理学lec一阶逻辑学习教案.pptx

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1、会计学1理学理学(lxu)lec一阶逻辑一阶逻辑第一页，共46页。第1页/共46页第二页，共46页。第2页/共46页第三页，共46页。第3页/共46页第四页，共46页。2.3 2.3 在一阶逻辑下将命题符号化在一阶逻辑下将命题符号化1.1.每个大学生不是每个大学生不是(b shi)(b shi)文科生就是理文科生就是理科生科生.M(x):x M(x):x是大学生是大学生 P(x):x P(x):x是文科生是文科生 Q(x):x Q(x):x是理科生是理科生2.2.有些人喜欢所有的花有些人喜欢所有的花 M(x):x M(x):x是人是人 P(y):y P(y):y是花是花 Q(x,y):x Q(

2、x,y):x喜欢喜欢y y3.3.任何金属都可以溶解在某种液体中任何金属都可以溶解在某种液体中 M(x):x M(x):x是金属是金属 P(y):y P(y):y是液体是液体 Q(x,y):x Q(x,y):x可以溶解在可以溶解在y y中中第4页/共46页第五页，共46页。今日今日(jnr)内容内容n n一阶逻辑合式公式及解释一阶逻辑合式公式及解释(jish)n n一阶逻辑等值式与前束范式一阶逻辑等值式与前束范式第5页/共46页第六页，共46页。2.22.2一阶逻辑一阶逻辑(lu j)(lu j)合式公式及解释合式公式及解释 本节学习：本节学习：一阶逻辑一阶逻辑(lu j)(lu j)中合式公

3、式的概念中合式公式的概念一阶逻辑一阶逻辑(lu j)(lu j)合式公式的的解释合式公式的的解释第6页/共46页第七页，共46页。字母表字母表n n(1)个体常项：n n(2)个体变项：n n(3)函数符号：n n(4)谓词符号：n n(5)量词(lingc)符号：n n(6)联结词符：n n(7)括号和逗号：(，)，第7页/共46页第八页，共46页。项的递归定义项的递归定义(dngy)(1)个体常项和变项是项。(2)若 是任意n 元函数，是项，则 是项。(3)只有有限次地使用(shyng)(1)、(2)生成的符号串才是项。例如：第8页/共46页第九页，共46页。定义定义(dngy)2.2若若

4、R(x1,x2,xn)是是n元谓词，元谓词，t1,t2,tn是项，则称是项，则称R(t1,t2,tn)为原子谓词公式，简为原子谓词公式，简称原子公式。称原子公式。原子公式原子公式第9页/共46页第十页，共46页。定义（合式公式）递归定义合式公式如下定义（合式公式）递归定义合式公式如下:1.1.原子公式是合式公式；原子公式是合式公式；2.2.若若A A是合式公式，则（是合式公式，则（A A）也是合式公式；）也是合式公式；3.3.若若A,BA,B是合式公式，则是合式公式，则（ABAB）,（ABAB）,（ABAB）,（A A B B）也是）也是合式公式；合式公式；4.4.若若A A是合式公式，是合式

5、公式，x x是个体变项，则是个体变项，则xAxA，xAxA也是合式公式；也是合式公式；5.5.只有有限次的应用（只有有限次的应用（1 1）-（4 4）构成的符号串）构成的符号串才是合式公式。才是合式公式。为简单起见，合式公式的最外层为简单起见，合式公式的最外层(wi cn)(wi cn)括括号可以省去，并将合式公式简称为公式。也称号可以省去，并将合式公式简称为公式。也称谓词公式谓词公式前面各例子和练习前面各例子和练习(linx)(linx)中命题符号化结果中命题符号化结果都是合式公式都是合式公式 第10页/共46页第十一页，共46页。定义（约束关系）定义（约束关系）在合式公式在合式公式xAxA

6、和和xAxA中，称中，称x x为指导变项，称为指导变项，称A A为相应量词的辖域为相应量词的辖域在辖域中，指导变项在辖域中，指导变项x x的所有出现的所有出现(chxin)(chxin)称为称为约束出现约束出现(chxin)(chxin)指导变项指导变项x x的约束出现的约束出现(chxin)(chxin)受相应量词指导受相应量词指导变项的约束变项的约束A A中不是约束出现中不是约束出现(chxin)(chxin)的其他变项的称为自的其他变项的称为自由出现由出现(chxin)(chxin)第11页/共46页第十二页，共46页。例例:指指出出下下列列各各合合式式公公式式中中的的指指导导变变项项、

