21若干数学问题中的数学文化_数学文化.ppt

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1、第二章第二章若干数学问题中的若干数学问题中的数学文化数学文化 第一节第一节毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯学派与1一、毕达哥拉斯学派和他们的一、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数万物皆数”1.毕达哥拉斯毕达哥拉斯Pythagoras(约前约前570年年前前500年）年）毕达哥拉斯是公元前毕达哥拉斯是公元前500500多年古希腊的哲学家、多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。数学家、天文学家。2毕达哥拉斯毕达哥拉斯(公元前公元前570570年公元前年公元前500500年年)3 毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但也致力于哲学与数学的研究，促进了数学但也致力于哲学与数学的

2、研究，促进了数学 和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士 多德的思想产生很大影响。多德的思想产生很大影响。4相传相传“哲学哲学”（希腊原词（希腊原词 意为意为 “智力爱好智力爱好”）和）和 “数学数学”（希腊原（希腊原词词 意为意为“可学到的知识可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。这两个词是毕达哥拉斯本人所创。52.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献毕达哥拉斯学派在数学上的贡献 1）数学证明的起始数学证明的起始 泰勒斯泰勒斯毕达哥拉斯毕达哥拉斯欧几里得欧几里得 证明是要有假设的证明是要有假设的:公设、公理及定义。公设、公理及定义。许多人推测，欧几里得许多人

3、推测，欧几里得几何原本几何原本前两卷的前两卷的 大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。6 2）数学抽象的提出数学抽象的提出 从实物的数与形，抽象到数学上的数与从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。形，本身就把数学推向了科学。3）毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理 即即“直角三角形两条直角边的平方和等直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股。在中国叫商高定理或勾股定理。定理。7中国关于勾股定理的贡献中国关于勾股定理的贡献 周髀算经周髀算经卷上记载西周开国时期周公与卷上记载西周开国时期周公与 大夫商高讨论勾股测

4、量的对话，商高答周公问时大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到提到 “勾广三勾广三 股修四股修四 经隅五经隅五”这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前荣方与陈子（约公元前6 6、7 7世纪）的对话中，则世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式包含了勾股定理的一般形式 “以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。并而开方除之，得邪至日。”89 中中国国数数学学史史上上最最先先完完成成勾勾股股定定理理证证明明的的，是是公公元元3 3世世纪纪三三国国时时期期的的赵赵爽爽。赵赵

5、爽爽注注周周髀髀算算经经，作作“勾勾股股圆圆方方图图”，其其中中的的弦弦图图，相相当当于于运运用用面面积积的的“出出入入相相补补”方方法法，证明了勾股定理。如图证明了勾股定理。如图10弦图1112 西方文献中称此定理为西方文献中称此定理为毕达哥拉斯毕达哥拉斯定理定理。曾经有人编书，收集了勾股定理的曾经有人编书，收集了勾股定理的370370种证法。种证法。133.毕达哥拉斯学派的毕达哥拉斯学派的“万物皆数万物皆数”学说学说 1）“万物皆数万物皆数”学说学说数，是世界的法则数，是世界的法则毕达哥拉斯说的毕达哥拉斯说的“数数”，是指自然数，即正整，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数数

6、，同时还包含它们的比，即正分数 。任意两条线段任意两条线段a、d都是可公度的都是可公度的“可公度的可公度的”，意即有公共的度量单位，意即有公共的度量单位 t。142）实例实例形数形数三边形数、四边形数、五边形数、三边形数、四边形数、五边形数、六边形数；如图六边形数；如图15 三边形数 四边形数 五边形数 六边形数 16“形数形数”体现了数与形的结合。体现了数与形的结合。思思：找出三边形数、四边形数、五边找出三边形数、四边形数、五边形数、六边形数等各种形数、六边形数等各种“形数形数”的尽的尽可能多的规律。可能多的规律。17毕达哥拉斯学派的毕达哥拉斯学派的“万物皆数万物皆数”学说，学说，加强了数学

7、中的理论化倾向。加强了数学中的理论化倾向。毕达哥拉斯学派相信，造物主是按照毕达哥拉斯学派相信，造物主是按照数学来创造世界的，自然现象可以通过数数学来创造世界的，自然现象可以通过数学来理解。学来理解。18 多个场合下的小整数比多个场合下的小整数比产生谐音的各个弦的长度成小整数比产生谐音的各个弦的长度成小整数比绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数 比，就会发出谐音。例如，比，就会发出谐音。例如，1 12 2时短弦的音高时短弦的音高 8 8度，度，2 23 3时短弦音高时短弦音高5 5度，度，3 34 4时短弦音高时短弦音高4 4 度；当三根弦的长度之比为度；当三

