理论力学质点动力学教学详解学习教案.pptx

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1、会计学1理论力学理论力学(l xu)质点动力学质点动力学(l xu)教学教学详解详解第一页，共55页。动力学的任务动力学的任务(rn wu)动力学的任务：研究作用于物体的力和物体运动之间的一般动力学的任务：研究作用于物体的力和物体运动之间的一般(ybn)(ybn)关系关系.动力学的分类动力学的分类(fnli)(fnli)质点动力学质点动力学质点系动力学质点系动力学动力学动力学质点系质点系-一群具有某种联系的质点称为质点系一群具有某种联系的质点称为质点系,刚体可以看成刚体可以看成不变形的质点系。不变形的质点系。质点质点-是指具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。是指具有一定质量但可以忽略其尺寸

2、大小的物体。第1页/共55页第二页，共55页。质点质点(zhdin)动力学基础动力学基础n n质点运动微分方程n n质点动力学的基本(jbn)问题n n质点的相对运动微分方程第2页/共55页第三页，共55页。动力学的基本定律动力学的基本定律n n惯性定律质点如不受力作用惯性定律质点如不受力作用,则保持其运动状态不变则保持其运动状态不变,即作直线即作直线(zhxin)(zhxin)匀速运动或者静止。匀速运动或者静止。n n力与加速度关系定律质点因受力作用而产生的加速度力与加速度关系定律质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同其方向与力相同,其大小与力成正比而与质量成反比。其大小与力成正比而与

3、质量成反比。n n作用力与反作用力定律任何两个质点相互作用的力作用力与反作用力定律任何两个质点相互作用的力,总是大小相等总是大小相等 方方向相反向相反,沿同一直线沿同一直线(zhxin)(zhxin)同时并分别作用在这两个质点上。同时并分别作用在这两个质点上。第3页/共55页第四页，共55页。动力学的基本定律动力学的基本定律n n力的独立作用定律几个力同时(tngsh)作用于一个质点时所引起的加速度,等于每个力单独作用于这个质点时所引起的那些加速度的矢量和。第4页/共55页第五页，共55页。质点质点(zhdin)运动微分运动微分方程方程第5页/共55页第六页，共55页。质点质点(zhdin)动

4、力学基本方程动力学基本方程以 m 代表质点的质量,以 F 代表该质点所受的力,a 代表它在 F 作用下获得的加速度,则第二定律可以表示成ma=F即,质点的质量与加速度的乘积,按大小与方向(fngxing),等于所受的力。上式称为质点动力学基本方程。第6页/共55页第七页，共55页。设有可以自由运动设有可以自由运动(yndng)质点质点 M，质量是，质量是 m，作用力的合力是，作用力的合力是 F，加，加速度是速度是 a。这就是这就是(jish)质点的运动微分方程的矢量形质点的运动微分方程的矢量形式式矢量矢量(shling)形式形式x xy yz zr rMMF Fa aO第7页/共55页第八页，

5、共55页。把上式投影到固定把上式投影到固定(gdng)直角坐标系直角坐标系 Oxyz 的各轴的各轴,得得 Fx,Fy,Fz 是作用力是作用力 F 的合力法各轴上的投影的合力法各轴上的投影.上式是质点上式是质点运动微分方程的直角坐标运动微分方程的直角坐标(zh jio zu bio)形式形式.直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)形式形式x xy yz zr rMMF Fa aO第8页/共55页第九页，共55页。如采用自然如采用自然(zrn)轴系轴系 Mnb,并并把上式向各轴投影把上式向各轴投影,可得可得式中式中是加速度是加速度 a 在切线在切线(qixin),主法线和副法线正向的投影主

