计算方法插值方法优秀PPT.ppt

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1、计算方法插值方法计算方法插值方法现在学习的是第1页，共67页第4章 插值方法41 问题的提出42 拉格朗日插值多项式43 差商、差分及牛顿插值多项式44 高次插值的缺点及分段插值45 样条插值函数2 2现在学习的是第2页，共67页学习要点l插值的基本概念，包括线性插值、抛物插值和多项式插值的存在唯一性；l多项式插值方法，包括基于及函数的Lagrange插值，插值余项定理；l高次插值和分段插值。3 3现在学习的是第3页，共67页4.1 问题的提出许多实际问题都用函数y=f(x)来表示某种内在规律的数量关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的。虽然f(x)在某个区间a,b上是存在的，有的还是

2、连续的，但却只能给出a,b上一系列点 有的函数虽然有解析表达式,但由于计算复杂,使用不方便,通常也构造一个函数表。如三角函数表、对数表、平方根表、立方根表等等。4 4现在学习的是第4页，共67页5 5现在学习的是第5页，共67页4.1.1 插值函数的概念可以通过构造简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=1,2,n)，这种求P(x)的方法称为插值法定义4.1：设函数y=f(x)在区间a,b上有定义，且已知点ax0 x1xnb上的值为y0,y1,yn，若存在一个简单的函数P(x)使得 P(xj)=yj(j=0,1,2,n)成立，称P(x)为f(x)的插值函数，点x0,x1,xn的为插值节点，a

3、,b为插值区间,f(x)为被插函数，这个条件被称为插值条件6 6现在学习的是第6页，共67页代数多项式插值就是一种典型的插值函数7 7现在学习的是第7页，共67页4.1.2 插值多项式的存在唯一性定理4.1：满足条件 P(xj)=yj(j=0,1,2,n)的n次多项式 是存在而且唯一的。上面的方程可以用待定系数法结合线性方程组解法求解8 8现在学习的是第8页，共67页4.1.2 插值多项式的存在唯一性其系数行列式为范德蒙德(Vandermode)行列式9 9现在学习的是第9页，共67页4.2 拉格朗日（Lagerange）插值多项式可以构造函数P1(x)为 4.2.1 基本插值多项式观察一个两

4、点的插值情况：1010现在学习的是第10页，共67页4.2.1 基本插值多项式显然，l0(x)和和l1(x)是满足插值条件的一次插值多项式 如果令：则1111现在学习的是第11页，共67页如对n次多项式，求一个n次多项式lk(x)满足：或者写为：显然，lk(x)至少含有如下的n个一次因子：1212现在学习的是第12页，共67页 其中Ak为待定因子，由lk(xk)=1,得：因此，基本地，lk(x)可以写为：1313现在学习的是第13页，共67页4.2.2 拉格朗日插值多项式称上式为n次拉格朗日多项式，记为Ln(x),即根据基本插值多项式可以得到满足插值条件的n次插值多项式1414现在学习的是第1

5、4页，共67页练习：已知x=1,2,3,4,5，对应的函数值f(x)=1,4,7,8,6试构造4次拉格朗日插值多项式。1515现在学习的是第15页，共67页4.2.3 插值余项 在节点处 在其它点上，均是近似值。记称Rn(x)为插值多项式的余项。1616现在学习的是第16页，共67页定理：设f(n)(x)在a,b上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在节点，ax0 x1xnb，Ln(x)是满足插值条件处，Ln(xj)是=yj(j=0,1,2,n)的n次多项式，则对任意x属于a,b，插值余项 1717现在学习的是第17页，共67页说明：（1）当f(x)本身是一个次数不超过n的多项式时，Rn(

6、x)=0，（2）由于余项表达式只有在f(x)的n+1阶导数存在时才能使用，而并不知道，因此一般常用 求出误差限，即 1818现在学习的是第18页，共67页练习：设f(x)=x4,试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。1919现在学习的是第19页，共67页例3：已知特殊角30，45，60的正弦函数值为用一次插值多项式、二次插值多项式近似sinx,并用此近似sin50.2020现在学习的是第20页，共67页4.2.4 一类带导数插值条件的插值例：设x0，x1，x2是互不相同的节点。已知节点上的函数值f(xj)=yj(xj),和x1处的导数值f(xj)=m1。求

