理学经济数学学习教案.pptx

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1、会计学1理学经济理学经济(jngj)数学数学第一页，共74页。定理定理1 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件(3)(1)在闭区间在闭区间 上连续；上连续；(2)在开区间在开区间 内可导内可导;则在内至少存在一点则在内至少存在一点 ，罗尔定理罗尔定理(dngl)(dngl)ab使得使得第1页/共74页第二页，共74页。几何几何(j h)解解释如图释如图在直角坐标在直角坐标(zh jio zu bio)系系Oxy中中曲线曲线 两端点的连两端点的连线线(lin xin)平行于平行于 轴轴,其斜率为零其斜率为零故在曲线弧上定有一点故在曲线弧上定有一点 使曲线在该使曲线在该点的切线平行于弦点的切线平

2、行于弦 ，即，即平行于平行于 轴。轴。即即第2页/共74页第三页，共74页。则在区间则在区间 内至少内至少(zhsho)存在存在(1)在闭区间在闭区间 上连续；上连续；(2)在开区间在开区间 内可导；内可导；定理定理2 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件一点一点 ，使得使得(sh de)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(dngl)(dngl)第3页/共74页第四页，共74页。曲线曲线 处处处处(chch)有不垂有不垂直于直于 轴的切线轴的切线如图如图 在直角坐标在直角坐标(zh jio zu bio)系系Oxy端点连线端点连线(lin xin)AB的的斜率为斜率为所以定理实际是说存在点所以

3、定理实际是说存在点 ，使曲线在该点的切线，使曲线在该点的切线T平平行于弦行于弦AB。即即第4页/共74页第五页，共74页。2.在开区间在开区间 内可导，内可导，1.在闭区间在闭区间(q jin)上连续；上连续；定理定理(dngl)3 Cauchy中值中值定理定理(dngl)则在区间则在区间 内定有点内定有点使得使得(sh de)柯西中值定理柯西中值定理设函数设函数 与与 满足如下条件：满足如下条件：第5页/共74页第六页，共74页。Rolle定理是定理是Lagrange定理的特例定理的特例:在在Lagrange中值定理中如果中值定理中如果(rgu)则则Lagrange中值定理变成中值定理变成R

4、olle定理；定理；Cauchy定量是定量是Lagrange定理的推广定理的推广 在在Cauchy中值定理中如果中值定理中如果(rgu)，则则Cauchy化为化为Lagrange中值定理。中值定理。三个中值定理(dngl)的关系第6页/共74页第七页，共74页。如果在某极限过程下如果在某极限过程下,函数函数f(x)与与g(x)同时趋于零或者同时同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极限，洛必达法的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。则就是解决这类极限的工具。一般一般(ybn)分为三种类型讨论：分为三种类型讨论：3.2洛必达法则(fz)1

5、型不定式型不定式2型不定式型不定式3其它型不定式其它型不定式第7页/共74页第八页，共74页。定定理理1 设设函函数数与与在在的的某某空空心心邻邻域域内内有有定定义义，且且满满足足(mnz)如下条件：如下条件：存在存在或为或为1 型未定式型未定式第8页/共74页第九页，共74页。（为为任意任意实实数）数）例例1 求求解解例例2 求求解解第9页/共74页第十页，共74页。例例3求求解解 此定理的结论此定理的结论(jiln)对于对于 时时 型未定式同样适用。型未定式同样适用。例例4 求求解解 第10页/共74页第十一页，共74页。2型不定式型不定式的某空心的某空心邻邻域内有定域内有定义义，且，且满

6、满足足(mnz)如下条件如下条件与与在在该邻该邻域内都存在，且域内都存在，且则则 定理定理2 设设函数函数与在点在点第11页/共74页第十二页，共74页。例例5 求求解解:定理定理2的结论对于的结论对于 时的时的 型未定式的极限问题型未定式的极限问题(wnt)同样适用。同样适用。第12页/共74页第十三页，共74页。例例6求求解解 则则可可继续继续(jx)使用洛必达法使用洛必达法则则。即有。即有能能满满足定理中足定理中与与应满足的条件，应满足的条件，与与还还是是 型未定式，且型未定式，且如果如果第13页/共74页第十四页，共74页。如果反复使用洛必达法如果反复使用洛必达法则则也无法也无法(wf

