惯性和惯性环节环节串接而成串接而成,比例环节的近似比例环节的近似对数对数幅频特性曲线幅频特性曲线如下图绿线所示如下图绿线所示,惯性惯性环节的近环节的近似似对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线如图中蓝线所如图中蓝线所示示,和和叠加后即叠加后即为图中为图中,比例环比例环节的节的对数相频特性对数相频特性曲线曲线如下图绿如下图绿线所示线所示,惯性惯性环节的环节

15、的对数相频特性曲线对数相频特性曲线如图中蓝线所所示如图中蓝线所所示,和和叠加后仍叠加后仍为为例例2.设设开环系统开环系统幅相频率特性表达式为幅相频率特性表达式为:试绘制其伯德图试绘制其伯德图.解解:绘制过程如下绘制过程如下.先将除比例和积分环节之外的其它先将除比例和积分环节之外的其它环环节的转折频率按大小依次写出并标在节的转折频率按大小依次写出并标在轴上轴上.,先画先画曲线曲线,因当因当时时,所以是一条斜率为所以是一条斜率为通过纵轴上通过纵轴上32db这一点的直线这一点的直线,直到惯性环节的转折频率直到惯性环节的转折频率转折转折为为的直线的直线,直到一阶微直到一阶微分环节的转折频率分环节的转折

16、频率转折为转折为的直线的直线,到到转折为转折为的直线的直线.曲线与曲线与0分贝线分贝线(在上图中即为在上图中即为轴轴)相交处的交点频率相交处的交点频率叫叫开环系统的截止开环系统的截止频率频率,用用表示表示.下面介绍一种由下图确定下面介绍一种由下图确定的近似计算方法的近似计算方法.折线在折线在的分贝数的分贝数由第二段直线的斜率可得由第二段直线的斜率可得:用上法求出的用上法求出的值与令值与令求出的求出的有一定的误差有一定的误差,但当但当时时,误差很小误差很小,能满足工程上的精度要求能满足工程上的精度要求.曲线的大至曲线的大至形状如上图所示形状如上图所示.曲线与曲线与-180度线的交点频率度线的交点

17、频率两边的转折频率离它较远两边的转折频率离它较远可令可令然后两边取正切解得然后两边取正切解得,如上图所示如上图所示.例例3.设设开环系统开环系统幅相频率特性表达式为幅相频率特性表达式为:试绘制其对数幅频特性曲线试绘制其对数幅频特性曲线,解解:绘制过程如下绘制过程如下.先将除比例和积分环节之外的其它环先将除比例和积分环节之外的其它环节的转折频率按大小依次写出并标在节的转折频率按大小依次写出并标在轴上轴上.先画先画曲线曲线,因当因当时时,所以是一条斜率为所以是一条斜率为通过纵轴上通过纵轴上20db这一点的直线这一点的直线,直到惯性环节的转折频率直到惯性环节的转折频率转折为转折为的直线的直线,直到一

18、阶微分环节的转折频率直到一阶微分环节的转折频率转折为转折为的直线的直线,再到又一个惯性环节的转折频率再到又一个惯性环节的转折频率又转折为又转折为的直线的直线,最后到二阶振荡环节的转折频率最后到二阶振荡环节的转折频率转折为转折为的直线的直线.例例3图中求图中求的近似计算方法为的近似计算方法为:由第二段直线的斜率可得由第二段直线的斜率可得在第三段直线上在第三段直线上,3.最小相位系统最小相位系统 不包含延迟环节不包含延迟环节,又没有位于又没有位于s右半平面上的零右半平面上的零 极极点的点的传递函数叫最小相位传递函数传递函数叫最小相位传递函数,否则叫非最小相位传否则叫非最小相位传递函数递函数.具有最

19、小相位传递函数的系统叫最小相位系统具有最小相位传递函数的系统叫最小相位系统,具有非最小相位传递函数的系统叫非最小相位系统具有非最小相位传递函数的系统叫非最小相位系统.下面举例说明下面举例说明最小相位传递函数和非最小相位传递函数最小相位传递函数和非最小相位传递函数在伯德图上的区别在伯德图上的区别.设有设有:是是最小相位传递函数最小相位传递函数,是是非最小相位传递函数非最小相位传递函数.它们的对数幅频特性表达式分别为它们的对数幅频特性表达式分别为:它们的相频特性表达式分别为它们的相频特性表达式分别为:它们的对数幅频特性曲线见下图它们的对数幅频特性曲线见下图.由图可见它们的对数幅由图可见它们的对数幅

