球面三角学习教案.pptx

《球面三角学习教案.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《球面三角学习教案.pptx（68页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、球面三角球面三角第一页，共68页。第一章第一章 球面三角球面三角 球面三角球面三角球面三角球面三角,主要研究主要研究主要研究主要研究(ynji)(ynji)球面上由三个大圆弧相交球面上由三个大圆弧相交球面上由三个大圆弧相交球面上由三个大圆弧相交围成的球面三角形及其性质、解算等问题围成的球面三角形及其性质、解算等问题围成的球面三角形及其性质、解算等问题围成的球面三角形及其性质、解算等问题,为学习航海为学习航海为学习航海为学习航海专业课程提供必要的数学基础。专业课程提供必要的数学基础。专业课程提供必要的数学基础。专业课程提供必要的数学基础。第1页/共67页第二页，共68页。第一节球面几何一、球、球

2、面一、球、球面在空间与一定点等距离的点的轨迹称为球在空间与一定点等距离的点的轨迹称为球面（面（sphericalsurfacesphericalsurface）。）。包围包围(bowi)(bowi)在球面中的实体称为球在球面中的实体称为球（spheresphere）,这一定点称为球心。这一定点称为球心。第2页/共67页第三页，共68页。过球心与球面(qimin)相交的直线段称为球直径。球心与球面上任意一点(y din)间的距离称为球半径R。R同球的半径和直径(zhjng)相等。同理,半径或直径(zhjng)相等的球全等。第3页/共67页第四页，共68页。二、球面上的圆二、球面上的圆任意任意(r

3、ny)一平面和球面相截一平面和球面相截的截痕是圆。的截痕是圆。平面(pngmin)通过球心时，所截成的圆称为大圆（great circle），它的一段圆周叫大圆弧。平面(pngmin)不通过球心的圆称为小圆（small circle），它的一段圆周叫小圆弧。第4页/共67页第五页，共68页。推理：在同球或等球中，与球心的距离相等的截面所截的圆也相等，与球心的距离不等的两个(lin)截面所截的圆不等，距球心较近的截面所截的圆较大，反之较小。第5页/共67页第六页，共68页。三、大圆的性质1大圆的圆心(yunxn)与球心重合。2 大圆(d yun)的直径等于球直径，半径等于球半径。3大圆(d yu

4、n)等分球面和球体。4同球上的两个大圆(d yun)平面一定相交，交线是它们的直径，并且两大圆(d yun)互相平分。第6页/共67页第七页，共68页。55过球面上不在同一过球面上不在同一(tngy)(tngy)直直径两端上的两个点，能作且仅能径两端上的两个点，能作且仅能作一个大圆，却能作无数个小圆。作一个大圆，却能作无数个小圆。6过在同一直径两端上的两个(lin)点，则能作无数个大圆而不能作小圆。第7页/共67页第八页，共68页。7小于180的大圆弧（劣弧）是球面上两点间的最短球面距离(jl)。因此，两点间的球面距离(jl)应用大圆弧度量。AOCAOB AOC+COD+GOB+AB AC+C

5、D+GBBDG第8页/共67页第九页，共68页。四、轴、极、极距、极线四、轴、极、极距、极线 垂直于任意圆面的球直径称垂直于任意圆面的球直径称为为(chnwi)(chnwi)该圆（大圆或该圆（大圆或小圆）的轴（小圆）的轴（axisaxis）。）。PP 垂直于同一轴可有数个平行圆，其中只有一个通过球心的是大圆(d yun)，其余的都是小圆。轴的两个(lin)端点称为极(pole)，故每个圆均有两个(lin)极。O第9页/共67页第十页，共68页。从极到圆从极到圆(大圆大圆(d(dyun)yun)或小圆或小圆)弧上任弧上任一点沿大圆一点沿大圆(dyun)(dyun)弧的球面距离叫极距弧的球面距离叫