7、)确定确定则洛必达法则则洛必达法则(fz)失效失效.此此时时需用需用别别的的办办法判断未定式法判断未定式的极限的极限(jxin)。或能断定或能断定的极限，的极限，无极限，无极限，第14页/共74页第十五页，共74页。例例7 求求解解 这这个个问题问题是属于是属于型未定式，型未定式，但分子但分子(fnz)分母分别分母分别求导后得求导后得此式振荡无极限，故洛必达法则此式振荡无极限，故洛必达法则(fz)失效，不能失效，不能使用。使用。但原极限是存在的，可用下法求得但原极限是存在的，可用下法求得第15页/共74页第十六页，共74页。3其它其它(qt)型不定式型不定式未定式除未定式除和和型外，型外，还还

8、有有 型型、型型、等五种等五种(w zhn)类型。类型。型型、型型、型型、第16页/共74页第十七页，共74页。型或者型或者(huzh)型型型：型：变为变为例例8 求求解解第17页/共74页第十八页，共74页。型型:通分相减变为通分相减变为 型型例例9 求求（型）型）解解 第18页/共74页第十九页，共74页。型未定式型未定式:由于它们是来源于幂指函数由于它们是来源于幂指函数 的极限的极限因此通常可用取因此通常可用取对对数的方法或利用数的方法或利用即可化为即可化为 型未定式，再化为型未定式，再化为 型或型或 型求解型求解(qi ji)。例例10 求求解解所以所以(suy)第19页/共74页第二

9、十页，共74页。例例11 求求解解 设设所以所以(suy)（型）型）第20页/共74页第二十一页，共74页。例例12 求求（型）型）所以所以(suy)解解第21页/共74页第二十二页，共74页。3.3 函数函数(hnsh)的单调性的单调性与极值与极值 定理定理1 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间(q jin)a,b上连续，在上连续，在开区开区间间(a,b)内可导，则：内可导，则：1.若在若在(a,b)内内 ,则则f(x)在区间在区间(a,b)内单调内单调(dndio)增增加加2.若在若在(a,b)内内 ,则则f(x)在区间在区间(a,b)内单调减少。内单调减少。abab 函数的单调性及判别

10、法函数的单调性及判别法第22页/共74页第二十三页，共74页。例例2 确定函数确定函数(hnsh)的单调区间的单调区间.可可导导，且等号只在且等号只在 x=0 成立成立.解解 因因为为所所给给函数在区函数在区间间 上上连续连续，在，在 内内例例1 判定函数判定函数 在区在区间间 上的上的单调单调性性.所以所以函数函数 在区在区间间 上上单调单调增加增加.解解 所以所以(suy)当当 x=-1,x=1时时 x (-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)+0 -0 +f(x)第23页/共74页第二十四页，共74页。解解 函数的定义域函数的定义域 且在定义域内连续且在定义域内连续例例3 确定确

11、定(qudng)函数函数的的单调单调(dndio)区区间间。其导数为其导数为当当 时时 不存在，且不存在使不存在，且不存在使 的点的点用用 把定义域分成两个区间，见下表：把定义域分成两个区间，见下表：x(-,0)(0,+)f(x)-+f(x)单增单增 单减单减第24页/共74页第二十五页，共74页。反之，如果对此邻域内任一点反之，如果对此邻域内任一点 ，恒有，恒有 则称则称 为函数为函数 的一个极小值，的一个极小值，称为极小值点。称为极小值点。函数函数(hnsh)的极值的极值定义定义 设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，若对此的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点邻域内每一点 ，恒有，恒有

12、 ，则称，则称 是函数是函数 的一个极大值，的一个极大值，称为函数称为函数 的一个极的一个极大值点；大值点；函数的极大值极小值统称函数的极大值极小值统称(tngchng)为极值，极大为极值，极大值点极小值点统称值点极小值点统称(tngchng)为极值点。为极值点。第25页/共74页第二十六页，共74页。ABCDE极值是局部的，只是与邻近极值是局部的，只是与邻近(ln jn)点相比较而言。并非点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。都是极值点。从图中可看出从图中

13、可看出(kn ch),极小值不一定小于极大值，极小值不一定小于极大值，如图中如图中D点是极小值，点是极小值，A点是极大值。点是极大值。第26页/共74页第二十七页，共74页。定理定理(dngl)3（极值第一判（极值第一判别法）：别法）：设函数设函数 在点在点 的某邻域内连续，且在此的某邻域内连续，且在此邻域内（邻域内（可除外）可导可除外）可导（1）如果）如果(rgu)当当 时时 ，而当，而当 时，时，则则 在在 取得极大值。取得极大值。（）如图所示：如图所示：在在 ，在在 ，在在 取得极大值。取得极大值。第27页/共74页第二十八页，共74页。（2）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时，