20、频特性曲线完全相同频特性曲线完全相同.它们的对数相频特性曲线见下图它们的对数相频特性曲线见下图.它们的对数相频特性它们的对数相频特性曲线不相同曲线不相同.从从0变化到变化到0,而而从从0变化到变化到-180度度,前前者相角变化的范围比后者相角者相角变化的范围比后者相角变化的范围小变化的范围小,故称故称为为最小相位传递函数最小相位传递函数,为为非非最小相位传递函数最小相位传递函数.最小相位传最小相位传递函数的特点是递函数的特点是,其其曲线曲线的斜率变化趋势与相角的变化的斜率变化趋势与相角的变化趋势一致趋势一致,见上两图见上两图.曲线的斜率减小时曲线的斜率减小时,的角度也的角度也减小减小.因此因此

21、,分析和综合分析和综合最小相位系统时最小相位系统时,只需画出只需画出曲线即可曲线即可,且且曲线与曲线与最小相位传递函数最小相位传递函数一一对应一一对应.另一特点是另一特点是,当当时时,最小相位传递函数最小相位传递函数的相角满足的相角满足,故可根据这一特点来判别系故可根据这一特点来判别系统是否为统是否为最小相位系统最小相位系统.例例:已知某闭环系统的开环传递函数为最小相位传递函已知某闭环系统的开环传递函数为最小相位传递函数数,其对数幅频特性如下图所示其对数幅频特性如下图所示,试求其传递函试求其传递函数数.解解:课外习题课外习题:P.215第第5-10题题,第第5-11题题(1)(2)(3)并求相

22、角裕度并求相角裕度,第第5-12题题(a),(b),第第5-17题题.四四 由由开环系统的开环系统的伯德图分析闭伯德图分析闭环系统的时域性能环系统的时域性能 与根轨迹法由开环分析闭环时域性能的思路一样与根轨迹法由开环分析闭环时域性能的思路一样,频域分析法通过开环频率特性来分析闭环时域性能频域分析法通过开环频率特性来分析闭环时域性能.1.伯德图与系统稳定性伯德图与系统稳定性 奈氏判据由开环幅相频率特性在极坐标图上的奈氏奈氏判据由开环幅相频率特性在极坐标图上的奈氏曲线可判别闭环的稳定性曲线可判别闭环的稳定性,奈氏判据也可在伯德图上判奈氏判据也可在伯德图上判别闭环的稳定性别闭环的稳定性.对数坐标图与

23、极坐标图有如下对应关对数坐标图与极坐标图有如下对应关系系:(1)极坐标图上以原点为圆心的单位圆的圆周对应极坐标图上以原点为圆心的单位圆的圆周对应于幅频特性对数坐标图上的于幅频特性对数坐标图上的0分贝线分贝线.(2)极坐标图上的负实轴对应于相频特性对数坐标极坐标图上的负实轴对应于相频特性对数坐标图上的图上的-180度线度线.由于有以上的对应关系由于有以上的对应关系,故可在伯德图上应用奈氏故可在伯德图上应用奈氏判据来判别闭环的稳定性判据来判别闭环的稳定性,并确定稳定裕度并确定稳定裕度.为说明奈氏判据伯德图上的应用法则为说明奈氏判据伯德图上的应用法则,对上面所说的两对上面所说的两条对应关系给出如下示

24、意图条对应关系给出如下示意图.设开环对数相频特性曲线设开环对数相频特性曲线穿越穿越的一段如上右下的一段如上右下开环对数幅频特性曲线开环对数幅频特性曲线穿越穿越0分贝线的一段分贝线的一段图所示图所示,如上右上图所示如上右上图所示,定义定义:为幅值裕度为幅值裕度,单位为单位为分贝分贝,为相角裕度为相角裕度,奈氏判据可表为奈氏判据可表为:当开环稳定当开环稳定(即即P=0)时时,若若则闭环稳定则闭环稳定,若若则闭环临界稳定则闭环临界稳定,若若则闭环不稳定则闭环不稳定.在极坐标图上的在极坐标图上的幅值裕度幅值裕度 和在对数坐标图上的幅值裕度和在对数坐标图上的幅值裕度的转换关系推导如下的转换关系推导如下:

