计量地理学第三章统计分析方法趋势面分析优秀PPT.ppt

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1、计量地理学第三章统计分析方计量地理学第三章统计分析方法趋势面分析法趋势面分析现在学习的是第1页，共39页v1地理要素间的相关分析地理要素间的相关分析v2地理要素间的回归分析地理要素间的回归分析v3 时间序列分析法时间序列分析法v4 系统聚类分析方法系统聚类分析方法v5 主成分分析方法主成分分析方法v6 马尔可夫预测方法马尔可夫预测方法v7地理系统的空间趋势面分析地理系统的空间趋势面分析现在学习的是第2页，共39页7 地理系统的空间趋势面分析地理系统的空间趋势面分析v一、空间趋势面分析概述一、空间趋势面分析概述v趋势面分析趋势面分析用数学的方法，以数学模型来模拟（或拟合）地用数学的方法，以数学模

2、型来模拟（或拟合）地理数据的空间分布及其区域性变化趋势的方法理数据的空间分布及其区域性变化趋势的方法它实质上是通过回归分析原理，运用最小二乘法它实质上是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在空间拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。化趋势。现在学习的是第3页，共39页 趋势面分析方法常常被用来模拟资源、环境、人口及趋势面分析方法常常被用来模拟资源、环境、人口及经济要素在空间上的分布规律，它在空间分析方面具经济要素在空间上的分布规律，它在空间分析方面具有重要的应用价值。

3、有重要的应用价值。趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象并过滤掉了一些趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使地理要素的空间分布规律明显局域随机因素的影响，使地理要素的空间分布规律明显化。化。现在学习的是第4页，共39页 通常把实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，通常把实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，前者反映地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用前者反映地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果；而后者则对应于微观局域，是随机因素影响的结的结果；而后者则对应于微观局域，是随机因素影响的结果。果。趋趋势势面面分分析析的的一一个个基基本本要要求求

4、，就就是是所所选选择择的的趋趋势势面面模模型型应应该该是是剩剩余余值值最最小小，而而趋趋势势值值最最大大，这这样样拟拟合合度度精精度度才才能能达达到到足足够够的的准准确确性性。空空间间趋趋势势面面分分析析，正正是是从从地地理理要要素素分分布布的的实实际际数数据据中中分分解解出出趋趋势势值值和和剩剩余余值值，从从而而揭揭示示地地理理要要素素空空间间分分布布的的趋趋势与规律。势与规律。现在学习的是第5页，共39页v趋势面的性质与特点趋势面的性质与特点是一种光滑的数学曲面，它能集中地代表地是一种光滑的数学曲面，它能集中地代表地理数据在大范围内的空间分布变化趋势理数据在大范围内的空间分布变化趋势与实际

5、上的地理曲面不同，它只是实际曲面与实际上的地理曲面不同，它只是实际曲面的一种近似值。的一种近似值。实际曲面包括趋势面和剩余（或离差）曲面实际曲面包括趋势面和剩余（或离差）曲面两部分，即两部分，即v实际曲面趋势面实际曲面趋势面+剩余曲面剩余曲面现在学习的是第6页，共39页二、趋势面分析的数学模型二、趋势面分析的数学模型v（一）趋势面分析的数学原理（一）趋势面分析的数学原理设以设以Zi(xi，yi)表示某一地理特征值在空间上的分布。其中表示某一地理特征值在空间上的分布。其中(xi，yi)为平面上点的坐标。任一观测点为平面上点的坐标。任一观测点Zi可分解为两个部分即可分解为两个部分即v式中：式中：i

6、即为剩余值（残差值）。即为剩余值（残差值）。v显然，当（显然，当（xi，yi）在空间上变动时）在空间上变动时,式就刻画了地理要素的实际分布曲式就刻画了地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关系面、趋势面和剩余面之间的互动关系现在学习的是第7页，共39页v 趋势面分析的核心 从实际观测值出发推算趋势面，一般采用回归从实际观测值出发推算趋势面，一般采用回归分析方法，使得残差平方和趋于最小，即分析方法，使得残差平方和趋于最小，即 这就是在最小二乘法意义下的趋势面拟合。这就是在最小二乘法意义下的趋势面拟合。现在学习的是第8页，共39页 用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数和傅立用来计算趋势