14、则则 在在 取得极小值。取得极小值。（）如图所示：如图所示：在在 ，在在 ，在在 取得极小值。取得极小值。（3）如果在）如果在 两侧两侧 的符号不变，则的符号不变，则 不是不是 的极值点，如图的极值点，如图示示（）第28页/共74页第二十九页，共74页。(4)利用定理利用定理(dngl)3,判断判断(2)中的点是否为极值点中的点是否为极值点,如果是如果是 求极值求极值(j zh)点的步骤：点的步骤：(1)求函数的定义域求函数的定义域(有时是给定有时是给定(i dn)的区间的区间);(3)用用(2)中的点将定义域中的点将定义域(或区间或区间)分成若干个子区间分成若干个子区间,进一步判定是极大值点

15、还是极小值点进一步判定是极大值点还是极小值点.(2)求出求出 ,求出使求出使 的点及的点及 不存在的点不存在的点;讨论在每个区间讨论在每个区间 的符号的符号;(5)求出各极值点处的函数值求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值得函数的全部极值.第29页/共74页第三十页，共74页。例例4 求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值.解解 函数的定义域为函数的定义域为令令,得驻点得驻点这这三个点将定三个点将定义义域分成域分成(fn chn)四个部分区四个部分区间间，列表如下，列表如下极大值极大值极小值极小值第30页/共74页第三十一页，共74页。令令 得得由于由于(yuy)定理定理4(极值的

16、第二判别法极值的第二判别法)设函数设函数 在点在点 处具有处具有 二阶导数，且二阶导数，且 ，；（1）若若 ，则，则 是函数是函数 的极小值点；的极小值点；（2）若）若 ，则，则 是函数是函数 的极大值点；的极大值点；例例5 求函数求函数 的极值的极值.解解 函数的定义域为函数的定义域为所以所以 为极大值为极大值,为极小值为极小值.第31页/共74页第三十二页，共74页。函数函数(hnsh)(hnsh)的最大值与最小值的最大值与最小值是函数是函数(hnsh)在所考察的区间上全部函数在所考察的区间上全部函数(hnsh)值中最大者和最小者值中最大者和最小者 最小的就是最小的就是(jish)函数在区

17、函数在区间间上的最小上的最小值值。连续连续函数在区函数在区间间上的最大值与最小值可通过比较上的最大值与最小值可通过比较端点端点处处的函数的函数值值 和和 ;1.区区间间2.区区间间内使的点内使的点处处的函数的函数值值；内使内使 不存在的点不存在的点处处的函数的函数值值。3.区间区间这些值中最大的就是函数在这些值中最大的就是函数在上的最大值上的最大值,上的最大上的最大值值与最小与最小值值是全局性的概念是全局性的概念,函数在区函数在区间间如下几类点的函数值得到：如下几类点的函数值得到：第32页/共74页第三十三页，共74页。上的最大上的最大值值和最小和最小值值。在在驻驻点点(zh din)处处函数

18、函数值值分分别为别为在端点在端点(dun din)的函数的函数值为值为最大最大值为值为最小最小值为值为解解令令，得，得驻驻点点(zh din)例例6 求函数求函数 在区在区间间比比较较上述上述5个点的函数个点的函数值值，即可得，即可得 在区在区间间上的上的第33页/共74页第三十四页，共74页。M1xyoM2M1xyoM2曲线的凹凸曲线的凹凸(o t)与拐点与拐点定义定义1：如果在某区间内，曲线弧总是：如果在某区间内，曲线弧总是(zn sh)位于位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凹的。其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凹的。如图所如图所示示3.4 函数图形函数图形(txng)的描绘的描

19、绘第34页/共74页第三十五页，共74页。如果曲线弧总是位于其切线(qixin)的下方，则称曲线在这个区间上是凸的。如下图：当曲线为凹时，曲线的切线斜率随着(suzhe)的增加而增加，即是增函数；反之，当曲线为凸时，曲线的切线斜率随着(suzhe)的增加而减少，即是减函数。M1xM2yoM1xyoM2第35页/共74页第三十六页，共74页。定理定理1 设函数设函数 在区间在区间 内具有二阶导数内具有二阶导数 （1）如果）如果 时，恒有时，恒有 ，则曲线，则曲线 在在 内为凹的；内为凹的；（2）如果）如果 时，恒有时，恒有 ，则曲线，则曲线 在在 内为凸的。内为凸的。定定义义2 曲曲线线上上凹凹

