初等变换与线性方程组.ppt

《初等变换与线性方程组.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初等变换与线性方程组.ppt（171页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR1第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与线性方程组与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR2第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换三、小结上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR3第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵

2、的初等变换与线性方程组 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法再并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大度较大.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR4第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组引例引例一、

3、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR5第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组解解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR6第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR7第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组于是解得于是解得（2）上

4、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR8第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR9第三章第三章 矩

5、阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR10第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩

6、阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR11第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR12第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆

7、变换仍为初等变换,且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR13第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛.三、初等矩阵的概念上

8、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR14第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR15第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR16第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR17第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR1

9、8第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR19第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR20第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR21第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR22第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方

10、程组 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵.初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR23第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组四、矩阵的等价四、矩阵的等价（1）如果矩阵）如果矩阵A经有限次初等行变换变成经有限次初等行变换变成

11、B，就称矩阵，就称矩阵A与与B行等价，记作行等价，记作（2）如果矩阵）如果矩阵A经有限次初等列变换变成经有限次初等列变换变成B，就称矩阵，就称矩阵A与与B列等价，记作列等价，记作（3）如果矩阵）如果矩阵A经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成B，就称矩阵就称矩阵A与与B等价，记作等价，记作上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR24第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价等价有如下性质

12、等价有如下性质与与矩阵矩阵BA上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR25第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定理 设 是 矩阵，则(1)的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵P，使得 。(2)的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵Q，使得 。(3)的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得 。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR26第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组A可逆的充分必要条件是上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR27第三章第三章 矩阵

13、的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR28第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR29第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR30第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR31第三章第三章

14、矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；（2）、每个台阶）、每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR32第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是

15、由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR33第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例如，例如，上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR34第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单

16、的矩阵.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR35第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组由定理知，的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵P，使得 。将A变成行最简型，并求相应的可逆变换阵P的方法：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR36第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例 把如下矩阵化为行最简形矩阵，并求相应的可逆变换阵P：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR37第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 定理定理2 2 设设A A为

17、可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵证证即即上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR38第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR39第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 解解例例上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR40第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR4

18、1第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组即即初等行变换初等行变换上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR42第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，不能作任何列变换 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR43第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR44第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组列变换列变换列变换列变换上页上页 下页

19、下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR45第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组解解例例3 3上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR46第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR47第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR48第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组1.1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等

20、变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:三、小结上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR49第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组课堂作业：求矩阵A的行阶梯阵和最简型上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR50第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系第二节第二节 矩阵的秩矩阵的秩上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR51第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组一、矩阵秩的概

21、念第二节第二节 矩阵的秩矩阵的秩二、矩阵秩的求法-初等变换法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR52第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵秩的概念上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR53第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR54第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例1解解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR55第三章第三章 矩阵的初等变换

22、与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例2解解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR56第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组如果逐个判别每一个子式计算量是很大的。由例2可知，如果矩阵是一个行阶梯阵，那么它的秩与最高阶非零子式是很容易求得。定理：如果矩阵A中有一个r阶子式不为零，而包含该子式的所有r+1阶子式全为零，则该矩阵的秩为r。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR57第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例3 3解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，上页上页 下页下页 返回返回

23、 结束结束 Made By QQIR58第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此方法简单！此方法简单！上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR59第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？证证二、矩阵秩的求法-初等变换法自己看书。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR60第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made B

24、y QQIR61第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR62第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR63第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组证毕证毕上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR64第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方

25、程组矩阵的初等变换与线性方程组初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4解解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR65第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR66第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR67第三章第三章 矩阵的初

26、等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR68第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR69第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR70第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.上页上页 下页下页 返回返

27、回 结束结束 Made By QQIR71第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR72第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例5 5解解分析：分析：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR73第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR74第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR

28、75第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例已知解1：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR76第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组由于由于A的秩是的秩是2，因此，因此故故上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR77第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组解2：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR78第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组由于由于A的秩是的秩是2，因此，因此故故上页上页 下页下页 返回返回

29、结束结束 Made By QQIR79第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组解解3：由于：由于A的秩是的秩是2，因此，因此故故上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR80第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即

30、寻找矩阵中非零子式的最高阶数);三、小结上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR81第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系第三节第三节 线性方程的解线性方程的解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR82第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第三节 线性方程的解一、线性方程组有解的判定条件三、小结二、线性方程组的解法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR83第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方

31、程组问题：问题：证证必要性必要性.(),nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设=(),根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 nDn从而从而一、线性方程组有解的判定条件上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR84第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR 即即充分性充分性.(),nrAR=设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn-任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量

32、为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR85第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bAx=()(),BRAR 设设则则B B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程，这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾.()().BRAR=因此因此上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR86第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组并令并令 个自由未知量全取个自由未知

33、量全取0 0，rn-即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性.()(),BRAR=设设()()(),nrrBRAR=设设证毕证毕其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量,把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量,上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR87第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组小结小结有唯一解有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，：系数矩阵化成行最简

34、形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最行最简形矩阵简形矩阵，便可写出其通解；，便可写出其通解；上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR88第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR89第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组即得与原方程

35、组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR90第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组由此即得由此即得上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR91第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故方程组无解故方程组无解上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR92第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例 求解非齐次方

36、程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR93第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组故方程组有解，且有故方程组有解，且有上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR94第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组所以方程组的通解为所以方程组的通解为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR95第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例 解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变

37、换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR96第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR97第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组由此得通解：由此得通解：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR98第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组例例 设有线性方程组设有线性方程组解解上页上页 下页下页 返回返回 结束

38、结束 Made By QQIR99第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR100第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组其通解为其通解为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR101第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组这时又分两种情形：这时又分两种情形：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR102第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

39、Made By QQIR103第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR104第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组思考题上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR105第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组解解思考题解答上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR106第三

40、章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR107第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR108第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组故原方程组的通解为故原方程组的通解为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR109第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系第五节第五节 综合与提高综合与提高上页上页 下

41、页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR110第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组一 本章知识回顾二、典型问题三、测试题上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR111第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换初等变换的定义上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR112第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组初等变换 逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变

42、换同一类型的初等变换上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR113第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组反身性反身性传递性传递性对称性对称性矩阵的等价矩阵A与B等价的必要条件是A与B是同型矩阵。上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR114第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵为初等矩阵初等矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By

43、 QQIR115第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组（）换法变换：对调两行（列），得初等（）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR116第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组（）倍法变换：以数（非零）乘某行（）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵列），得初等矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR117第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组（）消法变换：以数乘某行（列）加到另（）消法变换：以数乘某行（列）加

44、到另一行（列）上去，得初等矩阵一行（列）上去，得初等矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR118第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定理定理定理定理推论推论4初等矩阵与初等变换的关系上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR119第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为为0 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的；每个台阶只有

45、一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元一个非零元例如例如5行阶梯形矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR120第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为个非零元为1 1，且这些非零元所在列的其它元素都，且这些非零

46、元所在列的其它元素都为为0 0例如例如6行最简形矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR121第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0例如例如7矩阵的标准形上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR122第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组所有与所有与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一等价的

47、矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵矩阵上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR123第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定义定义定义定义8矩阵的秩上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR124第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定理定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数9矩阵秩的性质及定理上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR125第三章第三章 矩阵的初

48、等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR126第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组定理定理定理定理10线性方程组有解判别定理上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR127第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别

49、定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解11线性方程组的解法上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR128第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩二、求解线性方程组二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典型例题上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Made By QQIR129第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组求矩阵的秩有下列基本方

50、法求矩阵的秩有下列基本方法（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩一、求矩阵的秩（）用初等变换即用矩阵的初等行（或（）用初等变换即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（