7、一个次数不超过3的多项式P3(x),使得P3(xj)=yj ,P3(x1)=m1 并估计插值余项f(x)-P3(x)。解：（1）求插值多项式。记2121现在学习的是第21页，共67页令，P3(x)=L2(x)+Q(x)则Q(x)=P3(x)-L2(x)是不超过3次的多项式，且满足，Q(xj)=P3(xj)-L2(xj)=yj-yj=0 j=0,1,2那么x0，x1，x2是Q(x)的3个零点。于是不妨设Q(x)=A(x-x0)(x-x1)(x-x2)A为待定系数。由P3(x1)=L2(x1)+Q(x1)=m1可得2222现在学习的是第22页，共67页可得2323现在学习的是第23页，共67页（2

8、）求余项。记 Rn(x)=f(x)-P3(x)项x0，x2是2个零点,x1是二重零点，设Rn(x)=K(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)其中K(x)待定。设xx0，x1，x2时，作辅助函数它在插值区间内有5个零点。由罗尔 定理知，2424现在学习的是第24页，共67页其中，在插值区间内，且与x有关。因此，带入得2525现在学习的是第25页，共67页4.3 差商、差分和牛顿（Niuton）插值多项式拉格朗日插值法的缺点：插值多项式中的基函数li(x),(i=0,1,2n)都依赖于全部插值节点，对某点x*处的近似值，无法预先估计，而且当增加或减少节点时，必须全部重新计算。2626现在学习

9、的是第26页，共67页4.3.1 差商及牛顿插值多项式假设f(x0)=y0,f(x1)=y1,构造线性插值函数N1(x),使N1(x0)=y0,N1(x1)=y1由直线方程点斜式可得：令则2727现在学习的是第27页，共67页现推广到3个点(x0,y0,),(x1,y1),(x2,y2,)的情况，构造二次插值函数N2(x),使由插值条件：2828现在学习的是第28页，共67页可以推广到n+1个点(x0,y0,),(x1,y1),(xn,yn)的情况。为了简化插值公式，引入差商概念定义 设已知函数f(x)在n+1个互异节点x0,x1,xn上的函数值分别为f(x0),f(x1)f(xn)称为f(x

10、)关于x0,x1的一阶差商，称2929现在学习的是第29页，共67页为f(x)关于x0,x1,x2的的二二阶阶差商差商，称，称为为f(x)关于关于x0,x1,xn的的n阶阶差商差商特别，f(xi)为f(x)关于xi的零阶差商，记为fxi。3030现在学习的是第30页，共67页差商的性差商的性质质(1)对对称性称性(2)如果如果f(x,x0,x1,xk)是是x的的m次多次多项项式，式，则则f(x,x0,x1,xk,xk+1)是是x的的m-1次多次多项项式式(3)若若f(x)属于属于Cna,b，且，且xi属于属于a,b，(i=0,1,n)互异，互异，则则有有3131现在学习的是第31页，共67页4

11、.3.1 差商及牛顿插值多项式牛牛顿顿插插值值多多项项式式根据定根据定义义，把，把x看看为为a,b上一点，那么上一点，那么把后一式把后一式带带入前一式，可得入前一式，可得3232现在学习的是第32页，共67页4.3.1 差商及牛顿插值多项式式中可以看到，因为 所以于是 满足插值条件，且不次数超过n因此，Nn(x)被称作n次的牛顿插值多项式，Rn(x)为插值余项3333现在学习的是第33页，共67页牛牛顿顿插插值值多多项项式的式的优优点点（1）递递推性推性（2）牛）牛顿顿插插值值中各中各项项系数就是函数系数就是函数f(x)的各的各阶阶均差，均差，通通过过均差表便于均差表便于计计算算kxkf(xk