6、法线和副法线正向的投影;F,Fn 和和 Fb 是合力是合力 F 在相应轴上的投影在相应轴上的投影.上式式就是质点运动微分方程的上式式就是质点运动微分方程的自然形式自然形式.x xy yz zr rMMF Fa aO On n b b自然自然(zrn)形式形式第9页/共55页第十页，共55页。质点动力学的基本质点动力学的基本(jbn)问题问题第10页/共55页第十一页，共55页。由由微微分分方方程程可可以以(ky)(ky)解解决决自自由由质质点点动动力力学学的的两两类类问问题题.第第一一类类问问题题:已已知知运运动动,求求力力;第二类问题第二类问题:已知力已知力,求运动求运动.解解决决第第一一类

7、类问问题题(wnt),只只需需根根据据质质点点的的已已知知运运动动规规律律 r =r (t),通通过过导导数数运运算算,求求出出加加速速度度,代代入入左边各式，即得作用力左边各式，即得作用力 F.求解求解(qi ji)第二类问题第二类问题,是积分过程是积分过程.必须注意必须注意,在求解第二类问题时在求解第二类问题时,方方程的积分中要出现积分常数程的积分中要出现积分常数,为了为了完全确定质点的运动完全确定质点的运动,必须根据必须根据运动的初始条件定出这些积分运动的初始条件定出这些积分常数常数.mm a a=F F质点动力学基本问题质点动力学基本问题第11页/共55页第十二页，共55页。解题解题(

8、ji t)步骤步骤根据题意适当选取某质点或物体作为研究对象。根据题意适当选取某质点或物体作为研究对象。根据运动特点选取坐标系。若需要根据运动特点选取坐标系。若需要(xyo)(xyo)建立运建立运动微分方程，应将质点放在一般位置进行分析，分动微分方程，应将质点放在一般位置进行分析，分析个运动量之间的关系。析个运动量之间的关系。受力分析，画受力图。受力分析，画受力图。建立动力学方程组并求解。建立动力学方程组并求解。第12页/共55页第十三页，共55页。设电梯设电梯(dint)以不变的加速度以不变的加速度a 上升上升,求放在电梯求放在电梯(dint)地板上重地板上重G 的物块的物块M 对地板的压力。

9、对地板的压力。解解:将物体将物体 M 看称自由质点看称自由质点(zhdin),它受重力它受重力 G 和地板反力和地板反力 N 的作用。的作用。ma ma=N N G G注意注意(zh y)到到 m=G/g,则由上式解得则由上式解得MMNaGx例题例题1第13页/共55页第十四页，共55页。MMNaGx上式第一上式第一(dy)部分称为静压力，第二部分称为静压力，第二部分称为附加动压力，部分称为附加动压力，N称为动压力。称为动压力。令令则则n1,动压力(yl)大于静力，这种现象称为超重。n1,动压力小于静力，这种现象称为(chn wi)失重。例题例题1第14页/共55页第十五页，共55页。磅秤指针

10、磅秤指针(zhzhn)如何变化如何变化？思考思考(sko)第15页/共55页第十六页，共55页。磅秤指针磅秤指针(zhzhn)如如何变化何变化？思考思考(sko)第16页/共55页第十七页，共55页。单摆单摆 M 的摆锤重的摆锤重 G,绳长绳长 l,悬于固定点悬于固定点 O,绳的质量不计绳的质量不计.设开始设开始(kish)时绳与铅垂线成偏角时绳与铅垂线成偏角 0 /2,并被无初速释放并被无初速释放.求绳中求绳中拉力的最大值拉力的最大值.例题例题(lt)2第17页/共55页第十八页，共55页。解解:任意任意(rny)(rny)瞬时瞬时,质点的加速度在切向和法质点的加速度在切向和法向的投影为向的

11、投影为写出质点写出质点(zhdin)(zhdin)的自然形式的运动微分方的自然形式的运动微分方程程OOMMMM0 0 0 0OOMMMM0 0 0 0N NGGanat例题例题(lt)2第18页/共55页第十九页，共55页。考虑考虑考虑考虑(kol)(kol)到到到到则式则式(1)化成化成(hu chn)对上式采用对上式采用(ciyng)(ciyng)定积分定积分,把初条件作为积分把初条件作为积分下限下限从而得从而得把式把式(4)代入式代入式(2),有有N N=GG(3cos(3cos 2cos 2cos 0 0)显然显然,当质点当质点 M 到达最低位置到达最低位置=0时时,有最大值有最大值.