7、面的数学方程式有多项式函数和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形式。因为任何叶级数，其中最为常用的是多项式函数形式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。问题的需要。现在学习的是第9页，共39页v多项式方程多项式方程作为趋势面方程作为趋势面方程因为任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼因为任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼近，并可调整多项式的次数来满足趋势面分析的近，并可调整多项式的次数来满足趋势面分析的需要，一般

8、来说，多项式的次数越高则趋势值越需要，一般来说，多项式的次数越高则趋势值越接近于观测值，而剩余值越小接近于观测值，而剩余值越小现在学习的是第10页，共39页（二）多项式趋势面的数学模型（二）多项式趋势面的数学模型现在学习的是第11页，共39页现在学习的是第12页，共39页（三）（三）估计趋势面模型的参数估计趋势面模型的参数v实质实质 根据观测值根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,n）确定多）确定多项式的系数项式的系数a0，a1，ap，使残差平方和最，使残差平方和最小。小。现在学习的是第13页，共39页趋势面参数的确定（最小二乘法）趋势面参数的确定（最小二乘法）使每一个观测值与趋势值的残差平

9、方和为最小，使每一个观测值与趋势值的残差平方和为最小，即即按建立多元线性方程的方法，使按建立多元线性方程的方法，使Q对系数对系数b0，b1，bn求偏导，并令这些偏导数等于零，得趋求偏导，并令这些偏导数等于零，得趋势面的正规方程组，解正规方程组，即可求势面的正规方程组，解正规方程组，即可求出系数，从而得到趋势面方程出系数，从而得到趋势面方程现在学习的是第14页，共39页v过程过程 将多项式回归（非线性模型）模型转化为多元线性将多项式回归（非线性模型）模型转化为多元线性回归模型。回归模型。现在学习的是第15页，共39页 令令 则则其残差平方和为其残差平方和为（3.6.5）现在学习的是第16页，共3

10、9页 求求Q对对a0，a1，ap的偏导数，并令其的偏导数，并令其等于等于0，得正规方程组，得正规方程组(式中式中 为为p+1个未知量）个未知量）（3.6.6）现在学习的是第17页，共39页用矩阵形式表示用矩阵形式表示则则（3.6.63.6.6）式变为式变为（3.6.7）现在学习的是第18页，共39页 对于二元二次多项式有对于二元二次多项式有 其正规方程组为其正规方程组为 现在学习的是第19页，共39页现在学习的是第20页，共39页由式（由式（3.6.7）求解，可得）求解，可得（3.6.8）现在学习的是第21页，共39页（三）趋势面拟合程度的检验（三）趋势面拟合程度的检验v趋势面分析拟合程度与回

11、归模型的效果直接相关，因此，对趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直接相关，因此，对趋势面分析进行适度性检验是一个关系到趋势面能否在实趋势面分析进行适度性检验是一个关系到趋势面能否在实际研究中加以应用的关键问题，也是趋势面分析中不可缺际研究中加以应用的关键问题，也是趋势面分析中不可缺少的重要环节。少的重要环节。v这可以通过以下检验来完成：这可以通过以下检验来完成：v趋势面拟合适度的趋势面拟合适度的R2检验检验v趋势面拟合适度的显著性趋势面拟合适度的显著性F检验检验v趋势面适度的逐次检验趋势面适度的逐次检验现在学习的是第22页，共39页（一）（一）趋势面拟合适度的趋势面拟合适度的R2检验检验 趋势

12、面与实际面的拟合度系数趋势面与实际面的拟合度系数R R2 2是测定回归模型拟合是测定回归模型拟合优度的重要指标。优度的重要指标。一般用变量一般用变量z z的总离差平方和中回归平方和所占的的总离差平方和中回归平方和所占的比重表示回归模型的拟合优度。比重表示回归模型的拟合优度。总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和之和。总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和之和。即即现在学习的是第23页，共39页 越大（或越大（或 越小）就表示因变量与自变量的关系越小）就表示因变量与自变量的关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。越密切，回归的规律性越强、效果越好。记记 越大，趋势面的拟合度就越高。越大，趋势面的