7、量量词词的的辖辖域域、个个体体变变项项的的自自由由出出现现(chxin)(chxin)和和约约束束出出现现(chxin)(chxin)1.1.x x（F F（x x）yHyH（x x，y y）)yHyH（x x，y y）中中，y y为为指指导导变变项项，的的辖辖域域为为H H（x x，y y），其其中中，y y是是约约束束出出现现(chxin)(chxin)，x x是是自由出现自由出现(chxin)(chxin)的。的。整个合式公式中，整个合式公式中，x x是指导变项，是指导变项，的辖域为的辖域为F F（x x）yHyH（x x，y y），x x和和y y都都是是约约束束出出现现(chxin)

8、(chxin)的的。X X约约束束出出现现(chxin)2(chxin)2次次。Y Y约约束束出现出现(chxin)1(chxin)1次。次。第12页/共46页第十三页，共46页。2.2.xFxF（x x）G G（x x，y y）在在xFxF（x x）中中，x x是是指指导导变变项项，的的辖辖域域为为F F（x x），其其中中，x x是是约约束束(yush)(yush)出出现现的的；在在G G（x x，y y）中，）中，x x和和y y都是自由出现的。都是自由出现的。整整个个合合式式公公式式中中，x x约约束束(yush)(yush)出出现现1 1次次，自由出现自由出现1 1次，次，Y Y约束

9、约束(yush)(yush)出现出现1 1次。次。第13页/共46页第十四页，共46页。3.3.x xy y（R R（x x，y y）L L（y y，z z）xHxH（x x，y y）第第一一个个的的指指导导变变项项是是x,x,辖辖域域为为（R R（x x，y y）L L（y y，z z）第第二二个个的的指指导导变变项项是是y,y,辖辖域域为为（R R（x x，y y）L L（y y，z z）的指导变项是的指导变项是x,x,辖域为辖域为H H（x x，y y）整整个个(zhngg)(zhngg)合合式式公公式式中中，x x约约束束出出现现2 2次次，y y约约束束出出现现2 2次，自由出现次，

10、自由出现1 1次次,z,z自由出现自由出现1 1次。次。第14页/共46页第十五页，共46页。定定义义（闭闭式式）:设设A A为为任任一一公公式式，荐荐A A中中无无自自由由出出现现的的个个体体变变项项，则则称称A A是是封封闭闭(fngb)(fngb)的的合合式式公公式式，简简称称闭式。闭式。u u x x（F F（x x）G G（x x），），x x y y（F F（x x）G G（x x，y y）是是闭闭式式u u x x（F F（x x）G G（x x，y y），），z z yL yL（x x，y y，z z）不是闭式）不是闭式第15页/共46页第十六页，共46页。一阶逻辑一阶逻辑一阶

11、逻辑一阶逻辑(lu j)(lu j)合式公式的解释合式公式的解释合式公式的解释合式公式的解释解释解释解释解释(jish)(jish)的必要性和直观含义的必要性和直观含义的必要性和直观含义的必要性和直观含义一个一阶逻辑合式公式一般含有：一个一阶逻辑合式公式一般含有：一个一阶逻辑合式公式一般含有：一个一阶逻辑合式公式一般含有：个体常项、个体变项（自由出现或约束出现的）、个体常项、个体变项（自由出现或约束出现的）、个体常项、个体变项（自由出现或约束出现的）、个体常项、个体变项（自由出现或约束出现的）、函数变项（函数符号）、谓词变项（谓词符号）函数变项（函数符号）、谓词变项（谓词符号）函数变项（函数符

12、号）、谓词变项（谓词符号）函数变项（函数符号）、谓词变项（谓词符号）这些都是抽象的符号，一个一阶逻辑合式公式一般没这些都是抽象的符号，一个一阶逻辑合式公式一般没这些都是抽象的符号，一个一阶逻辑合式公式一般没这些都是抽象的符号，一个一阶逻辑合式公式一般没有具体的含义有具体的含义有具体的含义有具体的含义为了使它具有具体的含义，需要对这些符号做必要的为了使它具有具体的含义，需要对这些符号做必要的为了使它具有具体的含义，需要对这些符号做必要的为了使它具有具体的含义，需要对这些符号做必要的解释解释解释解释(jish)(jish)（对各种变项和常项指定具体的、（对各种变项和常项指定具体的、（对各种变项和常

