理学不定积分典型例题学习教案.pptx

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1、会计学1理学理学(lxu)不定积分典型例题不定积分典型例题第一页，共103页。例例3.求解解:第1页/共103页第二页，共103页。例例4.求f(x)=x2+1,x0.解解:F(x)=第2页/共103页第三页，共103页。而要使F(x)成为(chngwi)f(x)在R上的原函数，必须F(x)连续，从而C10，C21，因此满足条件的函数为F(x)=故第3页/共103页第四页，共103页。例例5例例6例例7第4页/共103页第五页，共103页。例例8第5页/共103页第六页，共103页。解：因为解：因为(yn wi)总成本是总成本变化率总成本是总成本变化率y的原函数，的原函数，所以所以 已知当 x

2、=0 时，y=1000，例例9某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。因此(ync)有 C=1000，作业作业(zuy)：P137：5(2)（5)(10)(15).第6页/共103页第七页，共103页。例例2.解：观察解：观察(gunch)中间(zhngjin)变量u=x2+1但 u=x2+1的导数(do sh)为u=2x在被积函数中添加2个因子u因此第7页/共103页第八页，共103页。例例3.解解:uuduu=(x)第8页/共103页第九页，共103页。例例4.解：能想出原函数的形式解：能想出原函数的形式(xngsh)吗？吗？记得这个公式(gng

3、sh)吗？如何用这个公式(gngsh)？第9页/共103页第十页，共103页。例例5.求解：解：第10页/共103页第十一页，共103页。例例6解：解：第11页/共103页第十二页，共103页。例例7 7 求求解解第12页/共103页第十三页，共103页。例例8 8 求求解解熟练以后就不需要进行熟练以后就不需要进行转化了转化了第13页/共103页第十四页，共103页。例例9 9 求求解解第14页/共103页第十五页，共103页。例例11 11 求求解解正弦正弦(zhngxin)余弦三角函数积分偶次幂降幂余弦三角函数积分偶次幂降幂,齐次幂拆开齐次幂拆开放在微分号放在微分号第15页/共103页第十

4、六页，共103页。解解例例1212 求求第16页/共103页第十七页，共103页。例例13 13 求求第17页/共103页第十八页，共103页。例例1414 求求解解第18页/共103页第十九页，共103页。例例1515 求求解解说明说明(shumng)当被积函数是三角函数相乘时，拆开当被积函数是三角函数相乘时，拆开(chi ki)奇次项去凑微分奇次项去凑微分.第19页/共103页第二十页，共103页。例例1616 求求解解利用利用(lyng)积化和差公式，得积化和差公式，得第20页/共103页第二十一页，共103页。解解类似类似(li s)地地可推出可推出例例1717 求求第21页/共103

5、页第二十二页，共103页。解解+xxdx1例例1818第22页/共103页第二十三页，共103页。解解dxxx-4cos42sin19例例第23页/共103页第二十四页，共103页。解解dxxxx+ln12ln21例例第24页/共103页第二十五页，共103页。解解dxxexxx+)1()1(22例例第25页/共103页第二十六页，共103页。例1解第26页/共103页第二十七页，共103页。第27页/共103页第二十八页，共103页。第28页/共103页第二十九页，共103页。例例2 2 求求解解第29页/共103页第三十页，共103页。例例3 3 求求解解 令令注注三角三角(snjio)代

6、换的目的是化掉根式代换的目的是化掉根式.第30页/共103页第三十一页，共103页。例4解第31页/共103页第三十二页，共103页。例例1 1 求求解解令令考虑到被积函数中的根号是困难考虑到被积函数中的根号是困难(kn nn)所在，故所在，故第32页/共103页第三十三页，共103页。例2解第33页/共103页第三十四页，共103页。例3解第34页/共103页第三十五页，共103页。例4解第35页/共103页第三十六页，共103页。例5解配方(pi fng)第36页/共103页第三十七页，共103页。3.3.倒数代换倒数代换例例1 1 求求令令解解第37页/共103页第三十八页，共103页。

7、例例2 2 求求解解令令分母分母(fnm)的次幂太高的次幂太高第38页/共103页第三十九页，共103页。第39页/共103页第四十页，共103页。例3解第40页/共103页第四十一页，共103页。第41页/共103页第四十二页，共103页。例4解第42页/共103页第四十三页，共103页。例例1 1 求积分求积分(jfn)(jfn)解解由万能由万能(wnnng)公式公式第43页/共103页第四十四页，共103页。第44页/共103页第四十五页，共103页。例例3 3 求积分求积分(jfn)(jfn)解（一）解（一）第45页/共103页第四十六页，共103页。解（二）解（二）变形万能变形万能(

8、wnnng)公式公式,令令第46页/共103页第四十七页，共103页。解（三）解（三）不用不用(byng)万能公式万能公式.结论结论(jiln)万能代换不一定是最佳方法万能代换不一定是最佳方法,故三角有理故三角有理式的计算式的计算(j sun)中先考虑其它手段中先考虑其它手段,不不得已才用万能置换得已才用万能置换.第47页/共103页第四十八页，共103页。例例4 4 求积分求积分(jfn)(jfn)解解第48页/共103页第四十九页，共103页。第49页/共103页第五十页，共103页。例5解第50页/共103页第五十一页，共103页。例6解第51页/共103页第五十二页，共103页。例7解