6、极距(polardistance),(polardistance),又叫又叫球面半径。球面半径。abcdPPOABCD 极距为90的大圆弧又称为(chn wi)该极的极线。第10页/共67页第十一页，共68页。球面上一点到某一大圆弧上任意两点间的球面距离都是90，则这一点就是该大圆的极而这个(zhge)大圆则是该点的极线。极线必定是大圆弧。abcdPPOABCD第11页/共67页第十二页，共68页。其交点其交点(jiodin)叫叫球面角的顶点，球面角的顶点，两大圆弧称为球两大圆弧称为球面角的边。面角的边。五、球面角及其度量五、球面角及其度量(dling)PPOABCD 球面球面(qimin)上

7、两大圆弧相交构成的角称为球面上两大圆弧相交构成的角称为球面(qimin)角角(spherical angle)，第12页/共67页第十三页，共68页。球面角的三种(snzhn)度量方法：1切于顶点大圆弧的切线夹角CPD；PPOABDC 2顶点(dngdin)的极线被其两边大圆弧所截的弧长AB；3大圆弧AB 所对的球心(qixn)角AOB。第13页/共67页第十四页，共68页。baoBA六、圆心角相等六、圆心角相等(xingdng)的小圆弧与大的小圆弧与大圆弧之比圆弧之比圆心角相等圆心角相等圆心角相等圆心角相等(xingdng)(xingdng)的小圆弧与大圆弧之比等于的小圆弧与大圆弧之比等于的

8、小圆弧与大圆弧之比等于的小圆弧与大圆弧之比等于COSCOS纬度纬度纬度纬度PPO sinpa=cos（90pa）cosAa cos纬度纬度纬度纬度ab/ao=AB/AO圆心角（弧度）ab/AB ao/AOao/aO sinaOo 圆心角AOBaob第14页/共67页第十五页，共68页。七、两大圆极之间的大圆弧所对的球心(qixn)角等于该两大圆面的两面角。9090BODBODAOBAOB9090BODBODDOEDOEAOBAOB DOEDOE第15页/共67页第十六页，共68页。第二节球面(qimin)三角形一、球面三角形一、球面三角形的定义的定义(dngy)在球面上由三个在球面上由三个大圆

9、弧围成的大圆弧围成的三角形称为球三角形称为球面三角形面三角形（spherical triangle）。）。第16页/共67页第十七页，共68页。球面三角形的三个角和三条边称为(chnwi)球面三角形的六要素。航海上讨论的球面三角形的六要素均大于0，而小于180，又称其为欧拉球面三角形。第17页/共67页第十八页，共68页。二、球面(qimin)三角形分类球面(qimin)三角形分为直角、直边、等腰、等边、初等和任意三角形。1球面(qimin)直角三角形和球面(qimin)直边三角形至少有一个角为90的三角形称为球面(qimin)直角三角形。至少有一个边为90的三角形称为球面(qimin)直边三

10、角形。第18页/共67页第十九页，共68页。22球面等腰三角形和球面等边三角形球面等腰三角形和球面等边三角形有两边有两边(lingbin)(lingbin)或两角相等的三角形称为球面或两角相等的三角形称为球面等腰三角形。等腰三角形。若三边或三角都相等的三角形称为球面等边三角形。若三边或三角都相等的三角形称为球面等边三角形。第19页/共67页第二十页，共68页。3球面初等三角形三个边相对其球半径甚小的三角形称为(chnwi)球面小三角形。只有一个角及其对边相对球半径甚小的三角形称为(chnwi)球面窄三角形。两者统称为(chnwi)球面初等三角形第20页/共67页第二十一页，共68页。4球面任意

11、三角形凡不具备上述特殊(tsh)条件的球面三角形称为球面任意三角形。第21页/共67页第二十二页，共68页。三、球面(qimin)三角形的关系1.全等球面三角形在同球或等球上，边角对应相等，且排列顺序相同的三角形。全等的条件有下列四种情况：（1）二边及其夹角(jijio)对应相等；（2）二角及其夹边对应相等；（3）三边对应相等；（4）三角对应相等。第22页/共67页第二十三页，共68页。2.相似球面三角形在半径(bnjng)不同的球面上，边角度数对应相等的三角形。3.对称球面三角形4.极线球面三角形球面三角形的三个顶点的极线所构成的三角形。内、外第23页/共67页第二十四页，共68页。原三角形

