曲线曲面基础精选课件.ppt

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1、关于曲线曲面基础第一页，本课件共有58页第二页，本课件共有58页工业产品外形分类 一类是仅由初等解析曲面初等解析曲面（例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等）组成，大多数机械零件属于这一类，可以用画法几何与机械制图的方法完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息。第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船舶的外形零件。这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的。自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚，成为工程师们首要解决的问题。人们一直在寻求用数用数学方法唯一定义自由曲线和曲面的形状学方法唯一定义

2、自由曲线和曲面的形状。第三页，本课件共有58页 曲面造型（Surface Modeling）是计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design，CAGD）和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图形系统的环境下对曲线曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面（Rational B-Spline Surface）为基础的参数化特征设计和隐式代数曲面（Implicit Algebraic Sur

3、face）表示这两类方法为主体，以插值（Interpolation）、逼近（Approximation）这两种手段为骨架的几何理论体系。第四页，本课件共有58页6.曲线曲面基础-16.1 认识曲线与曲面认识曲线与曲面6.2 曲面造型的发展历程曲面造型的发展历程6.3 曲线曲面的参数表达曲线曲面的参数表达6.4 Bezier曲线曲线6.5 B样条曲线样条曲线6.6 NURBS曲线曲线第五页，本课件共有58页6.2 曲线曲面发展历程 19631963年年美美国国波波音音飞飞机机公公司司的的佛佛格格森森（FergusonFerguson）最最早早引引入入参参数数三三次次曲曲线线，将将曲曲线线曲曲面面

4、表表示示成成参参数数矢矢量量函函数数形形式式，构构造造了了组组合合曲曲线线和和由由四四角角点点的的位位置置矢矢量量、两个方向的切矢来定义的佛格森双三次曲面片。两个方向的切矢来定义的佛格森双三次曲面片。19641964年年，美美国国麻麻省省理理工工学学院院的的孔孔斯斯（CoonsCoons）用用封封闭闭曲曲线线的的四四条条边边界界定定义义一一张曲面。同年，舍恩伯格（张曲面。同年，舍恩伯格（SchoenbergSchoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。提出了参数样条曲线、曲面的形式。第六页，本课件共有58页 19711971年年，法法国国雷雷诺诺（RenaultRenault）汽汽车车

5、公公司司的的贝贝塞塞尔尔（BezierBezier）发发表表了了一一种种用用控制多边形定义曲线和曲面的方法。控制多边形定义曲线和曲面的方法。19741974年年，美美国国通通用用汽汽车车公公司司的的戈戈登登（GordenGorden）和和里里森森费费尔尔德德（RiesenfeldRiesenfeld）将将B B样条理论用于形状描述，提出了样条理论用于形状描述，提出了B B样条曲线和曲面。样条曲线和曲面。u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）titi3ti1ti2ti4ti5ti6ti7第七页，本课件共有58页 19751975年年，美

6、美国国锡锡拉拉丘丘兹兹（SyracuseSyracuse）大大学学的的佛佛斯斯普普里里尔尔（VersprillVersprill）提提出出了了有有理理B B样条方法。样条方法。8080年年代代后后期期皮皮格格尔尔（PieglPiegl）和和蒂蒂勒勒（TillerTiller）将将有有理理B B样样条条发发展展成成非非均均匀匀有有理理B B样样条条（NURBSNURBS）方方法法，并并已已成成为为当当前前自自由由曲曲线线和和曲曲面面描描述述的的最最广广为为流流行行的的技技术。术。第八页，本课件共有58页 非非均均匀匀有有理理B B样样条条（NURBSNURBS）成成为为当当前前大大多多数数商商用

7、用CADCAD软软件件系系统统的的内内部部表表达达技技术。术。Solid Edge CATIAUG NXPro/EInventor第九页，本课件共有58页6.曲线曲面基础-16.1 认识曲线与曲面认识曲线与曲面6.2 曲面造型的发展历程曲面造型的发展历程6.3 曲线曲面的参数表达曲线曲面的参数表达6.4 Bezier曲线曲线6.5 B样条曲线样条曲线6.6 NURBS曲线曲线第十页，本课件共有58页曲线曲面的参数表示非参数表示有显式和隐式之分。显式表示显式表示如曲面方程z=f(x,y)，式中每个z值对应唯一的x、y值，该表示计算非常方便，但无法描述多值或封闭面，如球。隐式表示隐式表示如曲面f(