12、故故 N Nmaxmax=GG(3(3 2cos 2cos 0 0)OOMMMM0 0 0 0N NGGa an na at t例题例题2第19页/共55页第二十页，共55页。粉粉碎碎机机滚滚筒筒半半径径为为R，绕绕通通过过(tnggu)中中心心的的水水平平匀匀速速转转动动，筒筒内内铁铁球球由由筒筒壁壁上上的的凸凸棱棱带带着着上上升升。为为了了使使铁铁球球获获得得粉粉碎碎矿矿石石的的能能量量，铁铁球球应应在在=0 时时（如如图图）才才掉掉下下来来。求求滚滚筒筒每每分分钟钟的的转数转数n。0 0n n例题例题(lt)3第20页/共55页第二十一页，共55页。视铁球为质点视铁球为质点(zhdin)

13、。铁球被旋转。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧上向运动，当铁球到的滚筒带着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。下落。质质点点在在上上升升(shngshng)过过程程中中，受受到到重重力力mg、筒筒壁壁的的法法向向反反力力FN和和切切向向反力反力F的作用。的作用。mmg gF FN NF F解解：列出质点的运动微分方程列出质点的运动微分方程列出质点的运动微分方程列出质点的运动微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)在主在主在主在主法线上的投影式法线上的投影式法线上的投影式法线上的投影式 质点在未离开筒壁前的速度等于筒

14、壁的速度。质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。即即 n n例题例题3第21页/共55页第二十二页，共55页。于是于是(ysh)(ysh)解得解得 当当=0时，铁球将落下时，铁球将落下(lu xi)，这时，这时FN=0，于是得，于是得 显然，显然，越小，要求越小，要求n 越大。当越大。当 时，时，铁球就会紧贴筒壁转，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。碎矿石的作用。mmg gF FN NF F例题例题(lt)3第22页/共55页第二十三页，共55页。质质量量是是 m 的的物物体体 M 在在均均匀匀重重力力场场中中沿沿铅铅直直线线

15、由由静静止止下下落落,受受到到空空气气阻阻力力的的作作用用.假假定定阻阻力力 R 与与速速度度平平方方成成比比例例,即即 R=v2,阻阻力力系系数数 单单位位取取 kg/m,数数值值由由试试验验测测定定.试试求求物物体体的的运运动动(yndng)规规律律.解解:取坐标轴取坐标轴 Ox 铅直向下铅直向下,原点在物体原点在物体(wt)的初始位置的初始位置.写出物体写出物体(wt)M 的运动微分方程的运动微分方程加速度为零时加速度为零时(ln sh)以以 m 除式除式(1)两端两端,并代入并代入 u 的值的值,得得xxR RGGv v例题例题4第23页/共55页第二十四页，共55页。分离分离(fnl

16、)(fnl)变量变量,并取定积分并取定积分,有有 由上式求解由上式求解(qiji)v,(qiji)v,得得于是物体速度随时间而变化于是物体速度随时间而变化(binhu)的规的规律为律为th 是双曲正切是双曲正切例题例题4第24页/共55页第二十五页，共55页。于是于是(ysh)求得物体的运动方程为求得物体的运动方程为为了求出物体的运动为了求出物体的运动(yndng)(yndng)规律规律,只需把只需把(3)(3)再积分一次再积分一次,有有例题例题(lt)4第25页/共55页第二十六页，共55页。弹簧质量系统，物块的质量为弹簧质量系统，物块的质量为m,弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为k,物块自平