25、可见可见的物理含义与的物理含义与一样一样,只是单位和数值不同只是单位和数值不同.例例:设一闭环系统具有如下开环传递函数设一闭环系统具有如下开环传递函数要求画出要求画出伯德图伯德图,判别判别闭环是否稳定闭环是否稳定,如稳定如稳定,求求幅值裕度和相角裕度幅值裕度和相角裕度,并计算开环传递系数增大到并计算开环传递系数增大到2的多少倍后的多少倍后,闭环临界稳定闭环临界稳定,开环传递系数的临界开环传递系数的临界稳定值是多少稳定值是多少?解解:伯德图如下所示伯德图如下所示,由图可见由图可见,因因而开环稳定而开环稳定,所以闭环稳定所以闭环稳定.求幅值裕度和相求幅值裕度和相角裕度的过程如下角裕度的过程如下:所

26、以开环传递系数的临界稳定值所以开环传递系数的临界稳定值=2.对数幅频特性图与系统的稳态误差对数幅频特性图与系统的稳态误差 当一个自控系统的结构和参数确定后当一个自控系统的结构和参数确定后,可由它的开环可由它的开环传递函数的型号和开环传递系数来计算它对某一种输入信传递函数的型号和开环传递系数来计算它对某一种输入信号的稳态误差值号的稳态误差值.而在控制系统的开环对数幅频特性图上而在控制系统的开环对数幅频特性图上也能判断其开环型号和开环传递系数也能判断其开环型号和开环传递系数,从而算出它跟踪某从而算出它跟踪某一种输入信号的稳态误差值一种输入信号的稳态误差值.1)0型系统型系统 设设0型系统的开环频率

27、特性为型系统的开环频率特性为:其开环对数幅频特性曲线如下图其开环对数幅频特性曲线如下图:的频率范围叫低频段的频率范围叫低频段,0型系统型系统低频段的对数幅频特性折线为一高度低频段的对数幅频特性折线为一高度的水平直线的水平直线,且且.上面结论适用于上面结论适用于任何复杂的任何复杂的0型系统型系统.2)一型系统一型系统 设一型系统的开环频率特性为设一型系统的开环频率特性为:其开环对数幅频特性曲线如下图其开环对数幅频特性曲线如下图,如图当如图当,则则或或当当,则其开环对数幅频特则其开环对数幅频特性曲线如下图性曲线如下图,将低频段将低频段的直线延长使其与的直线延长使其与0分贝相交分贝相交,则交则交点频

28、率点频率,且也同样有且也同样有3)二型系统二型系统 设二型系统的开环频率特性为设二型系统的开环频率特性为:其开环对数幅频特性曲线如下图其开环对数幅频特性曲线如下图,如图当如图当,则则或或当当,则其开环对数幅频特则其开环对数幅频特性曲线如下图性曲线如下图,将低频段将低频段的直线延长使其与的直线延长使其与0分贝相交分贝相交,则交则交点频率点频率,且也同样有且也同样有例例:已知某闭环系统的开环对数幅频曲线如下图已知某闭环系统的开环对数幅频曲线如下图,求输入信号求输入信号时的稳态误差值时的稳态误差值.解解:因低频段因低频段直线斜率直线斜率所以系统为一型所以系统为一型下面求速度误差系数下面求速度误差系数

29、.3.伯德图与系统的瞬态响应伯德图与系统的瞬态响应1)曲线的参数与曲线的参数与瞬态响应的关系瞬态响应的关系a)一阶一型系统一阶一型系统.其结构图如下其结构图如下.开环为一型开环为一型,闭环为一阶闭环为一阶.曲线见上右图曲线见上右图.截止频率截止频率,一阶一型系统一阶一型系统不管不管T为大于零的何值为大于零的何值,闭环始终稳定闭环始终稳定,穿越穿越0分贝分贝线的斜率为线的斜率为.因因是一惯性环节是一惯性环节没有超调量没有超调量,调节时间调节时间,可见可见越大越大,调节调节时间越短时间越短.b)二阶一型系统二阶一型系统.其结构图如下其结构图如下.开环为一型开环为一型,闭环为二阶闭环为二阶.下面分三