8、x,y,z)=0，这种表示不便于由已知的参量x、y计算z值。-1=0第十一页，本课件共有58页曲线参数表示曲线参数表示 空间曲线上一点p的每个坐标被表示成参数u的函数：x=x(u),y=y(u),z=z(u)合起来，曲线被表示为参数u的矢函数矢函数：p(u)=x y z=x(u)y(u)z(u)最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为：P(t)=P1+(P2-P1)t t0,1;P(t)=(1-t)P1+tP2 t0,1;第十二页，本课件共有58页参数表示优点1.易于满足几几何何不不变变性性的要求，可以对参数方程直接进行几何变换，节省计算量。曲线曲面参数表示的几何不曲

9、线曲面参数表示的几何不变性是指它们不依赖于坐标变性是指它们不依赖于坐标系的选择或者说在旋转和平系的选择或者说在旋转和平移变换时形状保持不变。移变换时形状保持不变。3.有更大的自由度自由度来控制曲线、曲面的形状。例如：一条二维三次曲线的显式表示为：只有四个系数控制曲线的形状。而采用二维三次曲线的参数表达式为：则有8个系数可用来控制此曲线的形状。2.易于规定曲线、曲面的范围范围。第十三页，本课件共有58页参数表示优点（续）4.易于处理多值问题和斜率无穷大的情形。5.易于计算曲线、曲面上的点，而隐式方程需求解非线性或者超越方程。另外，求导、等距计算也被简化。6.参数方程中，代数、几何相关和无关的变量

10、是完全分离的，而且对变量个数不限制，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。第十四页，本课件共有58页有关基本概念介绍位置矢量位置矢量切矢切矢法矢法矢曲率、挠率曲率、挠率插值：插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值、抛物线插值等。逼近：逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。拟合：拟合：插值和逼近则统称为拟合（fitting）。第十五页，本课件共有58页

11、6.曲线曲面基础-16.1 认识曲线与曲面认识曲线与曲面6.2 曲面造型的发展历程曲面造型的发展历程6.3 曲线曲面的参数表达曲线曲面的参数表达6.4 Bezier曲线曲线6.5 B样条曲线样条曲线6.6 NURBS曲线曲线第十六页，本课件共有58页Bezier曲线给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式插值公式是：其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数，也称为调和函数调和函数：第十七页，本课件共有58页三次Bezier曲线由P0、P1、P2、P3四个控制点构成的控制多边形来

12、构造。则三次Bezier曲线表示为：此时调和函数为：上式展开表示为：第十八页，本课件共有58页三次Bezier曲线性质1.1.端点性质端点性质 曲线过控制顶点的首末顶点。将u0和1分别代入表达式p(u)中可知p(0)=P0,p(1)=P3。第十九页，本课件共有58页2.2.切矢性质切矢性质 曲线在首末两点相切于多边形的起、止边。对三次Bezier曲线求一阶导数:第二十页，本课件共有58页4.4.凸包性凸包性 Bezier曲线不会越出特征多边形的顶点所围成的凸包。3.3.对称性对称性 将控制顶点反序仍可得到同样形状的曲线。Q0Q1Q2Q3Q0Q1Q2Q3第二十一页，本课件共有58页三次Bezie

13、r曲线实例第二十二页，本课件共有58页Bezier曲线的计算及绘制 在参数空间t0,1进行均匀插值，计算对应的坐标点，然后连接成线，这条线就是折线逼近的Bezier曲线。第二十三页，本课件共有58页编程实现编程实现：第二十四页，本课件共有58页 也可写成矩阵表达式，式中若求PX(t)的值，则取Pi的x坐标进行计算，同理求Py(t)、Pz(t)的值，具体如下：Px(t)B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)P0 x P1x P2x P3x T Py(t)B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)P0y P1y P2y P3y T Pz(t)B0,3(t)B1,3(