17、物块自平衡位置的初始速度衡位置的初始速度(sd)为为v0。求物块的运动方程。求物块的运动方程。l l0 0mmk kv v0 0例题例题(lt)5第26页/共55页第二十七页，共55页。解：这是已知力解：这是已知力(弹簧力弹簧力)求运动规律，故为第二类动力求运动规律，故为第二类动力(dngl)学问题。学问题。以弹簧以弹簧(tnhung)未变形时的平衡位置为原点建立未变形时的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将坐标系，将物块置于任意位置物块置于任意位置 x 0 处。物块在处。物块在 x 方向只受有弹簧方向只受有弹簧(tnhung)力力Fk x i。根据直角坐标系中的质点运动微分方程。根据直角坐标系中

18、的质点运动微分方程x xx xOOmmk kF Fl l0 0mm例题例题(lt)5第27页/共55页第二十八页，共55页。x xx xOOmmk kF Fl l0 0mm例题例题(lt)5第28页/共55页第二十九页，共55页。l l0 0mmk kv v0 0弹簧质量系统，物块的质量为弹簧质量系统，物块的质量为m,弹簧的刚度弹簧的刚度(n d)系数为系数为k,物块自平衡位置的初始速度为物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运。求物块的运动方程。动方程。例题例题(lt)6第29页/共55页第三十页，共55页。解：这是已知力解：这是已知力(弹簧力弹簧力)求运动规律求运动规律(gul)(gul

19、)，故为第二类动力学问题。故为第二类动力学问题。以弹簧在静载以弹簧在静载mg作用下变形作用下变形(bin xng)后的平衡后的平衡位置为原点建立位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于坐标系，将物块置于任意位置任意位置 x 0 处。处。x xmmk kx xOOl l0 0ststF FWW 物块在物块在物块在物块在 x x 方向只受有弹簧力方向只受有弹簧力方向只受有弹簧力方向只受有弹簧力F Fk x i k x i 和重力和重力和重力和重力WWmgimgi。根据直角坐标系中的质。根据直角坐标系中的质。根据直角坐标系中的质。根据直角坐标系中的质点运动点运动点运动点运动(yndng)(yndng)微

20、分方程：微分方程：微分方程：微分方程：例题例题6第30页/共55页第三十一页，共55页。0 00,0,;0 00 0v vx xt tx xt t=&,0 0,)sin(sin(t tA Ax x+=x xmmk kx xOOl l0 0ststF FWW例题例题(lt)6第31页/共55页第三十二页，共55页。l l0 0mmk kv v0 0l l0 0 x xx xOOmmk kv v0 01、重力、重力mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律只改变了系统的平衡位置，对运动规律(gul)并无影响。并无影响。2、物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同，对运动微分方程、物块垂直悬挂时，坐标原点选择不

21、同，对运动微分方程的影响，这一问题请同学的影响，这一问题请同学(tng xu)们自己研究。们自己研究。计算结果分析计算结果分析(fnx)第32页/共55页第三十三页，共55页。非惯性参考系中的质点动力非惯性参考系中的质点动力学基本学基本(jbn)方程方程第33页/共55页第三十四页，共55页。设已知坐标系设已知坐标系 O1x1y1z1 O1x1y1z1 对于对于(duy)(duy)基础坐标系基础坐标系 Oxyz Oxyz 进进行着某种运动。行着某种运动。以以 F F 和和 N N 代表作用于质点代表作用于质点(zhdin)M(zhdin)M 的主动力和约的主动力和约束力束力 对于对于(duy)

22、(duy)基础坐标系基础坐标系 Oxyz Oxyz，有，有m m a aa a=F F+N N 由运动学知，绝对加速度由运动学知，绝对加速度 a aa a 等于牵连加等于牵连加速度速度 a ae e ，相对加速度，相对加速度 a ar r 和科氏加速度和科氏加速度 a aC C 三者的矢量和。即三者的矢量和。即a aa a=a ae e+a ar r+a aC CMarxyzOy1z1O1aeaaakvrx1质点的相对运动微分方程质点的相对运动微分方程第34页/共55页第三十五页，共55页。则则mar=F+N+FIe+FIC 这就是质点的相对运动微分方程这就是质点的相对运动微分方程(fngch