12、与其极线三角形有如下关系：（1）原三角形与其极线三角形的关系是相互的。即：原三角形的顶点是极线三角形对应边的极，极线三角形的顶点是原三角形对应边的极。（证明(zhngmng)）（2）原三角形的边与其极线三角形对应的角互补。原三角形的角与其极线三角形对应的边互补。（证明(zhngmng)）第24页/共67页第二十五页，共68页。四、球面(qimin)三角形的性质1.球面三角形与三面角的关系球面三角形的角是三面角的三个二面角；球面三角形的边与所对应的三面角的面角相等(xingdng)。2.球面三角形的每一边必大于0而小于180，三边之和大于0而小于360。3.球面三角形两边之和大于第三边，两边之差

13、小于第三边。第25页/共67页第二十六页，共68页。4.球面三角形的每一角必大于0而小于180，三角和必大于180而小于540。5.球面三角形三角之和超出180的部分称为球面角盈（或球面剩余），以E表示，即：EAB+C1806.球面三角形两角之和减去第三角小于180。7.球面三角形的外角小于不相邻的两内角的和而大于它们之差。8.同一(tngy)球面三角形中对等边的角相等，对等角的边也相等。9.在任意球面三角形中对大角的边较大，对大边的角也较大。第26页/共67页第二十七页，共68页。总结上述性质，可得一个球面三角形的成立总结上述性质，可得一个球面三角形的成立(chngl)(chngl)条件条件

14、为：为：1.1.当给定了球面三角当给定了球面三角(snjio)(snjio)形的三个边时：形的三个边时：（1 1）任一边应大于）任一边应大于00，小于，小于180180；（2 2）三边之和大于）三边之和大于00，小于，小于360360；（3 3）二边之和大于第三边或二边之差小于第三边。）二边之和大于第三边或二边之差小于第三边。2.2.当给定了球面三角当给定了球面三角(snjio)(snjio)形的三个角时：形的三个角时：（1 1）任一角应大于）任一角应大于00，小于，小于180180；（2 2）三角）三角(snjio)(snjio)之和大于之和大于180180，小于，小于540540；（3 3

15、）二角之和减去第三角）二角之和减去第三角(snjio)(snjio)小于小于180180。3.3.若给定球面三角若给定球面三角(snjio)(snjio)形的两个角及其夹边或两个边及其形的两个角及其夹边或两个边及其夹角，则仅需满足每一个角和每一个边大于夹角，则仅需满足每一个角和每一个边大于00，小于，小于180180的条的条件，球面三角件，球面三角(snjio)(snjio)形都成立。形都成立。4.4.若给定球面三角若给定球面三角(snjio)(snjio)形的两个角及其一个角的对边，或形的两个角及其一个角的对边，或两个边及其一边的对角，则该三角两个边及其一边的对角，则该三角(snjio)(s

16、njio)形是否成立，情况形是否成立，情况比较复杂。比较复杂。第27页/共67页第二十八页，共68页。第三节球面三角形的边角(binjio)函数关系一、任意球面三角形一、任意球面三角形1余弦公式（cosineformula）第28页/共67页第二十九页，共68页。边的余弦公式边的余弦公式bac 记忆口诀：一边(ybin)的余弦等于其它两边余弦的乘积，加上这两边正弦及其夹角余弦的乘积。cos a=cos b cos csin b sin c cosA第29页/共67页第三十页，共68页。角的余弦公式bac 记忆口诀：一角的余弦等于其它(qt)两角余弦的乘积冠以负号加上这两角正弦及其夹边余弦的乘积

17、。cosA-cosBcosCsinBsinCcosa第30页/共67页第三十一页，共68页。2正弦公式(gngsh)（sineformula）记忆口诀：边的正弦与其对角的正弦成比例。Sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC第31页/共67页第三十二页，共68页。3、正余弦公式（五联公式）将cosa=cosbcosc+sinbsinccosA代入cosc=cosacosb+sinasinbcosC中，得cosc=(cosbcosc+sinbsinccosA)cosb+sinasinbcosC展开并整理，可得sinacosC=sinbcosc-cosbsinccosA上式称为边角

