高等数学下曲线曲面积分优秀PPT.ppt
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1、高等数学下曲线曲面积分第一页,本课件共有92页第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十章 第二页,本课件共有92页一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,1.引例引例:曲线形构件的质量采用第三页,本课件共有92页设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点,2.定义定义下列“乘积
2、和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数,称为积分弧段.曲线形构件的质量和对第四页,本课件共有92页如果 L 是 xoy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中dx 可能为负.第五页,本课件共有92页3.性质性质(k 为常数)(由 组成)(l 为曲线弧 的长度)第六页,本课件共有92页(5)对称性与二重积分类似L关于y轴对称轮换对称性(6)可将重心,转动惯量推广到曲线弧上第七页,本课件共有92页二、对弧长的曲线积
3、分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分说明说明:(1)因此积分限必须满足第八页,本课件共有92页(2)注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”.第九页,本课件共有92页如果曲线 L 的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广:设空间曲线弧的参数方程为则第十页,本课件共有92页例例1.计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)第十一页,本课件共有92页例例2.计算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得第十二页,本课件共有92页例例3.计
4、算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解解:线第十三页,本课件共有92页例例4.计算其中为球面 被平面 所截的圆周.解解:由对称性可知第十四页,本课件共有92页 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧内容小结内容小结第十五页,本课件共有92页思考与练习思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示提示:原式=利用对称性第十六页,本课件共有92页2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于 z 轴的转动惯量(2)求它的质心.解解:设其密度为 (常数).(2)L的质量而(1)第十七页,本课件共有92页故重心坐标为第十八页,本课件共有92页第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质
5、二、二、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十章 第十九页,本课件共有92页一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.第二十页,本课件共有92页2.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在
6、有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线.称为被积函数被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作第二十一页,本课件共有92页3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!第二十二页,本课件共有92页二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有如果曲线 L 的方程为则
7、有第二十三页,本课件共有92页例例1.计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取 x 为参数,则解法解法2 取 y 为参数,则从点的一段.第二十四页,本课件共有92页例例2.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则第二十五页,本课件共有92页例例3.计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解:(1)原式(2)原式(3)原式第二十六页,本课件共有92页三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方
8、程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第二十七页,本课件共有92页例例4.将积分化为对弧长的积分,解:解:其中L 沿上半圆周第二十八页,本课件共有92页1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结第二十九页,本课件共有92页3.计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧第三十页,本课件共有92页4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧:第三十一页,本课件共有92页第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应
9、用 第十章 第三十二页,本课件共有92页区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)复连通区域(有“洞”区域)域 D 边界L 的正向正向:域的内部靠左域的内部靠左定理定理1.设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,则有(格林公式格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一一、格林公式格林公式 其中L是的取正向的边界曲线第三十三页,本课件共有92页说明:(1)格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立;(2)在一定条件下可以用二重积分计算曲线积分,也可以用曲线积分计算二重积分。(4)几何应用:正向闭曲线正向闭曲线L 所围区域所围区域 D 的面积的面积(在格林公式中,取则有)(3)对于复连通区域D,公式右
10、端应包括D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对D来说都是正方向。第三十四页,本课件共有92页推论推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式例如例如,椭圆所围面积第三十五页,本课件共有92页例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明证证:令则利用格林公式,得?第三十六页,本课件共有92页例例2.计算其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解解:令,则利用格林公式,有第三十七页,本课件共有92页例3.计算其中L是曲线上从点(0,0)到点的一段。解解:添加为围成的封闭区间第三十八页,本课件共有92页例例4.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向
11、闭曲线.解解:令设 L 所围区域为D,由格林公式知第三十九页,本课件共有92页在D 内作圆周取逆时针方向,对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式,得第四十页,本课件共有92页二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.设D 是单连通域,在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)(4)在 D 内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 第四十一页,本课件共有92页说明说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利
12、用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;第四十二页,本课件共有92页例例5.计算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D,则第四十三页,本课件共有92页例例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设则由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使。第四十四页,本课件共有92页积分与路径无关例6.计算其中为自点A(-1,0)沿至B(2,3)的弧段(如图)解:由题知构造一个单连通
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