8、根弦的长度之比为3 34 46 6时，就得时，就得 到谐音。到谐音。19 同名正多边形复盖平面的情形（即铺同名正多边形复盖平面的情形（即铺正多边形地砖的情形）正多边形地砖的情形）只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地 放放6 6个正三角形，或者个正三角形，或者4 4个正方形，或者个正方形，或者3 3个正六边形，个正六边形，如图：如图：20 毕达哥拉斯学派确信：毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和宇宙的和谐在于数谐在于数”，神是以数的规律创造世界，神是以数的规律创造世界的。的。21二、二、与第一次数学危机与第一次数学危机但是，但是，对对“万物皆数万物皆数”理论

9、产生冲击的，理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的符号，这就是现在的符号，这就是 。22 1.的发现和危机的产生的发现和危机的产生 1）一个不能表成整数比的数一个不能表成整数比的数 根据毕达哥拉斯定理，边长为根据毕达哥拉斯定理，边长为1 1的正方形，其对的正方形，其对 角线长度若记为角线长度若记为 ，则，则 ，推出，推出 。如图如图:C 1 123 下边我们证明，当下边我们证明，当 时，时，不能表成不能表成 整数比。整数比。如果不然，有两个正整数如果不然，有两个正整数 和和 使使（不妨设（不妨设 是既约分数即是既约分数即 ）。两端）。

10、两端 平方得平方得 ，即，即 。由此知由此知 是偶数。由于偶数的平方是偶是偶数。由于偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，数，奇数的平方是奇数，是偶数。是偶数。24因因 “既约既约”，不能再是偶数，于是不能再是偶数，于是 是奇数。这样是奇数。这样 的左端，因的左端，因 是奇是奇数而不能被数而不能被4 4整除，右端却因整除，右端却因 是偶数而可以是偶数而可以被被4 4整除。这个矛盾说明开始的假设整除。这个矛盾说明开始的假设 是错是错误的。从而误的。从而 不能表成两个整数的比。证毕。不能表成两个整数的比。证毕。注注：这是这是“反证法反证法”的的开始开始。25 2）不可公度的线段不可公度的线段设正方形

11、的边长为设正方形的边长为 ，对角线长为，对角线长为 ，如图：，如图：d a a26 根据毕达哥拉斯定理，根据毕达哥拉斯定理，。如果存在第三个线段长为如果存在第三个线段长为 ，使得，使得 和和 都是都是 的整数倍，例如的整数倍，例如 ,这里这里 ，是整数是整数.27由由 得得 ，从，从而，又可以而，又可以类似于上一个证明类似于上一个证明导出矛盾。导出矛盾。所以，不可能存在长度为所以，不可能存在长度为 的线段，使得的线段，使得 且且 。于是，于是，与与 就是不可公度线段。就是不可公度线段。28 3）危机产生，封锁消息危机产生，封锁消息希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。一个

12、正方形的对角线与其一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的一边的长度是不可公度的 希希帕帕索斯索斯(Hippasus)Hippasus)294）无理数无理数像 这样的数这样的数 ，和其它一些不能表成，和其它一些不能表成整数比的数，称为整数比的数，称为无理数无理数。30 称两个整数之比为称两个整数之比为有理数有理数，而把，而把 一类数叫做一类数叫做无理数，即无理数，即没有道理的数没有道理的数，原来是，原来是翻译翻译出了问题。出了问题。rational number rational number 是有理数的英文名称，而是有理数的英文名称，而rationalrational是一个多义词，含有是

13、一个多义词，含有“比的比的”，“有理的有理的”意思。而词根意思。而词根ratioratio来自希腊文，完全是来自希腊文，完全是“比比”的意的意思。对思。对“rational numberrational number”正确的翻译应该是正确的翻译应该是“比比数数”。这名称正确反应了这类数是两个整数之比的。这名称正确反应了这类数是两个整数之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道的是自然内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道的是自然数。那时所谓的数。那时所谓的“数数”，都是自然数。把新产生的，都是自然数。把新产生的数叫做数叫做比数比数完全符合古人的逻辑。完全符合古人的逻辑。31 在东方，最早把在东方