18、正余弦公式（或五联公式），表示三个边和两个(lin)角的关系。读成：相邻边角正余弦的乘积等于邻边第三边正余弦之积减去邻边第三边余正弦及其夹角余弦之积。第32页/共67页第三十三页，共68页。通过极线三角形原理，前式可改写为：sinAcosc=sinBcosC+cosBsinCcosa上式称为角边正余弦公式。它表示一个球面三角形三个角和两个(lin)边的关系。可读成：相邻角边正余弦的乘积等于邻角第三角正余弦之积加上邻角第三角余正弦及其夹边余弦之积。正余弦公式一般不用来求解，而是用以导出其它球面三角形公式。第33页/共67页第三十四页，共68页。4 4余切公式（四联公式）余切公式（四联公式）余切公

19、式（四联公式）余切公式（四联公式）根据根据根据根据(gnj)(gnj)角边正余弦公式角边正余弦公式角边正余弦公式角边正余弦公式 sinBcosa=sinCcosA+cosCsinAcosb sinBcosa=sinCcosA+cosCsinAcosb 用用用用sinAsinA除等式两边，得除等式两边，得除等式两边，得除等式两边，得 sinBcosa/sinA=sinCcosA/sinA+cosCsinAcosb/sinA sinBcosa/sinA=sinCcosA/sinA+cosCsinAcosb/sinA sinB/sinA=sinb/sina sinB/sinA=sinb/sina 所

20、以所以所以所以 sinbcosa/sina=sinCcosA/sinA+cosCsinAcosb/sinA sinbcosa/sina=sinCcosA/sinA+cosCsinAcosb/sinA 即即即即 ctgasinb=ctgAsinC+cosCcosb ctgasinb=ctgAsinC+cosCcosb 称为余切公式（或四联公式）称为余切公式（或四联公式）称为余切公式（或四联公式）称为余切公式（或四联公式）第34页/共67页第三十五页，共68页。记忆口诀：外边余切内边正弦(zhngxin)等于外角余切内角正弦(zhngxin)加上内边内角余弦之积。外边(wi bian)内边外角(w

21、i jio)bacACB内角ctgasinb=ctgAsinC+cosbcosC它表示在一个球面三角形中相连起来的两个它表示在一个球面三角形中相连起来的两个它表示在一个球面三角形中相连起来的两个它表示在一个球面三角形中相连起来的两个边和两个角的关系。边和两个角的关系。边和两个角的关系。边和两个角的关系。第35页/共67页第三十六页，共68页。（1）已知两边一夹角(jijio)解球面三角形例1-3-1：在球面三角形中，已知a11831.1，b5020.6，C10040.8求c、A。解:根据(gnj)已知条件写出边的余弦公式,利用计算器解算：cosccosacosbsinaisnbcosC c=1

22、15 28.6外边(wi bian)内边外角bacACB内角ctgasinb=ctgAsinC+cosbcosCctgA=ctgasinbcscC-cosbctgC A=106 58.6第36页/共67页第三十七页，共68页。习题一习题一习题一习题一1.1.1.1.已知赤道上的长度为已知赤道上的长度为已知赤道上的长度为已知赤道上的长度为200200200200海里，与其圆心角相等的海里，与其圆心角相等的海里，与其圆心角相等的海里，与其圆心角相等的45454545纬度等纬纬度等纬纬度等纬纬度等纬圈的弧长等于多少？圈的弧长等于多少？圈的弧长等于多少？圈的弧长等于多少？2.2.2.2.设某船从赤道上

23、某点起航设某船从赤道上某点起航设某船从赤道上某点起航设某船从赤道上某点起航,沿赤道向东航行沿赤道向东航行沿赤道向东航行沿赤道向东航行60606060赤道里（赤道里（赤道里（赤道里（1 1 1 1赤道赤道赤道赤道里赤道上里赤道上里赤道上里赤道上1 1 1 1分经度的弧长）后转向分经度的弧长）后转向分经度的弧长）后转向分经度的弧长）后转向(zhunxing)(zhunxing)(zhunxing)(zhunxing)沿子午线向北沿子午线向北沿子午线向北沿子午线向北航行航行航行航行3600360036003600海里（等于纬度海里（等于纬度海里（等于纬度海里（等于纬度60606060）,再转向再转向