14、t)B2,3(t)B3,3(t)P0z P1z P2z P3z T 注意：上式基函数的计算仅需一次，不必三次。Bezier曲线的绘制：曲线的绘制：例如利用上面的计算方法可分别求出 t0.0，0.05，0.10，0.15，0.95，1.0时的曲线上的点，依次连接相邻两点为直线段，即可得近似的曲线图形。第二十五页，本课件共有58页Bezier曲线几何作图与分割特性 给定参数t（t0,1），把定义域0,1分成长度为t:(1-t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点 。对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样

15、的定比分割，得第二级中间顶点 。重复进行下去，直到n级递推得到一个中间顶点P0n即为所求曲线上的点P(t)。例如：对三次Bezier曲线（给定参数域 t0,1）上t1/3的点。把定义域分成长度为1/3:(1-1/3)的两段。依次对原始控制多边形每一边执对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点P01、P11、P21。对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点P02、P12。重复进行下去，直到第3级递推得到一个中间顶点P03，即为所求曲线上的点P(t)。第二十六页，本课件共有58页 这一算法隐含说明任一Bezier曲线

16、均可被分割为两段Bezier曲线。第一段由P0、P01、P02、P03确定，参数空间为0,1/3;第二段P03、P12、P21、P3确定，参数空间为1/3,1,分割后的曲线形状保持不变。如图所示。第二十七页，本课件共有58页Bezier曲线拼接，工程实际中存在许多复杂形状的曲线或曲面不可能用一条Bezier曲线拟合出复杂的曲线，但可采用分段Bezier曲线经拼接后拟合实际中存在的复杂曲线。工程应用中，希望各段曲线在连接处光滑，即切矢连续切矢连续(一阶几何连一阶几何连续续)或曲率连续曲率连续(二阶几何连续二阶几何连续)。这里仅讨论切矢连续的问题。第二十八页，本课件共有58页，下图所示为两段三次B

17、ezier曲线的一阶连续拼接：Q1 由图中可以看出，Q1的移动只要满足共线要求即可满足二曲线的切矢光滑拼接（即一阶几何连续）。而不需满足P(1)Q(0)（即一阶导数连续）。也就是说一阶几何连续比一阶导数连续限制更宽松，也能满足光滑连续的工程要求，这是参数表达的优势之一。第二十九页，本课件共有58页Bezier曲线的不足BezierBezier曲线的不足：曲线的不足：一是特征多边形顶点数决定了特征多边形顶点数决定了BezierBezier曲线的阶次曲线的阶次，并且当n很大时，特征多边形对曲线形状的控制将会减弱。二是Bezier曲线不能作局部修改，改变某一控制点将波及整条曲线。其原因是调和函数其原

18、因是调和函数B Bi,ni,n(t)(t)在整个区间内均不为零。在整个区间内均不为零。三是绘制复杂曲线需要拼接，比较繁琐。因此发展了B样条曲线 1972年Gordon等人拓展了Bezier曲线，用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进了Bezier特征多边形与Bernstein多项式次数有关、且整体逼近的弱点。第三十页，本课件共有58页6.曲线曲面基础-16.1 认识曲线与曲面认识曲线与曲面6.2 曲面造型的发展历程曲面造型的发展历程6.3 曲线曲面的参数表达曲线曲面的参数表达6.4 Bezier曲线曲线6.5 B样条曲线样条曲线6.6 NURBS曲线曲线第三十一页，本课件共有58页B

19、样条曲线 n+1个控制点Pi(i=0,1,n)构成特征多边形的顶点，k+1阶(k次)B样条曲线的表达式是：其中Ni,k(u)是调和函数，也称为基函数，按照递归公式可定义为：第三十二页，本课件共有58页un+k+1u0u1un+k 式中：式中：U=u0,u1,un+k,un+k+1 称为称为B样条基函数的节点向量，样条基函数的节点向量，ui 为节点值，且为节点值，且应满足应满足ui ui1，即节点值应满足有序递增（允许有重节点）。，即节点值应满足有序递增（允许有重节点）。第三十三页，本课件共有58页均匀三次B样条曲线 由于B样条曲线比较复杂，为分析的方便性，本文先以均匀三次B样条为例进行分析，其