14、，最早把rational number rational number 翻译过来翻译过来的是日本人。可能是那个日本人英文不好，的是日本人。可能是那个日本人英文不好，数学又不太懂，把它们翻译成数学又不太懂，把它们翻译成“有理数有理数”。而日本文字又和汉字形似，于是中国人把这而日本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来，沿用至今，形成习惯。三个字照搬过来，沿用至今，形成习惯。如果正确地把两个整数之比叫做如果正确地把两个整数之比叫做“比数比数”，那么像，那么像 一类的数称为一类的数称为“非比数非比数”，还是，还是颇有道理的。颇有道理的。322.“两个量的比相等两个量的比相等”的新定义的新定义

15、部分地消除了危机部分地消除了危机 33 两个量的比相等，即两个量的比相等，即 。约公元前约公元前370370年，希腊数学家年，希腊数学家欧多克索斯欧多克索斯和和阿契阿契塔塔的定义：的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第称四个量的第一个和第二个之比与第三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量的的任何相同的倍数任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他，第二个和第四个量的任何其他的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对

16、第二个量的倍数的相应关系量的倍数的相应关系”。34这种定义，也被欧几里得在这种定义，也被欧几里得在几何原几何原本本中采用。中采用。353.无理数与数系的扩张无理数与数系的扩张危机的解决危机的解决1）有理数的稠密性有理数的稠密性定义：定义：“一个数集在数轴上是稠密的一个数集在数轴上是稠密的”是指，在是指，在数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（小的区间（,）中都存在着这个数集中的点。）中都存在着这个数集中的点。定理：有理数集在数轴上是稠密的。定理：有理数集在数轴上是稠密的。36 2）数轴数轴 古代观点：数轴古代观点：数轴有理数有理数 现

17、代观点：数轴现代观点：数轴实数实数373）数系的扩张数系的扩张危机的解决危机的解决 自然数系自然数系 有理数系有理数系 实数系实数系38实数系具有连续性。有理数系具有稠密实数系具有连续性。有理数系具有稠密 性性,却不具有连续性。却不具有连续性。数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。数系的稠密性，通俗说成数系的稠密性，通俗说成“到处都有到处都有”、“密密麻麻密密麻麻”；数系的连续性，通俗说成；数系的连续性，通俗说成“一个挨一个一个挨一个”、“针插不进，水泼不进针插不进，水泼不进”。连续性是一个很好的性质。但是对连续性是一个很好的性质。但是对“数系数系 的连续

18、性的连续性”的概念，给出严格的数学定义，就的概念，给出严格的数学定义，就 不那么容易了。不那么容易了。39思思：能说能说“任何两个有理数之间都有任何两个有理数之间都有无理数无理数”吗？为什么？吗？为什么？40三、反证法与无理数三、反证法与无理数 1.反证法反证法1）反证法的威力）反证法的威力41 例：例：有数学书、物理书、外语书共十本。有数学书、物理书、外语书共十本。证明证明：在这三种书籍中，有一种书籍至少：在这三种书籍中，有一种书籍至少有四本。有四本。正面证法：正面证法：穷举法穷举法数学书数学书10 9 9 8 8 8 7 7 7 7 0 0物理书物理书0 0 1 0 1 2 0 1 2 3

19、 0 10外语书外语书0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 10 0422）反证法的步骤）反证法的步骤应用反证法证明的主要步骤有三步：应用反证法证明的主要步骤有三步：否定命题否定命题推导出矛盾推导出矛盾命题成立。命题成立。实施证明的具体步骤是：实施证明的具体步骤是：第一步，第一步，反设反设：作出与求证命题相反的假设；：作出与求证命题相反的假设；第二步，第二步，归谬归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；正确推理导出矛盾；第三步，第三步，结论结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。433）哈代对反证法

20、的评论）哈代对反证法的评论“反证法是远比任何弃子术更为高超的一种策反证法是远比任何弃子术更为高超的一种策略。棋手可以牺牲的是只是几个棋子，而数学家可略。棋手可以牺牲的是只是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋。以牺牲整个一盘棋。”442.“是无理数是无理数”的另一个反证法证的另一个反证法证明。明。45 算术基本定理：设 是任一正整数，则 其中 是素数，在不计次序的意义下，表示式是唯一的。46 证明：设 （p,q 为正整数），则 ，于是 。设 表示为 个素因数的乘积：表示为 个素因数的乘积：于是，是 个素数的乘积，是 个素数的乘积。这样，是 个素数的乘积，因为它有额外的素因数 2。分解成素数的数