24、再转向再转向(zhunxing)(zhunxing)(zhunxing)(zhunxing)沿等纬圈沿等纬圈沿等纬圈沿等纬圈向西航行向西航行向西航行向西航行60606060赤道里后转向赤道里后转向赤道里后转向赤道里后转向(zhunxing)(zhunxing)(zhunxing)(zhunxing)沿子午线向南航行沿子午线向南航行沿子午线向南航行沿子午线向南航行3600360036003600海里（等于纬度海里（等于纬度海里（等于纬度海里（等于纬度60606060），求船舶最后到达的纬度？起航点与到，求船舶最后到达的纬度？起航点与到，求船舶最后到达的纬度？起航点与到，求船舶最后到达的纬度？起航

25、点与到达点相距多少赤道里？达点相距多少赤道里？达点相距多少赤道里？达点相距多少赤道里？第37页/共67页第三十八页，共68页。3.3.已知球面已知球面(qimin)(qimin)三角形三角形a a 12012012.12.33，c c10010053.53.4 4，B B 606032.32.6 6，求求b b？，？，C C？4.4.已知球面已知球面(qimin)(qimin)三角形三角形bb 717142.42.6 6，c c10110121.21.5 5，A A 959512.12.6 6，求求a a？，？，B B？第38页/共67页第三十九页，共68页。二、其它球面任意二、其它球面任意(

26、rny)(rny)三角形公式三角形公式1 1、纳比尔相似式、纳比尔相似式第39页/共67页第四十页，共68页。若已知两边及其夹角求另外若已知两边及其夹角求另外(ln wi)两个两个角或已知两角及其夹边求另外角或已知两角及其夹边求另外(ln wi)两个边两个边时，可利用上面四个公式。时，可利用上面四个公式。求地球上两点的子午线收敛差就需要用到纳求地球上两点的子午线收敛差就需要用到纳比尔相似式。比尔相似式。第40页/共67页第四十一页，共68页。子午线收敛差是指船舶沿着大圆弧子午线收敛差是指船舶沿着大圆弧子午线收敛差是指船舶沿着大圆弧子午线收敛差是指船舶沿着大圆弧航行时，在起航点时的航向航行时，在

27、起航点时的航向航行时，在起航点时的航向航行时，在起航点时的航向(hngxing)(hngxing)为为为为A1A1，沿着大圆弧航行到，沿着大圆弧航行到，沿着大圆弧航行到，沿着大圆弧航行到B B点时则其航向点时则其航向点时则其航向点时则其航向(hngxing)(hngxing)为为为为A2A2，航向，航向，航向，航向(hngxing)(hngxing)变变变变动量动量动量动量（A2A2A1A1）就是）就是）就是）就是A A、B B两点的子两点的子两点的子两点的子午线收敛差。子午线收敛差产生的原因是午线收敛差。子午线收敛差产生的原因是午线收敛差。子午线收敛差产生的原因是午线收敛差。子午线收敛差产生

28、的原因是因地面上各点的子午线相交于极点所致。因地面上各点的子午线相交于极点所致。因地面上各点的子午线相交于极点所致。因地面上各点的子午线相交于极点所致。第41页/共67页第四十二页，共68页。2 2、半角公式、半角公式(gngsh)(gngsh)式中上式为半角正弦(zhngxin)公式第42页/共67页第四十三页，共68页。半角余弦公式(gngsh)、正切公式(gngsh)如下：第43页/共67页第四十四页，共68页。三、球面(qimin)直角三角形1、球面直角三角形定义2、球面直角三角形公式(gngsh)设在球面三角形ABC中，C90，则sinC1，cosC0。将这样的关系代入球面任意三角形

29、基本公式(gngsh)（正弦公式(gngsh)、余弦公式(gngsh)、四联公式(gngsh)），可导出10个球面直角三角形基本公式(gngsh)：sinasinAsinc第44页/共67页第四十五页，共68页。3、球面(qimin)直角三角形公式的记忆法则bacC ABb a 90A90B 90c C90纳比尔法则（又称纳比尔法则（又称 大字大字(d z)法则）：法则）：任一要素的正弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相对任一要素的正弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相对二要素余弦的乘积。二要素余弦的乘积。第45页/共67页第四十六页，共68页。4 4、球面、球面(qimin)(qimin)直

