特征值与特征向量计算学习教案.pptx

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1、会计学1特征值与特征向量计算特征值与特征向量计算(j sun)第一页，共54页。矩阵矩阵矩阵矩阵(j(j zhn)zhn)特征值特征值特征值特征值与特征向量的计算主要内容与特征向量的计算主要内容与特征向量的计算主要内容与特征向量的计算主要内容一、幂法一、幂法二、反幂法二、反幂法三、幂法、反幂法小结三、幂法、反幂法小结(xioji)(xioji)四、四、QRQR算法算法五、五、JacobiJacobi方法方法第1页/共54页第二页，共54页。问题问题(wnt)(wnt)的提出：的提出：工工程程技技术术的的许许多多实实际际问问题题(wnt)(wnt)，例例如如振振动动问问题题(wnt)(wnt)，

2、稳稳定定问问题题(wnt)(wnt)的的求求解解，有有时时会会归归结结成成求求矩矩阵阵的的特特征征值值和和对对应应的的特特征征向向量量。学学过过线线性性代代数数后后，我我们们已已知知求求矩矩阵阵A A的的特特征征值值和和特特征征向向量量的的解解法法，即即先先求求出出A A的的特特征征多项式：多项式：令0。通过求解上述高次多项式方程，所得根即为矩阵(j zhn)A的特征值，然后求解方程组0，就可得出特征值对应的特征向量X。第2页/共54页第三页，共54页。但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根的计算精度较低。同时，矩阵A求特征多项式系数的过程对舍入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很大

3、。因此，从数值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。目前(mqin)，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法-幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。一、幂法 定理：设矩阵A的特征值为并设A有完全的特征向量系 (它们线性无关)，则对任意一个非零向量V0Rn 所构造的向量序列(xli)有其中表示向量的第j个分量.P129P129：定理：定理(dngl)6-2(dngl)6-2；归一；归一化幂法是定理化幂法是定理(dngl)6-3(dngl)6-3。第3页/共54页第四页，共54页。证证明明(zhngmng)：仅仅就就为为实实数数的的情情况况来来证证

4、明明(zhngmng).假定假定 于是于是,由矩阵特征值定义知由矩阵特征值定义知 ,得得.第4页/共54页第五页，共54页。同理可得：同理可得：假定假定(jidng),因为因为 ,故得故得 从上述证明过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方法,具体步骤如下：(1)任取一非零向量V0Rn,一般(ybn)可取V0=(1,1,.,1)T(2)计算Vk=AVk-1(3)当k足够大时,即可得到：第5页/共54页第六页，共54页。若按上述计算过程，有一严重缺点，当|1|1（或|1|1时）Vk中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可能(knng)出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢），因此，在实际计

5、算时，须按规范法计算，每步先对向量Vk进行“规范化”,即取Vk中绝对值最大的一个分量记作mk=max(Vk)，用mk遍除的所有向量Vk，得到规范化向量。为说明上述算法的正确性，我们证明下述定理定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列uk收敛于矩阵(j zhn)A按模最大的特征值1对应的特征向量,而向量序列Vk的绝对值最大的分量mk收敛于1,即第6页/共54页第七页，共54页。证证:第7页/共54页第八页，共54页。第8页/共54页第九页，共54页。例：例：用幂法求矩阵(j zhn)按按模模最最大大特特征征值值1和和对对应应(duyng)的的特特征征向量向量x1解解:取取初初始始向向量量V0=u

6、0=(1,1,1)T，计计算算(j sun)出出Vk,uk和和mk,迭代迭代7次的结果列于下表次的结果列于下表第9页/共54页第十页，共54页。由上可见经过7次迭代,m7的值已稳定到小数后5位，故所求的按模最大特征值和对应(duyng)的特征向量可取作：1 1、归一化例题、归一化例题6-26-22 2、幂法的加速：原点平移法；、幂法的加速：原点平移法；AitkenAitken加速法；加速法；RayleighRayleigh商加速法商加速法注：注：第10页/共54页第十一页，共54页。第11页/共54页第十二页，共54页。第12页/共54页第十三页，共54页。第13页/共54页第十四页，共54页

7、。第14页/共54页第十五页，共54页。二、反幂法：二、反幂法：基基本本思思路路：设设A没没有有零零特特征征值值，则则A非非奇奇异异，即即A的的逆逆矩矩阵存在阵存在(cnzi)，设的特征值为，设的特征值为其对应的特征向量为其对应的特征向量为因为因为 A xk=k xk 所以所以 A-1 xk=k-1 xk 故故k-1就是矩阵就是矩阵A-1的特征值，它们满足的特征值，它们满足 对应(duyng)的特征向量仍为xk。因此，求矩阵A的按模最小特征值，就相当于求其逆阵A-1的按模最大特征值n-1，这只需应用幂法即可求得。第15页/共54页第十六页，共54页。注意点：注意点：由于求逆非常费时。故在用迭代