30、种情况进行讨论下面分三种情况进行讨论.(1)曲线与闭环单位阶跃响应曲线与闭环单位阶跃响应以以穿越穿越0分贝线分贝线,但只要但只要K T都大于零都大于零二阶闭环总是稳定的二阶闭环总是稳定的,不过其瞬态性能较差不过其瞬态性能较差,由由可得可得曲线振荡比较曲线振荡比较剧烈剧烈.曲线如下曲线如下(2)曲线与闭环单位阶跃响应曲线与闭环单位阶跃响应曲线振荡稍好曲线振荡稍好.(3)曲线与闭环单位阶跃响应曲线曲线与闭环单位阶跃响应曲线曲线如下曲线如下如下如下,且且越大越大,值也越大值也越大,当当时时,曲线接近于指数上升曲线接近于指数上升曲线曲线,调节时间调节时间综合上面的分析可得结论是综合上面的分析可得结论是

31、:当开环对数幅频曲线当开环对数幅频曲线以以穿越穿越0分贝线分贝线,不管闭环是二阶系统还是高不管闭环是二阶系统还是高阶系统阶系统,只要开环稳定只要开环稳定,闭环总是稳定的闭环总是稳定的.为使为使不产不产生超调生超调,或超调很小或超调很小,应位于斜率为应位于斜率为的线段的线段上上,且这一线段应有一定的频率宽度且这一线段应有一定的频率宽度.2)由相角裕度由相角裕度确定二阶系统的时域指标确定二阶系统的时域指标典型二阶系统的开环传递函数及频率特性可表为典型二阶系统的开环传递函数及频率特性可表为:上式中上式中,其其可见下两图可见下两图先推导先推导 和和的关系的关系.因为因为,所所以以对上式求解对上式求解,

32、并考虑到并考虑到不能为负不能为负,有有:,又因又因也不能为负也不能为负,所以所以又因又因将将代入上式得代入上式得:教材教材P.213图图5-48给出了典型二阶系统的给出了典型二阶系统的曲线曲线,由由 值值可得可得,由于由于,则由上一屏给出的则由上一屏给出的曲线求出曲线求出也可求得也可求得.由前屏给出的由前屏给出的曲线重新显示于下曲线重新显示于下:由上两式得由上两式得:从而从而3)由相角裕度由相角裕度设单位负反馈系统的闭环传递函数为设单位负反馈系统的闭环传递函数为:则则令令叫闭环谐振峰值叫闭环谐振峰值,则在研究二阶振荡环则在研究二阶振荡环节时已知节时已知,与与 值一一对应值一一对应.确定高阶系统

33、的时域指标确定高阶系统的时域指标故当知道故当知道值后值后,值也可解得值也可解得,从而可得时域指标从而可得时域指标但对于高阶系统但对于高阶系统,频域指标频域指标和时域指标间没有一一对应和时域指标间没有一一对应的明确关系的明确关系.通过对大量系统的研究通过对大量系统的研究,可归纳出以下两个近似的估可归纳出以下两个近似的估算算公式公式:及及上式中上式中由于由于曲线比较难画曲线比较难画,要用到尼柯尔斯图线要用到尼柯尔斯图线,且对于且对于高阶的闭环系统高阶的闭环系统,的计算也较复杂的计算也较复杂.而开环系统的伯德而开环系统的伯德图相对较好画图相对较好画,故从伯德图上或通过适当计算求故从伯德图上或通过适当

34、计算求也较容也较容易易,所以设法将开环的所以设法将开环的与闭环的与闭环的挂上钩挂上钩,从而可由从而可由值来估算时域指标值来估算时域指标.下面推导下面推导和和之间的关系之间的关系.式中相频特性可写为式中相频特性可写为式中式中表示不同频率时相角对表示不同频率时相角对的偏移的偏移,当当时时,因而开环频率特性可表为因而开环频率特性可表为:闭环幅频特性为闭环幅频特性为:求求时时,假设在假设在附近附近,变化较小变化较小,(此假此假设对一般系统均满足设对一般系统均满足),又因又因发生在开环截止频率发生在开环截止频率附近附近,于是可认为于是可认为,令令,得得代入代入表达式有表达式有,左式建立了左式建立了与与间的近似关系间的近似关系在在附近附近,越满足越满足,的近似的近似程度越高程度越高.归纳出的两个近似的估算公式可表为归纳出的两个近似的估算公式可表为:及及上式中上式中