12、)一阶均差二阶均差三阶均差.0 x0f(x0)1x1f(x1)f(x0,x1)2x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)3x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)4x4f(x4)f(x3,x4)f(x2,x3,x4)f(x1,x2,x3,x4).3434现在学习的是第34页，共67页4.3.1 差商及牛顿插值多项式例例5已知已知试试用用线线性插性插值值和抛物插和抛物插值值求求 的近似的近似值值。解：先构造差商表x一阶均差二阶均差10010(11-10)/(121-100)=0.04761912111（0.043478-0.047619）/44

13、=-0.00 009 411(12-11)/(144-121)=0.04347814412.3535现在学习的是第35页，共67页利用牛顿插值公式得：用抛物插值得：3636现在学习的是第36页，共67页4.3.2 差分及等距节点插值公式在牛在牛顿顿插插值值公式公式中，如果公式公式中，如果节节点等距分布，差商及牛点等距分布，差商及牛顿顿插插值值公式可以公式可以进进一步一步简简化：化：定定义义 设设fi=f(xi),xi=x0+ih,(i=0,1,2,n)，记记分分别别称称为为f(x)在在xi处处以步以步长为长为h的一的一阶阶向前差分和一向前差分和一阶阶向后向后差分，差分，简简称称一一阶阶差分差分

14、3737现在学习的是第37页，共67页二二阶阶向前差分和向后差分定向前差分和向后差分定义为义为：一般地，可定义m阶向前差分及m阶向后差分为：特别定义3838现在学习的是第38页，共67页一般地，一般地，i阶阶均差与均差与i阶阶向前差分之向前差分之间间的关系的关系为为：由于：同理，i阶均差与i阶向后差分之间的关系为：3939现在学习的是第39页，共67页这样这样，把上面两式，把上面两式带带入牛入牛顿顿差商插差商插值值多多项项式，可得等距式，可得等距节节点下的前插和后插公式。点下的前插和后插公式。若有若有节节点，点，xi=x0+ih,(i=0,1,2,n)，要，要计计算算x0附近的函数附近的函数f

15、(x)的的值值，令，令x=x0+th，(0t1)结结合前面合前面带带入可得入可得牛牛顿顿前插前插公式公式：余余项为项为4040现在学习的是第40页，共67页牛牛顿顿后插公式后插公式作作变换变换 x=xn+th,(-1t0)余余项为项为4141现在学习的是第41页，共67页4.4 分段线性插值例：在 1,1上考察 的Ln(x)。取Ln(x)f(x)分段低次插值n 越大，端点附近抖动越大，称为Runge 现象4242现在学习的是第42页，共67页分段线性插值定义：设f(x)在给定的n+1个互异节点上的函数值为f(xi)=yi,(i=0,1,2,n),S1(x)为区间a,b上的函数，如果S1(x)满

16、足下列条件：S1(x)是在区间内地每个小区间xi,xi+1,(i=0,1,2,n)的线性函数；S1(xi)=yi,(i=0,1,2,n)S1(xi)是插值区间a,b上的连续函数 则称S1(x)是插值区间a,b上的分段线性插值函数4343现在学习的是第43页，共67页几何意义：在每个小区间xi,xi+1,(i=0,1,2,n)上，作连接点(xi,yi)与(xi+1,yi+1)的直线。函数S1(x)在区间xi-1,xi)(i=0,1,2,n)上的表达式为：函数S1(x)在区间xi-1,xi)(i=0,1,2,n)上的表达式为分段线性插值4444现在学习的是第44页，共67页如果用基函数表示，S1(

17、x)在插值区间a,b上的表达式为：分段线性插值4545现在学习的是第45页，共67页分段线性插值余项定理：设f(x)在给定的互异节点xi上的函数值为f(xi)=yi,(i=0,1,2,n),f(x)属于C1a,b,f(x)在a,b上存在，S1(x)为插值区间a,b上的、由数据(xi,yi)(i=0,1,2,n)构成的分段线性插值函数。则,4646现在学习的是第46页，共67页分段线性插值余项例：设f(x)=1/(1+x2),在-5,5上取n=10，按等间距节点求线性插值函数S1(x)与f(x)的值，并估计误差。解：h=(5-(-5)/10=1 在区间xi-1,xi(i=0,1,2,n)上的表达

