初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质.ppt

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1、上页上页下页下页返回返回1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间初等函数的连续性及闭区间 上连续函数的性质上连续函数的性质一、初等函数的连续性一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质上页上页下页下页返回返回一、初等函数的连续性一、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的；连续的；1.基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性幂函数在其定义域内是连续的幂函数在其定义域内是连续的.1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质上页上页下页下页返回返回基本初等函数

2、在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理1一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定理定理2定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.如如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,注注1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质上页上页下页下页返回返回 初等函数求极限的简便方法初等函数求极限的简便方法 代入法代入法例例1 1解解1.7 1.7 初等函数

3、的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质上页上页下页下页返回返回二、闭区间上连续函数的性质二、闭区间上连续函数的性质定义定义1 1.)()()()()()()(,),(0000值值小小上上的的最大最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 通常把最大值记作通常把最大值记作M，把最小值记作，把最小值记作m.例如例如1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质上页上页下页下页返回返回在在闭区

4、间上连续的闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得函数在该区间上一定能取得最大值和最小值最大值和最小值 性质性质1（最大最小值定理）（最大最小值定理）性质性质1中的条件中的条件“闭区间闭区间”和和“连续性连续性”必不必不可少可少 注注Mm1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质上页上页下页下页返回返回性质性质2（有界性定理）（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界证证开区间开区间不连续不连续性质性质2中的条件中的条件“闭区间闭区间”和和“连续性连续性”必不必不可少可少 注注1.7 1.7 初

5、等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续上连续，且且)(af与与)(bf异号异号(即即0)()(bfaf),),那么在开区间那么在开区间()ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点,即至少有一点即至少有一点x x)(ba x x，使使0)(=x xf.性质性质3 零点存在定理零点存在定理称作称作根的存在定理根的存在定理因此，也可把这个性质因此，也可把这个性质几何意义：几何意义：如右图如右图连续曲线弧的端点在连续曲线弧的端点在x轴两侧轴两侧则

6、一定会经过则一定会经过x轴至少一次轴至少一次.1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质上页上页下页下页返回返回例例3证证由零点存在定理由零点存在定理,至少有一根至少有一根.内内在区间在区间证明方程证明方程,2,1)(上连续上连续在在则则xf至少有一根至少有一根.内内在区间在区间所以方程所以方程1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质上页上页下页下页返回返回例例4证证由零点存在定理由零点存在定理,1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数

7、的性质上页上页下页下页返回返回性质性质 4(介值定理介值定理)上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf=)(及及Bbf=)(,那么，对于那么，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间内至少有一点内至少有一点，使得，使得由零点存在定理由零点存在定理,证证1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质上页上页下页下页返回返回在闭区间上连续的函数必可取得介于在闭区间上连续的函数必可取得介于最大值与最小值之间的任何值最大值与最小值之间的任何值.几

8、何解释几何解释：闭区间：闭区间上的连续上的连续曲线曲线与直线与直线至少相交一次至少相交一次.性质性质xyabmMCAB1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质上页上页下页下页返回返回内容小结内容小结1.初等函数的连续性初等函数的连续性1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算求极限的另一种方法求极限的另一种方法2.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质最大最小值定理最大最小值定理;有界性定理有界性定理;零点存在定理（根的存在性定理）；介值定理零点存在定理（根的存在性定理）；介值定理.注意条件注意条件1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立上页上页下页下页返回返回思考练习思考练习1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质下述命题是否正确？下述命题是否正确？上页上页下页下页返回返回解答解答不正确不正确.例如函数例如函数思考练习思考练习 2-2xy1.7 1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质