20、与与凸凸的的部部分分的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点。拐拐点点既既然然是是凹凹与与凸凸的的分分界界点点，所所以以在在拐拐点点的的某某邻邻域域内内 必然异号，因而必然异号，因而(yn r)在拐点处在拐点处 或或 不存在。不存在。第36页/共74页第三十七页，共74页。例例1 求曲线求曲线(qxin)的凹凸区间与拐点。的凹凸区间与拐点。解解 令令 ，得，得 ，列表列表(li bio)如下如下有拐点有拐点(ui din)有拐点有拐点第37页/共74页第三十八页，共74页。可见可见,曲线曲线(qxin)在区间在区间 内为凹的，在区间内为凹的，在区间 内为凸内为凸的，曲线的，曲线(qxin)

21、的拐点是的拐点是 和和 .如果函数如果函数 在在 的某邻域内连续的某邻域内连续(linx)，当在点，当在点 的的二阶导数不存在时，如果在点二阶导数不存在时，如果在点 某空心邻域内二阶导数存某空心邻域内二阶导数存在且在在且在 的两侧符号相反，则点的两侧符号相反，则点 是拐点；如果两侧二是拐点；如果两侧二阶导数符号相同，则点阶导数符号相同，则点 不是拐点不是拐点.综上所述，判定曲线的凹凸与拐点综上所述，判定曲线的凹凸与拐点(ui din)的步骤可归的步骤可归纳如下：纳如下：（1）求一阶及二阶导数）求一阶及二阶导数 ，；（2）求出）求出 及及 不存在的点；不存在的点；第38页/共74页第三十九页，共

22、74页。（3）以以（2）中中找找出出的的全全部部(qunb)点点，把把函函数数的的定定义义域域分分成成若若干干部部分分区区间间，列列表表考考察察 在在各各区区间间的的符符号号，从从而而可可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。例例2 求曲线求曲线 的凹凸区间的凹凸区间(q jin)与拐点。与拐点。解解 函数函数(hnsh)的定义域为的定义域为 当当 时，时，故以，故以 将定将定义域分成三个区间，列表如下：义域分成三个区间，列表如下：第39页/共74页第四十页，共74页。+0 0 +有有 拐拐 点点有有拐拐点点 在在 处，曲线上对应处，曲线上对应(duyng)的点的

23、点 与与 为拐点。为拐点。第40页/共74页第四十一页，共74页。曲线的渐近线曲线的渐近线 有有些些函函数数的的定定义义域域或或值值域域是是无无穷穷(wqing)区区间间，此此时时函函数数的的图图形形向向无无限限远远处处延延伸伸，如如双双曲曲线线、抛抛物物线线等等。有有些些向向无无穷穷(wqing)远远延延伸伸的的曲曲线线，越越来来越越接接近近某某一一直直线线的的趋趋势势，这这种种直直线就是曲线的渐近线。线就是曲线的渐近线。定定义义3 如如果果曲曲线线上上一一点点沿沿着着曲曲线线趋趋于于无无穷穷(wqing)远远时时，该点与某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。该点与某直线的距离趋于零

24、，则称此直线为曲线的渐近线。1水水平平(shupng)渐近线渐近线如果曲线如果曲线(qxin)的定义域是无穷区间，且有的定义域是无穷区间，且有 或或 ,则直线则直线 为曲线为曲线(qxin)的渐近线，称的渐近线，称为水平渐近线为水平渐近线.如下图如下图 第41页/共74页第四十二页，共74页。xyoxyo例例3 求曲线求曲线(qxin)的水平渐近线。的水平渐近线。解解 因为因为(yn wi)所以所以 是曲线的一是曲线的一条水平渐近线，如图示条水平渐近线，如图示第42页/共74页第四十三页，共74页。2、铅直渐近线、铅直渐近线如果曲线如果曲线(qxin)满足满足 或或 则称直线则称直线(zhxi

25、n)为曲线为曲线 的铅的铅直渐近线（或垂直渐近线），如图直渐近线（或垂直渐近线），如图例求曲线例求曲线(qxin)的铅直渐近线。的铅直渐近线。解解 因为因为所以所以 是曲线的一条铅直渐近线。是曲线的一条铅直渐近线。如前页图所示如前页图所示第43页/共74页第四十四页，共74页。函数图形的作法函数图形的作法 函函数数的的图图形形有有助助于于直直观观了了解解函函数数的的性性质质，所所以以研研究究函函数数图图形形的的描描绘绘方方法法很很有有必必要要，现现在在综综合合上上面面对对函函数数性性态态的的研研究究，可以可以(ky)得出描绘函数图形的一般步骤如下：得出描绘函数图形的一般步骤如下：（1）确定函数

