解排列组合问题的常用策略优秀PPT.ppt
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1、解排列组合问题的常用策略现在学习的是第1页,共37页解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还即采取分步还 是分类是分类,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行,确定分多确定分多 少步及多少类。少步及多少类。3.3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题(有序有序)还是还是 组合组合(无序无序)问题问题,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多 少个元素少个元素.解决排列组合综合性问题,往往类与步交解决排列组合综合
2、性问题,往往类与步交 叉,因此必须掌握一些常用的解题策略叉,因此必须掌握一些常用的解题策略现在学习的是第2页,共37页一一.特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数.解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组
3、合问题位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主若以元素分析为主,需先安排特殊元素需先安排特殊元素,再处理其它元素再处理其它元素.若以位置若以位置分析为主分析为主,需先满足特殊位置的要求需先满足特殊位置的要求,再处理其再处理其它位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个它位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件约束条件的同时还要兼顾其它条件现在学习的是第3页,共37页1.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,葵花不种在中间,也不
4、种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?问有多少不同的种法?练习题现在学习的是第4页,共37页二.相邻元素捆绑策略例例2.72.7人站成一排人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素,同时丙丁也看成一个一个复合元素,同时丙丁也看成一个 复合元素,再与其它元素进行排列,复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。要求某几
5、个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用可以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列.现在学习的是第5页,共37页三三.不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例3 3.一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4个个舞舞蹈蹈,2 2个个相相声声,3 3个个 独独唱唱,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场,则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种?解解:分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2
6、个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种,种,第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相相相独独独独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端排队再把不相邻元素插入中间和两端现在学习的是第6页,共37页某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节目个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这如果将这两个新节
7、目插入原节目单中,且两个新节两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为(目不相邻,那么不同插法的种数为()30练习题某人射击某人射击8枪,命中枪,命中4枪,枪,4枪命中恰好有枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为(枪连在一起的情形的不同种数为()20现在学习的是第7页,共37页四四.定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略例例4.74.7人排队人排队,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:(倍缩法倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几
8、个元素与其他元素一起进行排列进行排列,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是:是:(空位法空位法)设想有)设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法,其余的三个种方法,其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法,则共有种坐法,则共有 种种 方法方法 1思考思考:可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗?现在学习的是第8页,共37页(插入法插入法)先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人,共有共有1 1种排法种排法,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共
9、有 方法方法定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插空模型处理空模型处理练习题1010人身高各不相等人身高各不相等,排成前后排,每排排成前后排,每排5 5人人,要要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?4*5*6*7现在学习的是第9页,共37页五五.重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解:完成此事共分六步完成此事共分六步:把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法.7 7把第二名
10、实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分法,种分法,依此类推依此类推,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种n nm m现在学习的是第10页,共37页 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客名乘客,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电
11、梯,下电梯的方法下电梯的方法()练习题现在学习的是第11页,共37页六六.多排问题直排策略多排问题直排策略例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排,每排每排4 4人人,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排.先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排一般地
12、一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可可归结为一排考虑归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.现在学习的是第12页,共37页七七.排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例例8.8.有有5 5个不同的小球个不同的小球,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内,每盒至少装一个球每盒至少装一个球,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法.解解:第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法.再把再把5 5个元素个元素(包含一个复合包含一个复合 元素元素)装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法.根据分步计
13、数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.此法与此法与相邻元素捆绑策略相似吗?现在学习的是第13页,共37页练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务,每人每人完成一种任务完成一种任务,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种192192现在学习的是第14页,共37页八八.小集团问题先整体局部策略小集团问题先整体局部策略例例9.9.用用
14、1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹其中恰有两个偶数夹1,1,这两个奇数之这两个奇数之 间间,这样的五位数有多少个?这样的五位数有多少个?解:把解:把,当作一个小集团与排队当作一个小集团与排队共有共有_种排法,再排小集团内部共有种排法,再排小集团内部共有_种排法,由分步计数原理共有种排法,由分步计数原理共有_种排法种排法.31245小集团小集团小集团排列问题中,先整体后局部,小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。再结合其它策略进行处理。现在学习的是第15页,共37页.计划展出计划展出10幅不同的画幅不同的画,
15、其中其中1幅水彩画幅水彩画,幅油画幅油画,幅国画幅国画,排成一行陈列排成一行陈列,要求同一要求同一品种的必须连在一起,并且水彩画不在两品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为端,那么共有陈列方式的种数为_2.5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相邻男生相邻,女女生也相邻的排法有生也相邻的排法有_种种现在学习的是第16页,共37页九.元素相同问题隔板策略例例10.有有1010个运动员名额,在分给个运动员名额,在分给7 7个班,每个班,每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案?有多少种分配方案?解:因为解:因为10个名额没有差别,把它们排成个名额没有差别,把
16、它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板,在个空档中选个位置插个隔板,可把名额分成份,对应地分给个可把名额分成份,对应地分给个班级,每一种插板方法对应一种分法班级,每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份(份(n n,m m为正整数)为正整数),每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用m-1m-1块隔板,插入块隔板,插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中,所有分法数个空隙中,所有分法数为为现在学习的是第17页,共37页练习
17、题1.1.1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中,每盒至少一个,每盒至少一个,有多少装法?有多少装法?现在学习的是第18页,共37页十十.正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略例例11.从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三这十个数字中取出三 个数,使其和为不小于个数,使其和为不小于10的偶数的偶数,不同的不同的 取法有多少种?取法有多少种?解:这问题中如果直接求不小于解:这问题中如果直接求不小于10的偶数很的偶数很 困难困难,可用总体淘汰法。可用总体淘汰法。这十个数字中有这十个数字中有5 5个偶数个偶数5 5个奇数个奇数,所取的三个数含有所取的三个数含有3
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