13、拟合度就越高。为剩余平方和，它表示随机因素为剩余平方和，它表示随机因素对离差的影响，对离差的影响，为回归平方和，它为回归平方和，它表示自变量对因变量的离差的总影响。表示自变量对因变量的离差的总影响。（3.6.93.6.9）现在学习的是第24页，共39页 （二）趋势面拟合适度的显著性（二）趋势面拟合适度的显著性F F检验检验 趋势面适度的趋势面适度的F检验，是对趋势面回归模型整体的显著检验，是对趋势面回归模型整体的显著性检验。性检验。方法：是利用变量方法：是利用变量z的总离差平方和中剩余平方和与的总离差平方和中剩余平方和与回归平方和的比值，确定变量回归平方和的比值，确定变量z与自变量与自变量x、

14、y之间的回归之间的回归关系是否显著。即关系是否显著。即 结果分析：在显著性水平结果分析：在显著性水平下，查下，查F分布表得分布表得F，若，若计算的计算的F值大于临界值值大于临界值F，则认为趋势面方程显著；反之则，则认为趋势面方程显著；反之则不显著。不显著。（3.6.10）现在学习的是第25页，共39页（三）趋势面适度的逐次检验（三）趋势面适度的逐次检验 v方法方法 (1)(1)求出较高次多项式方程的回归平方和与较低次多项求出较高次多项式方程的回归平方和与较低次多项式方程的回归平方和之差式方程的回归平方和之差;(2)(2)将此差除以回归平方和的自由度之差，得出由于将此差除以回归平方和的自由度之差

15、，得出由于多项式次数增高所产生的回归均方差多项式次数增高所产生的回归均方差;(3)(3)将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差，将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差，得出相继两个阶次趋势面模型的适度性比较检验值得出相继两个阶次趋势面模型的适度性比较检验值F。若所得的若所得的F值是显著的，则较高次多项式对回归值是显著的，则较高次多项式对回归作出了新贡献，若作出了新贡献，若F值不显著，则较高次多项式对于值不显著，则较高次多项式对于回归并无新贡献。相应的方差分析表见表回归并无新贡献。相应的方差分析表见表3.6.13.6.1。现在学习的是第26页，共39页 表表3.6.1 3.6.1 多项式趋势面由

16、多项式趋势面由K K次增高至（次增高至（K K+1+1）次）次 的回归显著性检验的回归显著性检验 离差来源平方和自由度均方差F检验（K+1）次回归 p（K+1）次剩余 np1 K次回归 q K次剩余 nq1 由K次增高至（K+1）次的回归pq总离差SST现在学习的是第27页，共39页 需要注意的是，在实际应用中，往往用次数需要注意的是，在实际应用中，往往用次数低的趋势面逼近变化比较小的地理要素数据，用低的趋势面逼近变化比较小的地理要素数据，用次数高的趋势面逼近起伏变化比较复杂的地理要次数高的趋势面逼近起伏变化比较复杂的地理要素数据。次数低的趋势面使用起来比较方便，但素数据。次数低的趋势面使用起

17、来比较方便，但具体到某点拟合较差；次数较高的趋势面只在观具体到某点拟合较差；次数较高的趋势面只在观测点附近效果较好，而在外推和内插时则效果较测点附近效果较好，而在外推和内插时则效果较差。差。现在学习的是第28页，共39页三、趋势面分析应用实例三、趋势面分析应用实例 某某流流域域1 1月月份份降降水水量量与与各各观观测测点点的的坐坐标标位位置置数数据据如如表表3.6.23.6.2所所示示。下下面面，我我们们以以降降水水量量为为因因变变量量z，地地理理位位置置的的横横坐坐标标和和纵纵坐坐标标分分别别为为自自变变量量x、y，进进行行趋趋势势面分析，并对趋势面方程进行适度面分析，并对趋势面方程进行适度