13、项指定具体的、（对各种变项和常项指定具体的、特殊的常项去代替）特殊的常项去代替）特殊的常项去代替）特殊的常项去代替）第16页/共46页第十七页，共46页。定定义义（解解释释）一一个个(y(y)解解释释I I由由下下面面4 4部部分分组组成成1.1.非空个体域非空个体域D D：个体词的取值范围：个体词的取值范围2.D2.D中一部分特定元素：指定个体常元的值中一部分特定元素：指定个体常元的值3.D3.D中一些特定的函数：指定函数符号的含义中一些特定的函数：指定函数符号的含义4.D4.D中一些特定的谓词：指定谓词的含义中一些特定的谓词：指定谓词的含义在在使使用用一一个个(y(y)解解释释I I解解释

14、释一一个个(y(y)公公式式A A时时，将将A A 中中的的个个体体常常项项用用I I中中特特定定常常项项代代替替，函函数和谓词用数和谓词用I I中的特定函数和谓词代替中的特定函数和谓词代替 第17页/共46页第十八页，共46页。例例:给定解释给定解释I I如下：如下：1.DI=21.DI=2，332.DI2.DI中特定元素中特定元素(yun s)a=2(yun s)a=23.DI3.DI上的函数上的函数f f（x x）为）为f f（2 2）=3=3，f f（3 3）=2=2；4.DI4.DI上的谓词上的谓词F F（x x）为）为 F F（2 2）=0=0，F F（3 3）=1=1；G G（x

15、,yx,y）为）为 G G（i,ji,j）=1=1（i,j=2i,j=2，3 3）；）；L L（x,yx,y）为）为 L L（2,22,2）=L=L（3,33,3）=1=1；L L（2,32,3）=L L（3,23,2）=0=0；求在解释求在解释I I下，下列各式的真值下，下列各式的真值:x x（F F（x x）G G（x x，a a）x x（F F（f f（x x）G G（x x，f f（x x）x xyLyL（x x，y y）第18页/共46页第十九页，共46页。回顾：回顾：当个体域为有限集时，当个体域为有限集时，如如D=a1D=a1，a2a2，amam，对于对于(duy)(duy)任意的

16、谓词任意的谓词A A（x x），都有），都有:xAxA（x x）A A（a1a1）AA（a2a2）AA（amam）xAxA（x x）A A（a1a1）AA（a2a2）AA（amam）第19页/共46页第二十页，共46页。1.x x（F F（x x）G G（x x，a a）x x（F F（x x）G G（x x，2 2）（F F（2 2）G G（2 2，2 2）（F F（3 3）G G（3 3，2 2）（0 0 1 1）（1 1 1 1）0 0 第20页/共46页第二十一页，共46页。2.2.x x（F F（f f（x x）G G（x x，f f（x x）（F F（f f（2 2）G G（2 2

17、，f f（2 2）（F F（f f（3 3）G G（3 3，f f（3 3）（F F（3 3）g g（2 2，3 3）（F F（2 2）G G（3 3，2 2）（1 1 1 1）（0 0 1 1）1 1 第21页/共46页第二十二页，共46页。3.x x yLyL（x x，y y）yLyL（2 2，y y）yLyL（3 3，y y）（L L（2 2，2 2）L L（2 2，3 3）（L L（3 3，2 2）L L（3 3，3 3）1 1 1 11 1 第22页/共46页第二十三页，共46页。例例:给定给定(i dn)(i dn)解释解释N N如下：如下：个体域为自然数集合个体域为自然数集合N

18、N1.1.DNDN中特定元素中特定元素a=0a=02.2.DNDN中特定函数中特定函数f f（x x，y)=x+yy)=x+y，g g（x x，y y）=xy=xy3.3.DNDN中特定谓词中特定谓词F F（x x，y y）:x=y:x=y在解释在解释N N下，下面哪些公式为真？哪些公式为假？下，下面哪些公式为真？哪些公式为假？1.xFxF（g g（x x，a a），），x x）2.x x y(Fy(F（f f（x x，a a），），y y）F F（f f（y y，a a），），x x）3.3.x x y y z Fz F（f f（x x，y y），），z z）4.4.x x y Fy F（f