18、式为 由分段插值函数定义得4747现在学习的是第47页，共67页分段线性插值余项4848现在学习的是第48页，共67页分段线性插值余项由于f(x)=1/(1+x2),则令得f(x)的极值点为0，1，-1，于是4949现在学习的是第49页，共67页4.5 样条插值函数 高次插值：计算复杂,可能出现不收敛现象,Runge现 象;分段线性插值:计算简单,一致收敛,但光滑性不足;样条函数插值:分段多项式,光滑连接5050现在学习的是第50页，共67页4.5.1 三次样条插值函数定义：设f(x)在区间a,b上给定n+1个节点a=x0 x1xn=b.若函数S(x)满足:lS(x)在每一个小区间 xi,xi

19、+1,(i=0,1,2,n-1)上是三次多项式；lS(x)在a,b上有连续二阶导数.则称S(x)为三次样条函数5151现在学习的是第51页，共67页三次样条插值函数设三次样条函数表达式为:其中系数A,B,C,D为待定,需要满足的条件为:5252现在学习的是第52页，共67页 三次样条插值函数定义定义：设f(x)在区间a,b上给定n+1个节点a=x0 x1xn=b及函数y=f(x)在这些节点上的值yi=f(xi)(i=0,1,n).若3次样条函数S(x)满足一下插值条件:则称S(x)为三次样条插值函数5353现在学习的是第53页，共67页 三次样条插值函数求解条件：需求4n个未知数,目前有4n-

20、2个条件,通常还需加上边界条件,通常有下面两种:当n大时,计算量非常大5454现在学习的是第54页，共67页 4.5.2三次样条插值函数求解求解条件求解条件：需求4n个未知数,目前有4n-2个条件,通常还需加上边界条件,通常有下面三种:已知端点一阶导数 已知端点二阶导数特别地,若 称为自然边界条件周期性边界条件5555现在学习的是第55页，共67页三次样条插值函数求解例例：已知函数f(x)在三个点处的值为f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,在区间-1,1上,求f(x)在自然边界条件下的三次样条插值函数解:已将区间分成两个子区间-1,0,0,1,故设已由插值条件和连续条件得:5656现在

21、学习的是第56页，共67页三次样条插值函数求解已由内节点x=0处,S(x),S(x)连续且都为零得:由边界条件得:5757现在学习的是第57页，共67页三次样条插值函数求解最后解得:从而方程为:5858现在学习的是第58页，共67页三次样条插值函数求解设S(x)在节点xi处的一阶导数为mi,即S(xi)=mi(i=0,1,2,n)，因为在每个小区间xi,xi+1上都是三次多项式，因此，可以将S(x)表示成整个区间上的分段两点三次Hermite插值多项式，当x属于xi-1,xi，且hi=xi+1-xi时5959现在学习的是第59页，共67页三次样条插值函数求解 对S(x)求二次导数，并整理得 于

22、是6060现在学习的是第60页，共67页三次样条插值函数求解 若以i-1取代i，以i取代i+1，可得 由6161现在学习的是第61页，共67页三次样条插值函数求解 用 除上式，并简化方程，可得 式中 当i取遍1,2,n-1时，得到n-1个方程，n+1个未知数。式4.2也被称为三转角方程6262现在学习的是第62页，共67页三次样条插值函数求解 为了确定未知数，还需要补充两个边界条件。下面分两种边界条件讨论：(1)若要求满足第一边界条件：方程4.2可以转化为n-1阶方程组6363现在学习的是第63页，共67页三次样条插值函数求解(2)若要求S(x)满足第二边界条件：分别在x0,x1和xn-1,xn中建立关于m0,m1,mn的方程。在式4.1中，令i=0，x=x0在式4.1中，令i=n-1，x=xn6464现在学习的是第64页，共67页三次样条插值函数求解 将上面两式联立4.2，得到n+1阶方程组：其中di与4.3式相同，d0和dn的值为：6565现在学习的是第65页，共67页三次样条插值函数求解若要求S(x)满足第二边界条件：分别在x0,x1和xn-1,xn中建立关于m0,m1,mn的方程。在式4.1中，令i=0，x=x0在式4.1中，令i=n-1，x=xn6666现在学习的是第66页，共67页作 业3.2,3.56767现在学习的是第67页，共67页