9、利用恒等变换第52页/共103页第五十三页，共103页。5 5 双曲代换双曲代换(di(di hun)hun)积分中为了积分中为了(wi le)化掉根式还可用双曲代换化掉根式还可用双曲代换.令令第53页/共103页第五十四页，共103页。例例3 3 求积求积分分(jfn)(jfn)解解第54页/共103页第五十五页，共103页。例例4 4 求积分求积分(jfn)(jfn)解解 若被积函数是幂函数和对数函数的若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为乘积，就考虑设对数函数为 .第55页/共103页第五十六页，共103页。例例5 5 求积分求积分(jfn)(jfn)解解令令 若被积函数

10、若被积函数(hnsh)是幂函数是幂函数(hnsh)和和反三角函数反三角函数(hnsh)的乘积，就考虑设反三角的乘积，就考虑设反三角函数函数(hnsh)为为u.第56页/共103页第五十七页，共103页。例例6 6 求积分求积分(jfn)(jfn)解解第57页/共103页第五十八页，共103页。例例7 7 求积分求积分(jfn)(jfn)解解第58页/共103页第五十九页，共103页。复原复原(f yun)法法(回归法回归法,循环法循环法)!第59页/共103页第六十页，共103页。例例7 7解解消去消去(超越超越(choyu)函数函数)法法!第60页/共103页第六十一页，共103页。例8解递

11、推关系可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分.第61页/共103页第六十二页，共103页。第62页/共103页第六十三页，共103页。例9解第63页/共103页第六十四页，共103页。例例10 10 求积分求积分(jfn)(jfn)解解用分部积分法，用分部积分法，当当第64页/共103页第六十五页，共103页。积分过程积分过程(guchng)常要兼用换元法与分部积分法。常要兼用换元法与分部积分法。例例11 11 求积求积分分(jfn)(jfn)解解第65页/共103页第六十六页，共103页。解解第66页/共103页第六十七页，共103页。第67页/共103页第六十八页，共103页。解解两

12、边同时对两边同时对 求导求导,得得第68页/共103页第六十九页，共103页。连用(linyng)分部积分法解：同理可求不定积分(b dn j fn)例14.第69页/共103页第七十页，共103页。解解第70页/共103页第七十一页，共103页。例16解第71页/共103页第七十二页，共103页。例17解第72页/共103页第七十三页，共103页。则则记记第73页/共103页第七十四页，共103页。第74页/共103页第七十五页，共103页。把真分式把真分式(fnsh)化为部分分式化为部分分式(fnsh)之和，之和，再把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系再把上面的待定的常数确定，这种方法

13、叫待定系数法数法例例1 1通分比较通分比较(bjio)分子：分子：第75页/共103页第七十六页，共103页。代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2第76页/共103页第七十七页，共103页。例例4 4 求积分求积分(jfn)(jfn)解解第77页/共103页第七十八页，共103页。例例6 6 求积分求积分(jfn)(jfn)解解令令第78页/共103页第七十九页，共103页。第79页/共103页第八十页，共103页。例例1010 求积分求积分解解 令令第80页/共103页第八十一页，共103页。例例11 11 求积分求积分(jfn)(jfn)解解

14、 令令说明说明(shumng)无理函数无理函数(hnsh)去根号时去根号时,取根指数的最小公倍数取根指数的最小公倍数.第81页/共103页第八十二页，共103页。例例1例例2三、其他典型(dinxng)例题第82页/共103页第八十三页，共103页。解：解：解：解：（分子是分母（分子是分母(fnm)的导数）的导数）凑导数法凑导数法!例例3第83页/共103页第八十四页，共103页。解：方法解：方法(fngf)1例例4例例5ux=sin令令被积函数为余弦被积函数为余弦(yxin)的奇函数的奇函数,采用正弦换元采用正弦换元第84页/共103页第八十五页，共103页。方法方法(fngf)2本例也可以

15、直接本例也可以直接(zhji)采用凑微分的方法采用凑微分的方法第85页/共103页第八十六页，共103页。例例7第86页/共103页第八十七页，共103页。例例8第87页/共103页第八十八页，共103页。例例9 9解解第88页/共103页第八十九页，共103页。例例1010解解第89页/共103页第九十页，共103页。例例1111解解凑导数凑导数(do sh)法法!第90页/共103页第九十一页，共103页。例例1212解解(倒代换倒代换(di hun),尽管可采用尽管可采用割换割换)第91页/共103页第九十二页，共103页。例例1414解解第92页/共103页第九十三页，共103页。例例

16、1515解解凑整法凑整法第93页/共103页第九十四页，共103页。例例1616解解第94页/共103页第九十五页，共103页。例例1818解解第95页/共103页第九十六页，共103页。例例1919解解第96页/共103页第九十七页，共103页。第97页/共103页第九十八页，共103页。第98页/共103页第九十九页，共103页。例20解凑导数凑导数(do(do sh)sh)法法,双曲双曲函数函数第99页/共103页第一百页，共103页。例21解第100页/共103页第一百零一页，共103页。例22解第101页/共103页第一百零二页，共103页。例23解第102页/共103页第一百零三页，共103页。