26、的定义域；）确定函数的定义域；（2）确定函数的奇偶性（曲线的对称性）和周期性；）确定函数的奇偶性（曲线的对称性）和周期性；（3）确定函数的单调区间和极值）确定函数的单调区间和极值;（4）确定曲线的凹凸区间和拐点；）确定曲线的凹凸区间和拐点；（5）考察）考察(koch)曲线的渐近线；曲线的渐近线；（6）算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。）算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。（7）用平滑）用平滑(pnghu)的曲线连接各点。的曲线连接各点。第44页/共74页第四十五页，共74页。例例5 作函数作函数 的图形。的图形。解解（1）定义域为）定义域为:（2）求求函函数数的的增增减减区区间间

27、、极极值值(j zh)、凹凹凸凸区区间间及拐点；及拐点；因为因为(yn wi)，令令 得得 ；令令 得得 列表列表(li bio)如下如下:3200+0+第45页/共74页第四十六页，共74页。（3）渐近线：因为）渐近线：因为 所以所以(suy)为水平渐近线；为水平渐近线；又因为又因为(yn wi)(yn wi)，所以所以 为铅直渐近线。为铅直渐近线。（4）描出几个描出几个(j)点：点：xyo如图所示如图所示作出函数图形作出函数图形第46页/共74页第四十七页，共74页。例例6 在经济学中，会经常遇到函数在经济学中，会经常遇到函数(hnsh)试作出函数试作出函数(hnsh)的图形。的图形。解解

28、（1）定义域：（）定义域：（，+）；）；（2）奇偶性：由于）奇偶性：由于 ，故，故 为偶函数，其图形为偶函数，其图形(txng)关于关于 轴对称；轴对称；（3）增减、极值、凹凸）增减、极值、凹凸(o t)及拐点：及拐点：因为因为令令 ，得，得 ；令令 ，得，得 ，第47页/共74页第四十八页，共74页。（4）渐近线）渐近线 所以所以(suy)是水平渐近线。是水平渐近线。先作出函数先作出函数(hnsh)在在 内的图形，然后利用对称性内的图形，然后利用对称性作出区间作出区间 内内的图形，如图的图形，如图 o第48页/共74页第四十九页，共74页。0(0，1)1（1，+）00+列表讨论列表讨论(to

29、ln)如下如下其中其中(qzhng)，；第49页/共74页第五十页，共74页。3.5 3.5 导数导数(do sh)(do sh)在经济中的应用在经济中的应用 函数函数(hnsh)的变化率的变化率边际函数边际函数(hnsh)定定义义1 设设函数函数在点在点处处可可导导，边际边际函数函数值值。其含。其含义为义为:当当 时时,x改改变变一个一个单单位，相位，相在点在点处处的的导导数数称称为为在点在点处的处的相应地相应地 y 约改变约改变 个单位个单位为为的的边际边际函数。函数。称导函数称导函数当当 时时,实际实际上，上，解解 ,所以所以,在在时时的的边际边际函数函数值值。,试求试求例例1 设函数设

30、函数第50页/共74页第五十一页，共74页。边际边际(binj)成本是成本是总总成本的成本的变变化率。化率。设设C为总为总成本，成本，下面介绍下面介绍(jisho)几个常见的边际函数几个常见的边际函数:1边际边际(binj)成本成本 为为固定成本，固定成本，则有则有为可变成本，为可变成本，为平均成本，为平均成本，为边际成本，为边际成本，为产量，为产量，总总成本函数成本函数 平均成本函数平均成本函数 边际成本函数边际成本函数 例例2 已知某商品的成本函数已知某商品的成本函数为为,求当求当时时的的总总成本，平均成本及成本，平均成本及边际边际成本。成本。解解 由由第51页/共74页第五十二页，共74

31、页。令令 得得边际边际(binj)成本成本于是于是(ysh)当当 时时总成本总成本 平均平均(pngjn)成本成本 Q 为多少时，平均成本最小为多少时，平均成本最小?例例3 在例在例1中，当产量中，当产量解解所以所以,当当Q=20=20时平均成本最小。时平均成本最小。第52页/共74页第五十三页，共74页。2收益收益(shuy)平均收益是生平均收益是生产产者平均每售出一个者平均每售出一个单单位位产产品所得到品所得到的收入，即的收入，即单单位商品的售价。位商品的售价。边际边际收益收益为总为总收益的收益的变变化化率。率。总总收益、平均收益、收益、平均收益、边际边际收益均收益均为产为产量量(chnl