20、节点矢量等距分布节点矢量等距分布(即即u ui i1 1u ui i常数常数)。前面的B样条基函数可展开为：空间n+1个控制顶点Pi（i=0，1，n）可构造n2段三次（k3，四阶）均匀B样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段Pi(u)，（i=1，n2）。式中u0,1第三十四页，本课件共有58页 如任意四个顶点Pi、Pi+1、Pi+2、Pi+3作为特征多边形构造的均匀三次B样条曲线段的方程Pi(u)可表达式为：式中：u0,1 第三十五页，本课件共有58页均匀三次B样条曲线的程序实现第三十六页，本课件共有58页均匀三次B样条曲线的几何意义由前面可导出如下公式：()()()()()3i2i1ii1i

21、3ii3i2i1iiP2PP1pPP211pP4PP611p+-=-=+=&(1)(1)曲曲线线起起点点位位于于以以PiPi+1PiPi+1和和Pi+1Pi+2Pi+1Pi+2为为两两邻邻边的平行四边形的对角线的边的平行四边形的对角线的1/61/6处。处。(2)(2)起起 点点 的的 切切 矢矢 与与P Pi+2i+2P Pi i平平 行行，模模 为为|P|Pi+2i+2-P-Pi i|/2|/2。(3)(3)起起点点的的二二阶阶导导矢矢是是以以P Pi iP Pi+1i+1和和P Pi+1i+1P Pi+2i+2为为两两邻边的平行四边形的对角线方向。邻边的平行四边形的对角线方向。(4)(4)

22、曲曲线线段段末末点点的的情情形形与与上上述述三三点点类类似似，只是向前推移一个顶点。只是向前推移一个顶点。第三十七页，本课件共有58页 由由前前面面的的推推导导可可知知，第第一一段段曲曲线线的的末末点点与与第第二二曲曲线线的的首首点点满满足足满足二阶函数连续。满足二阶函数连续。依依次次类类推推，各各曲曲线线段段的的末末点点与与下下一一个个曲曲线线段段的的首首点点均均满满足足满满足二阶函数连续，这是足二阶函数连续，这是B B样条曲线的优势之一。样条曲线的优势之一。因此采用因此采用B B样条曲线直接能够构造光滑的复杂曲线。样条曲线直接能够构造光滑的复杂曲线。Pi4Pi5第三十八页，本课件共有58页

23、均匀三次均匀三次B样条曲线的几何作图样条曲线的几何作图 根根据据B B样样条条曲曲线线起起点点和和终终点点的的位位置置、起起点点和和终终点点的的切切矢矢方方向向即即可可近近似的几何作图。似的几何作图。四点共线四点共线二重顶点二重顶点三重顶点三重顶点第三十九页，本课件共有58页B样条曲线性质1.1.对称性对称性 将控制顶点反序仍可得到同样形状的曲线。Q0Q4Q5Q8Q1,Q2,Q3Q6,Q7第四十页，本课件共有58页2.2.凸包性凸包性 即B样条曲线不越出特征多边形顶点所围成的凸包（如图中阴影所示）。Pi4Pi5第四十一页，本课件共有58页3.3.B B样条曲线具有局部性质。样条曲线具有局部性质

24、。对均匀三次B样条曲线任意段修改时，只被相邻的三个顶点控制，与其它的控制点无关。换句话说，每段k次B样条曲线只涉及k1个基函数，并由k1个顶点所定义。如图，当修改P5时，只影响P2至P8之间的四条样条段(A至B)，对其它段则不产生影响。这一特点对曲线的设计和修改非常有利。第四十二页，本课件共有58页4.4.连续性连续性 均匀三次B样条曲线段连接处具有二阶连续性。一般来说，k次B样条曲线具有k1阶函数连续性。由前面的作图过程可知，当出现重复控制顶点时，曲线几何连续性可能下降（但函数导数仍连续），甚至产生尖点。当节点矢量出现重复节点时，在其重节点处曲线连续性将逐次下降。如当在P2处为二重节点时，连