21、目是偶数，分解成素数的数目是奇数，这违反了算术基本定理。这个矛盾证明了不存在平方是2 的有理数。（“是有理数”导致了矛盾。）473.定理：设定理：设是大于是大于1的自然数，的自然数，写成不同素数方幂的乘积为写成不同素数方幂的乘积为，则则是有理数是有理数全全是偶数。是偶数。48抓三堆：抓三堆：有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如100粒、粒、200粒、粒、300粒），甲、粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什

22、么？49提示：提示：二进制二进制50“抓三堆”的二进制解法 用二进制表示这三堆谷粒数，写成三行，并上下对齐，各列相加，用二进制表示这三堆谷粒数，写成三行，并上下对齐，各列相加，列的加法定义为列的加法定义为 这就是这就是模模2 2加法加法。（只要是。（只要是2 2的倍数，就记为的倍数，就记为0 0）关于关于模模2 2加法加法，可以推广；比如推广为，可以推广；比如推广为 模模7 7加法：加法：例例1 1：1 1号是星期一，问号是星期一，问 2727号是星期几？号是星期几？解答解答：2727号与号与1 1号相差号相差2626天，因为天，因为 ，说明过去，说明过去3 3个个7 7天之后，天之后，再过再

23、过5 5 天，这样天，这样2727号这天就是星期一再加上号这天就是星期一再加上5 5天，即星期六。（事实上，天，即星期六。（事实上，这里只要是有这里只要是有7 7的倍数，就都可以记为的倍数，就都可以记为0 0。）。）例例2 2：1 1号是星期三，问号是星期三，问 2727号是星期几？（答：星期一）号是星期几？（答：星期一）51思思：9月 号是星期 ，问 9月 号是星期几？52 我们断言：把三堆谷粒数均表为二进制，写我们断言：把三堆谷粒数均表为二进制，写成三行，将位数对齐，成三行，将位数对齐，各列模各列模2 2相加相加，若和全为，若和全为0 0，则后抓者有必胜策略；，则后抓者有必胜策略；若和中出

24、现若和中出现1 1，则先，则先抓者有必胜策略。抓者有必胜策略。和中出现和中出现1 1时，先抓者的具体策略是：先抓者时，先抓者的具体策略是：先抓者从最左边的从最左边的1 1所在的所在的列列，寻找某堆的谷粒数中相，寻找某堆的谷粒数中相应的列也有应的列也有1 1，就从该堆中抓走适当个数，使得，就从该堆中抓走适当个数，使得抓完后各列的和（抓完后各列的和（模模2 2）为）为0 0。53“抓三堆”中的数学思想1.1.由于谷粒数越来越少，最后，先抓者可以使得后由于谷粒数越来越少，最后，先抓者可以使得后抓者抓者始终始终面临各列模面临各列模2 2之和为（之和为（0 0，0 0，0 0）状）状态，这意味着先抓者获

25、胜。态，这意味着先抓者获胜。2.2.后抓者只要抓，谷粒就将减少，因此该行中至少后抓者只要抓，谷粒就将减少，因此该行中至少有一个有一个1 1变为变为0 0（如果（如果1 1都不变为都不变为0 0，只会使谷粒数，只会使谷粒数增加或不变），从而该列模增加或不变），从而该列模2 2之和将为之和将为1 1。于是先。于是先抓者就不会面临（抓者就不会面临（0 0，0 0，0 0）状态。）状态。3.3.先抓者的正确抓法，应使得各列模先抓者的正确抓法，应使得各列模2 2之和均为之和均为0 0。即，即，先抓者应总是抓成（先抓者应总是抓成（0 0，0 0，0 0）状态）状态。54 例1：设原始状态（2，3，4），则先抓者胜。例2：设原始状态（5，8，13），则后抓者胜。例3：设原始状态（5，12，13），则先抓者胜。55推推广广改为改为“规定谁抓到最后一把谁输规定谁抓到最后一把谁输”？改为改为“抓四堆抓四堆”？改为改为“抓五堆抓五堆”、“抓六堆抓六堆”，以至，以至“抓抓n堆堆”？改为用改为用“三进制三进制”？56本节结束本节结束谢谢！谢谢！57地中海的灿烂阳光地中海的灿烂阳光 古希腊的数学 数学发展史之数学发展史之希腊希腊 58