32、ing)的函数。的函数。设设P为为商品价格，商品价格，Q 为为商品量，商品量，R 为总为总收益，收益，为为平平均收益，均收益，为边际为边际收益，收益，则则有有 需求需求(xqi)函数函数 总收益函数总收益函数 平均收益函数平均收益函数 边际收益函数边际收益函数 第53页/共74页第五十四页，共74页。需求与收益需求与收益(shuy)有如下关系有如下关系:总总收益收益(shuy)平均平均(pngjn)收益收益 边际边际(binj)收益收益总收益与平均收益及边际收益的关系为总收益与平均收益及边际收益的关系为第54页/共74页第五十五页，共74页。求求销销售量售量为为30时时的的总总收益，平均收益，

33、平均(pngjn)收益与收益与边际边际收益。收益。例例4 设某产品的价格设某产品的价格(jig)和销售量的关系为和销售量的关系为解解 总总收益收益(shuy)平均收益平均收益 边际收益边际收益 第55页/共74页第五十六页，共74页。3 3利润利润(lrn)(lrn)在在经济经济学中，学中，总总收益、收益、总总成本都可以表示成本都可以表示(biosh)为产为产量量的函数的函数(hnsh)，分，分别记为别记为和和，则总则总利利润润可表可表 示为示为最大利润原则最大利润原则:取得最大值的必要条件为取得最大值的必要条件为 即即所以取得最大利润的必要条件是所以取得最大利润的必要条件是:边际收益等于边际

34、成本边际收益等于边际成本 第56页/共74页第五十七页，共74页。例例5 已知某产品已知某产品(chnpn)的需求函数为的需求函数为 成本成本(chngbn)函数为函数为 问产问产量量为为多少多少(dusho)时总时总利利润润 L 最大最大?解解 已知已知 ,于是有于是有令令 得得所以当所以当Q=20时总利润最大时总利润最大第57页/共74页第五十八页，共74页。例例6某工厂生某工厂生产产(shngchn)某种某种产产品，固定成本品，固定成本20000元，每生元，每生产产(shngchn)一一单单位位产产品，成本增加品，成本增加100元。已知收益元。已知收益 解解 根据题意根据题意(t y)，

35、总成本函数为，总成本函数为是年是年产产量量的函数的函数(hnsh)问每年生产多少产品时总利润最大问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少此时总利润是多少?从而可得总利润函数为从而可得总利润函数为第58页/共74页第五十九页，共74页。令令 得得由于由于(yuy),故故 时时利润最大利润最大此时此时(c sh)即当生产量为即当生产量为300个单位个单位(dnwi)时时,总利润最大总利润最大,其最大利润为其最大利润为25000元元.第59页/共74页第六十页，共74页。设设某企某企业业某种某种产产品的生品的生产产量量为为 个个单单位位,代表代表总总成本成本,代代表表边际边际(binj)成本

36、成本,每每单单位位产产品的平均成本品的平均成本为为 在生产实践中在生产实践中,经常遇到经常遇到(y do)这样的问题这样的问题,即在既定的生产规模即在既定的生产规模条件下条件下,如何合理安排生产能使成本最低如何合理安排生产能使成本最低,利润最大利润最大?4 4成本成本(chngbn)(chngbn)最低的生产量问题最低的生产量问题于是于是由极由极值值存在的必要条件知，使平均成本存在的必要条件知，使平均成本为为极小的生极小的生产产量量应满应满足足 ,于是得到一个于是得到一个经济经济学中的重要学中的重要结论结论:使平均成本使平均成本为为最小的生最小的生产产水平（生水平（生产产量量 ），正是使），正

37、是使边际边际成本等于平均成本的生成本等于平均成本的生产产水平（生水平（生产产量）。量）。第60页/共74页第六十一页，共74页。例例7 设某产品的成本函数为设某产品的成本函数为 试求使平均成本最小的产量试求使平均成本最小的产量(chnling)水平。水平。解解 平均成本平均成本 令令 解得解得,由于由于(yuy)所以所以 是平均是平均(pngjn)成本成本 的最小值点的最小值点也就是平均也就是平均(pngjn)成本最小的产量水平成本最小的产量水平 此时此时 即即 时时,边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小.第61页/共74页第六十二页，共74页。5