25、接处为一阶连续，而当P2为三重节点时，导数不连续，此时将出现尖点。5.5.造型的灵活性造型的灵活性 性质4的特点说明，只要灵活选用控制点的位置和节点的重复数，可以获得特殊要求的曲线段。第四十三页，本课件共有58页B样条曲线的拼接第四十四页，本课件共有58页B样条曲线的反算由：由：得：得：第四十五页，本课件共有58页第四十六页，本课件共有58页 对于开曲线，则首末点边界切矢可由用户随意交互给定 对于封闭曲线，则首末的位置相同，且边界切矢方向相同边界条件补充时应注意：第四十七页，本课件共有58页B样条曲线与Bezier曲线的比较1、Bezier曲线的基函数的次数等于控制顶点数减一，而B样条曲线的基

26、函数的次数与控制点数无关，即可用任意多的控制点来拟合三次均匀B样条曲线。原因是B样条曲线是分段拟合的，这样构造复杂曲线更方便。2、Bezier曲线的起点和终点正好是控制多边形的首末控制点，控制形状直观方便。而B样条曲线不经过控制多边形顶点。第四十八页，本课件共有58页3 3、为使B样条曲线经过控制多边形首末控制顶点，使之具有Bezier类似的优点。实际应用中常引入准均匀B样条，即在节点矢量中两端节点具有k1个重复度。例如：当控制点数n7，次数k3的准均匀三次B样条曲线的节点矢量可定义为u0，0，0，0，1，2，3，3，3，3。第四十九页，本课件共有58页4、若三次B样条曲线n4，k3的节点矢量

27、u0，0，0，0，1，1，1，1，此时三次B样条曲线转化为三次Bezier曲线。因此，可以说因此，可以说BezierBezier曲线仅是曲线仅是B B样条曲线的特例，也就是样条曲线的特例，也就是说说B B样条表达能力完全覆盖了样条表达能力完全覆盖了BezierBezier表达表达。第五十页，本课件共有58页5 5、B样条曲线比Bezier曲线具有更紧致的凸包。因此，因此，B B样条方法的凸包性比样条方法的凸包性比BezierBezier方法优越，使曲线更方法优越，使曲线更加逼近特征多边形。加逼近特征多边形。因此，B样条表达比Bezier更优越，应用更广泛。第五十一页，本课件共有58页6.曲线曲

28、面基础-16.1 认识曲线与曲面认识曲线与曲面6.2 曲面造型的发展历程曲面造型的发展历程6.3 曲线曲面的参数表达曲线曲面的参数表达6.4 Bezier曲线曲线6.5 B样条曲线样条曲线6.6 NURBS曲线曲线第五十二页，本课件共有58页NURBS曲线式中：式中：NURBS称非均匀有理B样条NURBS仍采用B样条基函数，但采用有理表达有理表达，增加权值控制增加权值控制。第五十三页，本课件共有58页第五十四页，本课件共有58页第五十五页，本课件共有58页 非均匀有理B样条（NURBS）具有B样条的所有性质，但比B样条更强大的表达能力。1.能表达Bezier 2.能表达B样条 3.能表达多项式代数曲线 4.能精确表达圆锥曲线：直线 圆、圆弧 椭圆 抛物线 双曲线 因此NURBS在CAD系统中应用最广，已经成为STEP标准中的一部分。第五十六页，本课件共有58页本章思考题1.了解曲面造型的发展。2.掌握Bezier表达方法，试计算三次Bezier曲线t0.3时的值，并与几何作图法进行比较。3.掌握B样条表达方法，计算均匀三次B样条曲线t0.5时的值。用几何作图法进行B样条曲线的近似作图（要求控制多边形含四点共线、二重顶点、三重顶点）。4.了解NURBS曲线。5.了解B样条曲线的反算原理。第五十七页，本课件共有58页感感谢谢大大家家观观看看第五十八页，本课件共有58页