23、ng)(fngchng)，又，又叫质点相对运动的动力学基本方程叫质点相对运动的动力学基本方程(fngchng)(fngchng)。FIeFIe和和 FIC FIC 分别称为质点的牵连惯性力和科氏惯性力，分别称为质点的牵连惯性力和科氏惯性力，通称为欧拉惯性力。通称为欧拉惯性力。得得m(ae+ar+aC)=F+N令令FIe=mae,FIC=maCa aa a=a ae e+a ar r+a aC C质点的相对运动质点的相对运动(xin du yn dn)微分方程微分方程MarxyzOy1z1O1aeaaakvrx1第35页/共55页第三十六页，共55页。这时质点的相对加速度就等于对基础这时质点的相

24、对加速度就等于对基础(jch)坐标系坐标系的绝对加速度的绝对加速度.1.相对相对(xingdu)于平动坐标系的运动于平动坐标系的运动mma ar r=F F+N N+F FIeIe2.相对相对(xingdu)于惯性坐标系的运于惯性坐标系的运动动 mma ar r=F F+N N 设动坐标系设动坐标系 O O1 1x x1 1y y1 1z z1 1 本身在基础坐标系中作平动。在此情况下，本身在基础坐标系中作平动。在此情况下，没有科氏加速度和对应的科氏惯性力，故没有科氏加速度和对应的科氏惯性力，故 设动坐标系设动坐标系 O O1 1x x1 1y y1 1z z1 1 本身对于基础坐标系本身对于

25、基础坐标系 Oxyz Oxyz 作匀速直线作匀速直线运动。牵连加速度、科氏加速度都等于零，故运动。牵连加速度、科氏加速度都等于零，故讨论几种特殊情形讨论几种特殊情形第36页/共55页第三十七页，共55页。质点质点(zhdin)在动坐标系中相对平衡，在动坐标系中相对平衡，ar=0，有，有F+N+FIe+FIC=0 即，当质点处于相对平衡(匀速直线运动)时，作用(zuyng)在质点的主动力，约束力和牵连惯性力、科氏惯性力组成平衡力系。质点在动坐标系中相对质点在动坐标系中相对(xingdu)静止，静止，vr=0，ar=0，则科氏，则科氏加速度加速度aC=0，科氏惯性力，科氏惯性力 FIC也等于零。有

26、也等于零。有F+N+FIe=0 即，即，当质点处于相对静止时，作用在质点的主当质点处于相对静止时，作用在质点的主动力，约束力和牵连惯性力组成平衡力系。动力，约束力和牵连惯性力组成平衡力系。3.相对平衡和相对静止相对平衡和相对静止讨论几种特殊情形讨论几种特殊情形第37页/共55页第三十八页，共55页。设车厢以匀加速度 a 沿水平(shupng)直线轨道由静止开始向右行驶。求当车刚开时，由车厢棚顶 M0 处自由落下的质点 M 的相对运动。例题例题(lt)7第38页/共55页第三十九页，共55页。解解:取动坐标系 O1x1y1z1 固连车厢(chxing)。因为动坐标系作直线(zhxin)平动,有

27、mar=G+FIe (1)FIe=mae,方向(fngxing)与车厢加速度 a 相反 把式(1)向动坐标系各轴上投影,得相对运动微分方程即例题例题7第39页/共55页第四十页，共55页。当t=0 时,把式(2)积分，并利用初始条件(3)确定(qudng)积分变量，求得质点得相对运动规律为消去时间t后，得到相对(xingdu)轨迹方程这表示轨迹是一条向后方偏斜(pin xi)的直线。根据所选坐标系，质点运动的初始条件写成例题例题7第40页/共55页第四十一页，共55页。装在圆盘上的胶带装在圆盘上的胶带(jiodi)的变形的变形分析分析工程工程(gngchng)实例实例第41页/共55页第四十二