38、5库存管理库存管理(gunl)(gunl)问题问题 在总需求一定的条件在总需求一定的条件(tiojin)下，企业所需原材料的订购费用与下，企业所需原材料的订购费用与保管费用是成反比的。保管费用是成反比的。订购订购(dnggu)批量大批量大,次数少次数少,费用就小费用就小,保管费用就相应保管费用就相应增加；增加；订购批量小订购批量小,次数多次数多,费用就大费用就大,保管费用就相对较少。保管费用就相对较少。因此就有一个如何确定因此就有一个如何确定订购订购批量使批量使总费总费用最少的用最少的问题问题。下。下面我面我们们只研究等批量等只研究等批量等间间隔隔进货进货的情况，它是指某种物的情况，它是指某种

39、物资资的的库库存量下降到零存量下降到零时时，随即到，随即到货货，库库存量由零恢复到最高存量由零恢复到最高库库存存，每天保每天保证证等量供等量供应应生生产产需要，使之不需要，使之不发发生缺生缺货货。第62页/共74页第六十三页，共74页。假假设设(jish)某企某企业业某种物某种物资资的年需用量的年需用量为为R,单单价价为为P,平均一次平均一次因此因此订货订货(dng hu)费费用用为为2）保管）保管费费用用 在在进货进货周期周期(zhuq)内都是初始最大，最内都是初始最大，最终为终为零，零，订货费用为订货费用为C1，年保管费用率（即保管费用与库存商品价年保管费用率（即保管费用与库存商品价值之比

40、）为值之比）为，订货批量为，订货批量为 ，进货周期（两次进货间隔进货周期（两次进货间隔)，进货周期进货周期，则年总费用由两部分组成：则年总费用由两部分组成：)订货费用每次订货费用为订货费用每次订货费用为1，年订货次数为，年订货次数为所以全年每天平均库存量为，故保管费用为所以全年每天平均库存量为，故保管费用为 于是总费用于是总费用故可用求最值法求得最优订购批量故可用求最值法求得最优订购批量 ，最优订购次数最优订购次数以及最以及最优进货优进货周期周期，此时总费用最小。，此时总费用最小。第63页/共74页第六十四页，共74页。解解 设设最最优订购优订购批量批量(p lin)为为则订购则订购次数次数为

41、为 例例8 某种物某种物资资一年需用量一年需用量为为24000件，每件价格件，每件价格为为40元，元，年保管年保管费费率率12%,为为，每次，每次订购费订购费用用为为64元，元，试试求最求最优订购优订购批量批量最最优订购优订购次数，最次数，最优进货优进货(jn hu)周期和最小周期和最小总费总费用（假用（假设产设产品的品的销销售是均匀的）售是均匀的）于是于是(ysh)订货订货费用为费用为，保管费用为，保管费用为 从而总费用从而总费用 第64页/共74页第六十五页，共74页。又因为又因为(yn wi)于是于是(ysh)当当件件时总费时总费用最低，从而用最低，从而(cng r)最优订货批量最优订货

42、批量 (件件/批批)最优订货批次最优订货批次 (批批/年年)最优进货周期最优进货周期 (天天)(全年按全年按360天计天计)最小进货总费用最小进货总费用 (元元)令令 得得 (件件/批批)第65页/共74页第六十六页，共74页。函数的相对函数的相对(xingdu)变化率变化率函数的弹性函数的弹性1、弹性、弹性(tnxng)定定义义(dngy)2 设设函数函数在点在点与自与自变变量的相量的相对对改改变变量量之比之比称称为为函数从函数从到到当当时时，的极限称的极限称为为在在导导数，也就是相数，也就是相对变对变化率，或称化率，或称弹弹性。性。两点间的相对变化率，两点间的相对变化率，或称两点间的弹性或

43、称两点间的弹性处的相对处的相对记记作作 处可导处可导,函数的相对改变量函数的相对改变量第66页/共74页第六十七页，共74页。是是 的函数的函数(hnsh),若若 可导可导 即即为为定定值值。对对一般一般(ybn)的的的的弹弹性性(tnxng)函数。函数。函数函数 在点在点 的弹性的弹性 反映了随着反映了随着 的变化的变化 变化幅度的大小变化幅度的大小,也就是也就是 随随 变化反映的强烈列程度变化反映的强烈列程度或灵敏度或灵敏度.表示在表示在 ,当当 产生产生1%的变化时的变化时,近似的近似的称为称为当当为定值时为定值时则有则有改变改变第67页/共74页第六十八页，共74页。(为为常数）的常数