19、 f（x x，y y），），g g（x x，y y）5.F5.F（f f（x x，y y），），f f（Y Y，z z）第23页/共46页第二十四页，共46页。1.xF（g（x，a），），x）2.x（x*0=x）3.x（x=0）4.假命题假命题(mngt)5.2.x y(F（f（x，a），），y）6.F（f（y，a），），x）7.x y（(x+0=y)(y+0=x)）8.x y（(x=y)(y=x)）9.真命题真命题(mngt)10.3 x y zF（f（x，y），），z）11.x y z（x+y=z）12.真命题真命题(mngt)13.第24页/共46页第二十五页，共46页。4.4.x x

20、y y F F（f f（x x，y y），g g（x x，y y）x x y y（x+y=xyx+y=xy）假命题假命题5.F5.F（f f（x x，y y），f f（y y，z z）x+y=y+zx+y=y+zx=zx=z 真值不确定真值不确定(qudng)(qudng)，不是命题，不是命题 第25页/共46页第二十六页，共46页。练习练习(linx):P55 2.13(1)(linx):P55 2.13(1)第26页/共46页第二十七页，共46页。n n在一个合式公式中，有的个体在一个合式公式中，有的个体变项既有约束出现变项既有约束出现(chxin)，又有自由出现又有自由出现(chxin)

21、n n 这样容易产生混淆这样容易产生混淆n n下面两条规则可以避免混淆下面两条规则可以避免混淆n n换名规则：将量词辖域中出现换名规则：将量词辖域中出现(chxin)的某个约束出现的某个约束出现(chxin)的个体变项和对应的的个体变项和对应的指导变项，改成另一个辖域中指导变项，改成另一个辖域中未出现未出现(chxin)过的个体变项过的个体变项符号，公式中其余部分不变符号，公式中其余部分不变n n代替规则：对某自由出现代替规则：对某自由出现(chxin)的个体变项用与原公的个体变项用与原公式中所有个体变项符号不同的式中所有个体变项符号不同的变项符号去代替，且处处代替变项符号去代替，且处处代替第

22、27页/共46页第二十八页，共46页。例：例：xR（x，y）yH（y）(y既是自由既是自由(zyu)出现，又是约束出现出现，又是约束出现)xR（x，y）zH（z）(换名规则换名规则)xR（x，z）yH（y）(代替规则代替规则)第28页/共46页第二十九页，共46页。例：例：xy（R（x,y）L（y,z）xH（x,y）x是约束出现，受两个是约束出现，受两个(lin)量词约束量词约束y既是约束出现，又是自由出现既是约束出现，又是自由出现xy(R（x,y）L（y,z）)tH（t,y）xy(R（x,y）L（y,z）)tH（t,w）这这时时，上上式式中中不不再再存存在在既既是是约约束束出出现现，又又是是

23、自自由由出出现现的的个体变项个体变项也没有了约束不同量词的同名变项也没有了约束不同量词的同名变项第29页/共46页第三十页，共46页。定义（代换定义（代换(di hun)(di hun)实例）设实例）设A0A0是含命题是含命题变项变项p1p1，p2p2，pnpn的命题公式，的命题公式，A1A1，A2A2，AnAn是是n n个谓词公式。用个谓词公式。用AiAi（1in1in）处）处处代换处代换(di hun)pi(di hun)pi，所得公式，所得公式A A为称为称A0A0的代的代换换(di hun)(di hun)实例。实例。例如：命题公式：例如：命题公式：P P Q Q F F（x x）G

24、G（x x），），xFxF（x x）xGxG（x x）等）等 都是都是P P Q Q的代换实例的代换实例(shl)(shl)，但不是但不是P P P P的代换实例的代换实例(shl)(shl)F F（x x）F F（x x）是）是P P P P的代换实例的代换实例(shl)(shl)第30页/共46页第三十一页，共46页。2.3 一阶逻辑一阶逻辑(lu j)等值式与前束等值式与前束范式范式n n定义定义定义定义(等值式等值式等值式等值式)设设设设A,BA,B是一阶逻辑中任意的两公式是一阶逻辑中任意的两公式是一阶逻辑中任意的两公式是一阶逻辑中任意的两公式(gngsh),(gngsh),若若若若A