30、角三角形解法直角三角形解法球面球面(qimin)(qimin)直角三角形的特有性质直角三角形的特有性质边角性质证明公式若直角边（a，b）在同一象限则斜边（c）小于90，若两直角边不在同一象限则斜边大于90Cosc=cosacosb若斜边两邻角（A，B）在同一象限则斜边（c）小于90，若斜边两邻角不在同一象限则斜边大于90Cosc=ctgActgB直角边与其对角（a和A或b和B）在同一象限CosA=sinBcosaCosB=sinAcosb第46页/共67页第四十七页，共68页。球面直角三角形解的判定(pndng)（1）当所求未知要素的函数是余弦、正切和余切时，可直接根据三角函数值的正或负决定所

31、求未知要素是大于还是小于90。（2）当所求未知要素的函数是正弦时，可能只有一解，也可能有两解，所以必须选择适合于问题的解。选择解的原则可根据球面直角三角形的特有性质来判定(pndng)。第47页/共67页第四十八页，共68页。四、球面(qimin)直边三角形1、球面(qimin)直边三角形定义2、球面(qimin)直边三角形公式设在球面(qimin)三角形ABC中，c90，则sinc1，cosc0。将这样的关系代入球面(qimin)任意三角形基本公式（正弦公式、余弦公式、四联公式），可导出10个球面(qimin)直边三角形基本公式：sinAsinasinC第48页/共67页第四十九页，共68页

32、。3、球面(qimin)直边三角形公式的记忆法则BA90a90b90Cc90bacCAB纳比尔法则（又称纳比尔法则（又称 大字法则）：大字法则）：任一要素的正弦，等于相邻任一要素的正弦，等于相邻(xin ln)二要素正切的二要素正切的乘积或等于相对二要素余弦的乘积，若等式右边为相乘积或等于相对二要素余弦的乘积，若等式右边为相同要素（均为边或均为角）时冠以负号。同要素（均为边或均为角）时冠以负号。第49页/共67页第五十页，共68页。l4、球面直边三角形解法(ji f)l球面直边三角形的特有性质边角性质证明公式若直边的两个邻角（A，B）在同一象限则直边的对角（C）大于90，若直边的两个邻角不在同

33、一象限则直边的对角小于90CosC=cosAcosB若其它两边（a,b）在同一象限则直边的对角（C）大于90，若其它两边不在同一象限则直边的对角小于90CosC=ctgactgb直边的邻角（A或B）与它的对边（a或b）必在同一象限Cosa=sinbcosACosb=sinacosB第50页/共67页第五十一页，共68页。球面直边三角形解的判定（1）当所求未知要素的函数是余弦、正切(zhngqi)和余切时，可直接根据三角函数值的正或负决定所求未知要素是大于还是小于90。（2）当所求未知要素的函数是正弦时，可能只有一解，也可能有两解，所以必须选择适合于问题的解。选择解的原则可根据球面直边三角形的特

34、有性质来判定。第51页/共67页第五十二页，共68页。五、球面(qimin)初等三角形（一）、球面小三角形（一）、球面小三角形虽然三个边甚小，但三个角不会很小，其和虽然三个边甚小，但三个角不会很小，其和接近接近180180，且大于，且大于180180。如果不要求过高的精度，在误差的允许范围如果不要求过高的精度，在误差的允许范围内，球面小三角形可视为平面内，球面小三角形可视为平面(pngmin)(pngmin)三三角形而进行近似计算。角形而进行近似计算。在球面几何中已知，一个球面三角形三角之在球面几何中已知，一个球面三角形三角之和大于和大于180180而小于而小于540540。平面。平面(png