44、）的弹弹性性(tnxng)函函数。数。例例9 求函数求函数 在在 处的弹性处的弹性(tnxng).解解例例10 求幂函数求幂函数 解解 可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意(rny)点点处弹性不变，所以称为不变弹性函数处弹性不变，所以称为不变弹性函数 第68页/共74页第六十九页，共74页。为商品在价格为商品在价格(jig)为时的需求价格为时的需求价格(jig)弹性记为弹性记为即即2 2需求需求(xqi)(xqi)弹性与供给弹性弹性与供给弹性(1)(1)需求需求(xqi)(xqi)弹性弹性“需求需求”是指在一定价格条件下，消是指在一定价格条件下，

45、消费费者愿意者愿意购买购买并且并且(bngqi)有有能力能力购买购买的商品量。通常需求是价格的函数，的商品量。通常需求是价格的函数，P 表示商品表示商品的价格的价格,Q 表示需求量，表示需求量，称为需求函数。称为需求函数。定义定义3 设某商品的需求函数在设某商品的需求函数在P处可导处可导,称称 第69页/共74页第七十页，共74页。解解 需求需求(xqi)函数为函数为例例11 已知某商品的需求已知某商品的需求(xqi)函数函数 求求 时的需求弹性并说明时的需求弹性并说明(shumng)其意义其意义 说明说明P=5时，价格上涨时，价格上涨1%，需求量减少，需求量减少0.5说明说明P=10时，价格

46、与需求的变动幅度相同时，价格与需求的变动幅度相同说明说明P=15时，价格上涨时，价格上涨1%，需求量减少，需求量减少1.5第70页/共74页第七十一页，共74页。（2 2）供给）供给(gngj)(gngj)弹性弹性 “供供给给”是指在一定价格是指在一定价格(jig)条件下，生条件下，生产产者愿意出售并且有者愿意出售并且有可供出售的商品量。通常供可供出售的商品量。通常供给给是价格是价格(jig)的函数，的函数，P表示商品表示商品(shngpn)的价格，的价格，Q表示供表示供给给量，量，称称为为供供给给函数函数我们用我们用D表示需求曲表示需求曲线线，用，用表示供给曲线，如图示表示供给曲线，如图示定

47、义定义4 设某商品的供给函数设某商品的供给函数在处可导，称在处可导，称 为商品在价格为商品在价格即即为时的供给弹性，记为时的供给弹性，记第71页/共74页第七十二页，共74页。当时，需求量当时，需求量 大于供给量大于供给量 ，供不应求，供不应求，会形成抢购黑市会形成抢购黑市(hish)等，将导致价格上涨，增加；等，将导致价格上涨，增加；（3 3）均衡）均衡(jnhng)(jnhng)价格价格 均衡均衡(jnhng)价格是市场上需求量与供给量相等时的价格是市场上需求量与供给量相等时的价格。在图中是在需求曲线与供给曲线的交点处价格。在图中是在需求曲线与供给曲线的交点处的处的横坐标，此时需求量与供给

48、量均为的处的横坐标，此时需求量与供给量均为 ,称均衡称均衡(jnhng)商品量商品量当时，需求量当时，需求量 小于供给量小于供给量 ，供大于求；商品，供大于求；商品滞销。这种状况也不会持久，必然导致价格下跌，滞销。这种状况也不会持久，必然导致价格下跌，P减小减小。总之，市场上商品价格将围绕均衡价格摆动总之，市场上商品价格将围绕均衡价格摆动 第72页/共74页第七十三页，共74页。而将而将 的商品称为的商品称为(chn wi)富有弹性商品富有弹性商品由于，而边际由于，而边际(binj)收益收益当时，取得当时，取得(qd)最大值最大值 3.边际收益与需求弹性的关系边际收益与需求弹性的关系由此可知，当由此可知，当 时，递增，即价格上时，递增，即价格上涨会使总收益增加；价格下跌会使总收益减少涨会使总收益增加；价格下跌会使总收益减少当当 时，递增，即价格上涨会使总收益时，递增，即价格上涨会使总收益减少；价格下跌会使总收益增加减少；价格下跌会使总收益增加在经济学中，将在经济学中，将 的商品称为缺乏弹性商品，的商品称为缺乏弹性商品，将将 的商品称为单位弹性商品，的商品称为单位弹性商品，第73页/共74页第七十四页，共74页。