25、 A B B为永真式为永真式为永真式为永真式,则称则称则称则称A A与与与与B B是等值的是等值的是等值的是等值的,记作记作记作记作A A B Bn n第第第第1 1章中给出的章中给出的章中给出的章中给出的2424个等值式及其代换实例都是一阶逻辑中的等值式个等值式及其代换实例都是一阶逻辑中的等值式个等值式及其代换实例都是一阶逻辑中的等值式个等值式及其代换实例都是一阶逻辑中的等值式n n例如例如例如例如:n nP PP PP,PQ P,PQ P PQQn nxA(x)xA(x)xA(x)xA(x)xA(x)xA(x)n nxA(x)xA(x)xB(x)xB(x)xA(x)xA(x)xB(x)xB

26、(x)第31页/共46页第三十二页，共46页。通通过过换换名名规规则则与与代代替替规规则则所所得得的的公公式式与原公式等价与原公式等价下下面面(ximian)介介绍绍一一些些一一阶阶逻逻辑辑固固有有的等值式，这些等价式都与量词有关的等值式，这些等价式都与量词有关量词否定等值式量词否定等值式:对于对于(duy)(duy)任意的公式任意的公式A(x):A(x):xA(x)xA(x)x x A(x)A(x)xA(x)xA(x)x x A(x)A(x)第32页/共46页第三十三页，共46页。量词辖域收缩与扩张等值式量词辖域收缩与扩张等值式:对对于于含含变变项项x x约约束束出出现现的的任任意意(rny

27、)(rny)公公式式A(x)A(x)和不含和不含x x的任意的任意(rny)(rny)公式公式B B1.(1)1.(1)x(A(x)B)x(A(x)B)xA(x)BxA(x)B (2)(2)x(A(x)B)x(A(x)B)xA(x)BxA(x)B (3)(3)x(A(x)B)x(A(x)B)xA(x)BxA(x)B (4)(4)x(B A(x)x(B A(x)B BxA(x)xA(x)2.(1)2.(1)x(A(x)B)x(A(x)B)xA(x)BxA(x)B (2)(2)x(A(x)B)x(A(x)B)xA(x)BxA(x)B (3)(3)x(A(x)B)x(A(x)B)xA(x)BxA(x

28、)B (4)(4)x(B A(x)x(B A(x)B BxA(x)xA(x)第33页/共46页第三十四页，共46页。量词分配等值式量词分配等值式:对于任意的公式对于任意的公式(gngsh)A(x)(gngsh)A(x)和和B(x),B(x),x(A(x)B(x)x(A(x)B(x)(xA(x)xA(x)xB(x)xB(x)对对的分配的分配 x(A(x)B(x)x(A(x)B(x)(xA(x)xA(x)xB(x)xB(x)对对的分配的分配 注意：注意：对对不满足分配律不满足分配律 对对不满足分配律不满足分配律第34页/共46页第三十五页，共46页。同同命命题题逻逻辑辑(lu(lu j)j)类类似

29、似，一一阶阶逻逻辑辑(lu(lu j)j)中中的的公公式式范范式式形形也也非非常常重重要要。一一阶阶逻逻辑辑(lu j)(lu j)公式的规范型就是前束范式。公式的规范型就是前束范式。定义（前束范式）设定义（前束范式）设A A为一谓词公式，如为一谓词公式，如果果A A具有如下具有如下(rxi)(rxi)形式：形式：Q1x1Q2x2QkxkB Q1x1Q2x2QkxkB 则称则称A A是前束范式。是前束范式。其中每个其中每个Qi(1ik)Qi(1ik)为为或或，B B为不含为不含量词的谓词公式。量词的谓词公式。第35页/共46页第三十六页，共46页。例如例如(lr):(lr):x xy(F(x,

30、y)G(x,y)y(F(x,y)G(x,y)F(x,y)F(x,y)x xy yz(F(x,y,z)G(x,y,t)z(F(x,y,z)G(x,y,t)是前束范式。是前束范式。xF(x)xF(x)xG(x,y)xG(x,y)x(F(x)x(F(x)y(G(y)H(x)y(G(y)H(x)不是不是(b shi)(b shi)前束范式前束范式第36页/共46页第三十七页，共46页。在一阶逻辑中，任何在一阶逻辑中，任何(rnh)公式的前束范式都是存公式的前束范式都是存在的在的公式的前束范式不唯一公式的前束范式不唯一第37页/共46页第三十八页，共46页。例例 求下列公式求下列公式(gngsh)(gn