35、min)(pngmin)三三角形三角之和等于角形三角之和等于180180。它们之间的差值。它们之间的差值（A+B+CA+B+C180180）称为球面角盈）称为球面角盈E E。第52页/共67页第五十三页，共68页。式中：S球面三角形的面积；a、b、c分别为三边的边长；R球半径。根据上式，当地(dngd)面上的球面小三角形各边长均为15海里时，球面角盈近似为2；当各边长均为60海里时，球面角盈近似为27。航海上，在视野范围内观测路标定位时，完全可将球面三角形视为平面三角形来对待。在精度要求较高的大地测量等专业中，忽视球面角盈是不许可的。第53页/共67页第五十四页，共68页。（二）、球面窄三角形

36、ABC为球面窄三角形，其a边、A角甚小，显然，该三角形中，bcBCe（Ce表示C的外角）CBe（Be表示B的外角）所以可以(ky)用较简单的近似公式解球面窄三角形。A BC c b a第54页/共67页第五十五页，共68页。1、求角A的第一近似(jns)公式2、求b的第一近似公式直接求b是困难的，只能先求（cb），然后(rnhu)换算出b。第55页/共67页第五十六页，共68页。3、求角A的第二近似公式(gngsh)第一近似值往往不能满足要求，所以需要求第二近似值。4、求边b的第二(d r)近似公式第56页/共67页第五十七页，共68页。5 5、球面窄三角形在航海上的应用、球面窄三角形在航海上

37、的应用、球面窄三角形在航海上的应用、球面窄三角形在航海上的应用在天文上，观测北极星高度求测者纬度改在天文上，观测北极星高度求测者纬度改在天文上，观测北极星高度求测者纬度改在天文上，观测北极星高度求测者纬度改正量和观测北极星方位求罗经差时，正量和观测北极星方位求罗经差时，正量和观测北极星方位求罗经差时，正量和观测北极星方位求罗经差时，就需要用到球面窄三角形公式。就需要用到球面窄三角形公式。就需要用到球面窄三角形公式。就需要用到球面窄三角形公式。在研究球面三角形误差在研究球面三角形误差在研究球面三角形误差在研究球面三角形误差(wch)(wch)时，也要时，也要时，也要时，也要用到球面窄三角形的近似

38、公式。用到球面窄三角形的近似公式。用到球面窄三角形的近似公式。用到球面窄三角形的近似公式。第57页/共67页第五十八页，共68页。六、球面(qimin)三角形的解法1 1、已知两角夹边解该三角形、已知两角夹边解该三角形、已知两角夹边解该三角形、已知两角夹边解该三角形例题例题例题例题(lt)(lt)：在球面三角形中，在球面三角形中，在球面三角形中，在球面三角形中，已知已知已知已知 a a5044.05044.0，B B 6912.0 6912.0，C C115 55.4115 55.4，求求求求 c c。应用四联公式：边的外余切内正弦等于角的外余应用四联公式：边的外余切内正弦等于角的外余应用四联

39、公式：边的外余切内正弦等于角的外余应用四联公式：边的外余切内正弦等于角的外余切内正弦加上双内余弦之积切内正弦加上双内余弦之积切内正弦加上双内余弦之积切内正弦加上双内余弦之积ctgcsina=ctgCsinB+cosacosbctgcsina=ctgCsinB+cosacosb第58页/共67页第五十九页，共68页。2 2、已知两边及其一对、已知两边及其一对、已知两边及其一对、已知两边及其一对(y du)(y du)角解该三角形角解该三角形角解该三角形角解该三角形例题：在球面三角形中，例题：在球面三角形中，例题：在球面三角形中，例题：在球面三角形中，已知已知已知已知 a a8080，b b 60

40、 60，A A40 40，求求求求 B B。应用正弦公式应用正弦公式应用正弦公式应用正弦公式第59页/共67页第六十页，共68页。3、已知三边解该三角形、已知三边解该三角形例题例题(lt)：在球面三角形中，：在球面三角形中，已知已知 a11240，b 5827，c122 27 ，求求 A。应用边的余弦公式应用边的余弦公式第60页/共67页第六十一页，共68页。航海(hnghi)实际应用求大圆求大圆求大圆求大圆(d yun)(d yun)航向和航程公式：航向和航程公式：航向和航程公式：航向和航程公式：(如图所示）如图所示）如图所示）如图所示）第61页/共67页第六十二页，共68页。注意事项 起始