28、页，共55页。在北半球的南北向河流在北半球的南北向河流(hli)冲刷河岸分冲刷河岸分析析工程工程(gngchng)实例实例第42页/共55页第四十三页，共55页。在北半球的南北向河流冲刷河岸在北半球的南北向河流冲刷河岸(h n)分析分析工程工程(gngchng)实例实例第43页/共55页第四十四页，共55页。北半球向东发射北半球向东发射(fsh)炮弹偏右现炮弹偏右现象象工程工程(gngchng)实例实例第44页/共55页第四十五页，共55页。工程工程(gngchng)实例实例第45页/共55页第四十六页，共55页。工程工程(gngchng)实例实例第46页/共55页第四十七页，共55页。工程工

29、程(gngchng)实例实例第47页/共55页第四十八页，共55页。细管 AB 以匀角速度 绕铅直(qinzh)轴 O1z1 转动,管内放一质量是 m 的光滑小球 M.欲使小球在管内任何位置处于相对静止,或沿管作匀速相对运动,则细管应在铅直(qinzh)平面 O1y1z1 内弯成何种曲线?小球相对小球相对(xingdu)静止静止小球小球(xio qi)作匀速相作匀速相对运动对运动例题例题8第48页/共55页第四十九页，共55页。解解:设细管(xun)弯成图示形状.实际作用于小球的力有重力G和管壁的法向反力N.此外,当研究(ynji)小球M相对与转动坐标系O1y1z1的运动时,还要加入小球的牵连

30、惯性力和科氏惯性力.小球牵连(qinlin)惯性力 FIe的大小等于 FIe=m 2|y1|,其方向水平而背离铅直转轴 O1z1。科氏惯性力 FIC 方向垂直于相对速度 vr 和转轴 O1z1，即垂直于 O1y1z1平面;当相对静止时,vr=0,因而FIC=0.MMy y1 1z z1 1O O1 1c c A AB B GGF FI Ie eN Na ae e例题例题8第49页/共55页第五十页，共55页。当小球相对(xingdu)于细管作匀速运动时,相对(xingdu)加速度ar的方向垂直于细管曲线的切线。m ma ar r=G G +N N+F FIe Ie+F FICIC投影(tuyn

31、g)到细管曲线的切线方向,则得FIe G=0即 my12cos mgsin =0其中是切线(qixin)对O1y1轴的倾角,由此求得切线(qixin)的斜率 求出积分,并确定积分常量,得式中,c 是细管最低点的纵坐标,如图所示.可见细管应弯成抛物线形状.把相对运动的动力学基本方程例题例题8MMy y1 1z z1 1O O1 1c c A AB B GGF FIe eN Na ae e第50页/共55页第五十一页，共55页。一质量是 m 的小环 M 套在半径是 R 的光滑圆环上,并可沿大圆环滑动,而大圆环在水平面内以匀角速度 绕通过点 O 的铅垂轴转动.在初瞬时,=0,=2,试写出小环 M 相

32、对于大圆环的运动微分方程,并求出大圆环对小环M 的约束力.例题例题(lt)9第51页/共55页第五十二页，共55页。解解:取动坐标系与大圆环固连,小环(xio hun)M 相对于大圆环的位置用弧坐标 s=R表示.作用与小环(xio hun)M 的力有大圆环的约束力 N.为了写出小环(xio hun)的相对运动微分方程,还要加上相应的牵连惯性力 FIe 和科氏惯性力 FIC.例题例题(lt)9OOC COO RMM FIeNFIC第52页/共55页第五十三页，共55页。式中由式(1)得这就是(jish)小环M相对于大圆环的运动微分方程.应用循环变换 将式(a)的变量分离并代入初始条件进行积分写出小环(xio hun)相对运动微分方程在相对切向和法向的投影例题例题(lt)9OOC COO RMM FIeNFIC第53页/共55页第五十四页，共55页。于是(ysh)有 而所以(suy),大圆环对小环的约束力为将上式代入式得OOC COO RMM FIeNFIC例题例题(lt)9第54页/共55页第五十五页，共55页。