18、F F检验。检验。现在学习的是第29页，共39页表表3.6.2 3.6.2 流域降水量及观测点的地理位置数据流域降水量及观测点的地理位置数据序号降水量Z/mm横坐标x/104 m纵坐标y/104 m12345678910111227.638.42424.73255.540.437.53131.75344.901.11.82.953.41.80.70.20.851.652.653.6510.6000.21.71.323.353.153.12.55现在学习的是第30页，共39页v建立趋势面模型 (1)首先采用二次多项式进行趋势面拟合，用最首先采用二次多项式进行趋势面拟合，用最小二乘法求得拟合方程为

19、小二乘法求得拟合方程为 解题步骤解题步骤现在学习的是第31页，共39页图3.6.1 某流域降水量的二次多项式趋势面 现在学习的是第32页，共39页 (2)(2)再采用三次趋势面进行拟合，用最小二再采用三次趋势面进行拟合，用最小二乘法求得拟合方程为乘法求得拟合方程为 现在学习的是第33页，共39页图3.6.2 某流域降水量的三次多项式趋势面 现在学习的是第34页，共39页 (1)趋势面拟合适度的趋势面拟合适度的R2检验检验:根据根据R2检验方法检验方法计算，结果表明，二次趋势面的判定系数为计算，结果表明，二次趋势面的判定系数为R22=0.839，三次趋势面的判定系数为，三次趋势面的判定系数为R3

20、2=0.965，可见二次趋势面回归模型和三次趋势面回归模可见二次趋势面回归模型和三次趋势面回归模型的显著性都较高，而且三次趋势面较二次趋型的显著性都较高，而且三次趋势面较二次趋势面具有更高的拟合程度。势面具有更高的拟合程度。n模型检验 现在学习的是第35页，共39页 (2)趋势面适度的显著性F检验:根据F检验方法计算，结果表明，二次趋势面和三次趋势面的F值分别为F2=6.236和F3=6.054。在置信水平=0.05下，查F分布表得 F3=。显然 ，故二次趋势面的回归方程显著而三次趋势面不显著。因此，F检验的结果表明，用二次趋势面进行拟合比较合理。现在学习的是第36页，共39页 趋势面比较：在

21、二次和三次趋势面检验中，对两个趋势面比较：在二次和三次趋势面检验中，对两个阶次趋势面模型的适度进行比较，相应的方差分析计算阶次趋势面模型的适度进行比较，相应的方差分析计算结果见表结果见表3.6.3。(3)趋势面适度的逐次检验：离差来源平方和自由度均方差F检验三次回归三次剩余二次回归二次剩余由二次增高至三次的回归 1 129.78941.474982.244189.018147.545912-9-1512-5-14125.53220.737196.44931.50336.8866.0546.2361.779表3.6.3 二次和三次趋势面回归模型的逐次检验方差分析表 现在学习的是第37页，共39页

22、分析：从二次趋势面增加到三次趋势面，F32=1.779。在置信度水平=0.05下，查F分布表得F0.05(4,2)=6.94，由于F32 F0.05(4,2)=6.94，故将趋势面拟合次数由二次增高至三次，对回归方程并无新贡献，因而选取二次趋势面比较合适。这也进一步验证了趋势面拟合适度的显著性F检验的结论。现在学习的是第38页，共39页趋势面的具体计算方法与步骤趋势面的具体计算方法与步骤v原始数据列表原始数据列表v等间隔选取纵横坐标网，将原始数据点入坐等间隔选取纵横坐标网，将原始数据点入坐标标v按多元线性回归分析方法求出趋势面的正规按多元线性回归分析方法求出趋势面的正规方程组，解出参数方程组，解出参数v从趋势值等值线图中，获得地理要素的区域从趋势值等值线图中，获得地理要素的区域性变化规律性变化规律v用用F分布对趋势面进行拟合程度检验分布对趋势面进行拟合程度检验现在学习的是第39页，共39页