31、gsh)的前束范式。的前束范式。1.1.xF(x)xF(x)xG(x)xG(x)2.2.xF(x)xF(x)xG(x)xG(x)3.3.xF(x)xF(x)xG(x)xG(x)4.4.xF(x)xF(x)xG(x)xG(x)5.(5.(xF(x,y)xF(x,y)yG(y)yG(y)xH(x,y)xH(x,y)第38页/共46页第三十九页，共46页。解解1.1.xF(x)xF(x)xG(x)xG(x)xF(x)xF(x)x x G(x)G(x)定理定理(dngl)2.1(dngl)2.1（2 2）x x（F(x)F(x)G(x)G(x)）定理定理(dngl)2.3(dngl)2.3（1 1）解

32、法不唯一解法不唯一(wi y),(wi y),前束范式不唯一前束范式不唯一(wi(wi y)y)：使用换名规则求前束范式使用换名规则求前束范式(fnsh)xF(x)t G(t)换名规则换名规则 x(F(x)t G(t)定理定理2.2 x(t(F(x)G(t)定理定理2.2 x t(F(x)G(t)第39页/共46页第四十页，共46页。2.2.xF(x)xF(x)xG(x)xG(x)xF(x)xF(x)x x G(x)G(x)xF(x)xF(x)y y G(y)G(y)换名规则换名规则(guz)(guz)x(F(x)x(F(x)y y G(y)G(y)x x y(F(x)y(F(x)G(y)G(

33、y)3.3.xF(x)xF(x)xG(x)xG(x)xF(x)xF(x)xG(x)xG(x)x xF(x)F(x)x x G(x)G(x)t tF(t)F(t)x x G(x)G(x)换名规则换名规则(guz)(guz)t(t(F(t)F(t)x x G(x)G(x)t t x(x(F(t)F(t)G(x)G(x)第40页/共46页第四十一页，共46页。4.4.xF(x)xF(x)xG(x)xG(x)xF(x)xF(x)x G(x)x G(x)x xF(x)F(x)x x G(x)G(x)x xF(x)F(x)y y G(y)G(y)换名规则换名规则(guz)(guz)x x（F(x)F(x)

34、y y G(y)G(y)）x x y y（F(x)F(x)G(y)G(y)）解法）解法1 1 xF(x)xF(x)x x G(x)G(x)xF(x)xF(x)y y G(y)G(y)x(F(x)x(F(x)y y G(y)G(y)x x y(F(x)y(F(x)G(y)G(y)解法解法2 2第41页/共46页第四十二页，共46页。5.(5.(xF(x,y)xF(x,y)yG(y)yG(y)xH(x,y)xH(x,y)(xF(x,z)xF(x,z)yG(y)yG(y)xH(x,z)xH(x,z)代替代替(dit)(dit)规则规则(xF(x,z)xF(x,z)yG(y)yG(y)tH(t,z)t

35、H(t,z)换名规换名规则则 x(F(x,z)x(F(x,z)yG(y)yG(y)tH(t,z)tH(t,z)x x y(F(x,z)G(y)y(F(x,z)G(y)tH(t,z)tH(t,z)x x y(F(x,z)G(y)y(F(x,z)G(y)tH(t,z)tH(t,z)x x y y t(F(x,z)G(y)H(t,z)t(F(x,z)G(y)H(t,z)第42页/共46页第四十三页，共46页。注意事项注意事项:公式的前束范式一般是不唯一的公式的前束范式一般是不唯一的一个公式的前束范式的各指导变项应是各不相一个公式的前束范式的各指导变项应是各不相同的同的原公式中自由原公式中自由(zyu)出现的个体变项在前束出现的个体变项在前束范式中还应是自由范式中还应是自由(zyu)出现的出现的可用于检查等值演算的错误可用于检查等值演算的错误第43页/共46页第四十四页，共46页。练习练习(linx)(linx)(xF(x,y)xF(x,y)yG(x,y)yG(x,y)第44页/共46页第四十五页，共46页。Q&A46第45页/共46页第四十六页，共46页。