8、向量由于求逆非常费时。故在用迭代向量由由uk-1uk-1求求VkVk时，可采用解方程组时，可采用解方程组的的办办法法。由由于于每每次次解解方方程程组组的的系系数数矩矩阵阵都都相相同同，故故计计算算并并不不复复杂杂。如如果果预预先先将将作作三三角角分分解解(fnji)(fnji)，这这样样使使每每次次迭迭代代仅仅仅仅求求解解两两个个三三角角方方程程组组就就更更省省时时了了。特特别别当当n n较较大大时时，将将大大大地节省计算量。大地节省计算量。三、幂法小结：三、幂法小结：幂幂法法适适用用范范围围为为求求矩矩阵阵的的按按模模最最大大特特征征值值及及相相应应的的特特征征向向量量，其其优优点点是是算算

9、法法简简单单，容容易易编编写写程程序序在在计计算算机机上上实实现现，缺缺点点是是收收敛敛速速度度慢慢，其其有有效效性性依依赖赖于于矩矩阵阵特特征征值值的的分分布布情情况况。反反幂幂法法的的适适用用范范围围是是求求矩矩阵阵的的按按模模最最小小特特征征值值及及对对应应的的特特征征向量。向量。第16页/共54页第十七页，共54页。四、算法四、算法(sun f)第17页/共54页第十八页，共54页。第18页/共54页第十九页，共54页。1 1、HouseholderHouseholder矩阵矩阵矩阵矩阵(j(j zhn)zhn)P136P136定义定义(dngy)6-1(dngy)6-1，定理，定理6

10、-46-4第19页/共54页第二十页，共54页。第20页/共54页第二十一页，共54页。第21页/共54页第二十二页，共54页。P137P137定理定理(dngl)6-5(dngl)6-5第22页/共54页第二十三页，共54页。第23页/共54页第二十四页，共54页。第24页/共54页第二十五页，共54页。、矩阵、矩阵(j zhn)的的分解分解第25页/共54页第二十六页，共54页。第26页/共54页第二十七页，共54页。第27页/共54页第二十八页，共54页。可验证可验证:.第28页/共54页第二十九页，共54页。第29页/共54页第三十页，共54页。定理定理(dngl)(dngl)第30页

11、/共54页第三十一页，共54页。、求矩阵、求矩阵、求矩阵、求矩阵(j(j zhn)zhn)全部特征值的全部特征值的全部特征值的全部特征值的算法算法算法算法第31页/共54页第三十二页，共54页。第32页/共54页第三十三页，共54页。第33页/共54页第三十四页，共54页。第34页/共54页第三十五页，共54页。第35页/共54页第三十六页，共54页。第36页/共54页第三十七页，共54页。第37页/共54页第三十八页，共54页。五、五、五、五、JacobiJacobiJacobiJacobi方法方法方法方法(fngf)(fngf)(fngf)(fngf)第38页/共54页第三十九页，共54页

12、。、预备、预备(ybi)知识知识第39页/共54页第四十页，共54页。称称为为旋旋转转(xunzhun)矩矩阵阵 第40页/共54页第四十一页，共54页。第41页/共54页第四十二页，共54页。2 2、JacobiJacobi法的基本法的基本(jbn)(jbn)思想与收敛思想与收敛性性第42页/共54页第四十三页，共54页。第43页/共54页第四十四页，共54页。第44页/共54页第四十五页，共54页。第45页/共54页第四十六页，共54页。、用、用JacobiJacobi法的计算实对称法的计算实对称(duchn)(duchn)矩阵的特征值矩阵的特征值及其对应的特征向量的步骤及其对应的特征向量的步骤第46页/共54页第四十七页，共54页。第47页/共54页第四十八页，共54页。、JacobiJacobiJacobiJacobi改进改进改进改进(gijn)(gijn)(gijn)(gijn)的方法的方法的方法的方法第48页/共54页第四十九页，共54页。第49页/共54页第五十页，共54页。第50页/共54页第五十一页，共54页。第51页/共54页第五十二页，共54页。5 5、JacobiJacobi的优点的优点(yudin)(yudin)和不足和不足第52页/共54页第五十三页，共54页。作业作业(zuy)五：五：第53页/共54页第五十四页，共54页。