41、点纬度，无论南或北，一律取正值；到达点纬度，与起始点纬度起始点纬度，无论南或北，一律取正值；到达点纬度，与起始点纬度起始点纬度，无论南或北，一律取正值；到达点纬度，与起始点纬度起始点纬度，无论南或北，一律取正值；到达点纬度，与起始点纬度同名时取正值，与起航点纬度异名时取负值同名时取正值，与起航点纬度异名时取负值同名时取正值，与起航点纬度异名时取负值同名时取正值，与起航点纬度异名时取负值(f zh)(f zh)；经差无论东或西，一律取正值；经差无论东或西，一律取正值；经差无论东或西，一律取正值；经差无论东或西，一律取正值；若按上述取值解算的若按上述取值解算的若按上述取值解算的若按上述取值解算的c

42、osScosS为正值，则航程为正值，则航程为正值，则航程为正值，则航程S S为小于为小于为小于为小于5400n 5400n milemile（90o90o）的值；若）的值；若）的值；若）的值；若cosScosS为负值为负值为负值为负值(f zh)(f zh)，则航程，则航程，则航程，则航程S S为大于为大于为大于为大于5400n 5400n milemile（900900）的值。）的值。）的值。）的值。第62页/共67页第六十三页，共68页。按按上上述述取取值值求求取取始始航航向向时时，求求得得的的航航向向为为用用半半圆圆周周(yunzhu)(yunzhu)法法表表示示的的值值（0o0o180

43、o180o），其其命命名名的的第第一一个个字字母母与与起起点点纬纬度度同同名名，第第二二个个字字母母与与经经差差同同名名。如如果果求求得得的的函函数数值值为为负负，则则求求出出的的CICI为为负负值值，应应加加上上180o180o后后再再命命名名，将将用用半半圆圆周周(yunzhu)(yunzhu)法法表表示示的的航航向向换换算算为为用用圆周圆周(yunzhu)(yunzhu)法表示即可。法表示即可。第63页/共67页第六十四页，共68页。拟由拟由拟由拟由 32o02.0S,115o10.0E 32o02.0S,115o10.0E到到到到 06o39.0N,79o30.0E 06o39.0N,

44、79o30.0E驶大圆驶大圆驶大圆驶大圆(d yun)(d yun)航线，求航线，求航线，求航线，求大圆大圆大圆大圆(d yun)(d yun)始航向和大圆始航向和大圆始航向和大圆始航向和大圆(d yun)(d yun)航程。航程。航程。航程。第64页/共67页第六十五页，共68页。某轮由某轮由某轮由某轮由 13o24.6 13o24.6 13o24.6 13o24.6,1,1,1,1o o o o.E E E E航行航行航行航行(hngxng)(hngxng)(hngxng)(hngxng)到到到到 6o6o6o6o.N,N,N,N,o3o3o3o3.E E E E驶大圆航线，求大圆航程、大

45、圆始驶大圆航线，求大圆航程、大圆始驶大圆航线，求大圆航程、大圆始驶大圆航线，求大圆航程、大圆始航向和到达航向。航向和到达航向。航向和到达航向。航向和到达航向。第65页/共67页第六十六页，共68页。求大圆求大圆求大圆求大圆(d yun)(d yun)航线顶点坐标航线顶点坐标航线顶点坐标航线顶点坐标大大大大圆圆圆圆航航航航线线线线顶顶顶顶点点点点（vertexvertex）是是是是大大大大圆圆圆圆航航航航线线线线上上上上纬纬纬纬度度度度达达达达到到到到的的的的最最最最 高高高高 点点点点，在在在在 该该该该 点点点点，大大大大 圆圆圆圆 弧弧弧弧 与与与与 子子子子 午午午午 线线线线 相相相相 交交交交(xingjio)(xingjio)成成成成直直直直角角角角,大大大大圆圆圆圆航航航航向向向向为为为为090o090o或或或或270o270o。顶点坐标可按以下公式求取：顶点坐标可按以下公式求取：顶点坐标可按以下公式求取：顶点坐标可按以下公式求取：第66页/共67页第六十七页，共68页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第67页/共67页第六十八页，共68页。