无穷限反常积分精选课件.ppt

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1、关于无穷限反常积分01.03.202301.03.20231 1第一页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20232 210.1 10.1 无穷限的反常积分无穷限的反常积分 (积分区间无限积分区间无限 无穷积分无穷积分)10.210.2无界函数的无界函数的反常积分反常积分 (被积函数无界被积函数无界 瑕积分瑕积分)第十章第十章 反反 常常 积积 分分(广义积分广义积分)第二页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20233 3 引引 例例一、无穷积分的一、无穷积分的概念概念二、无穷积分的二、无

2、穷积分的性质性质 三三、无穷积分无穷积分与数项级数的关系与数项级数的关系四四、无穷积分无穷积分收敛性判别法收敛性判别法第三页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20234 4 引例：引例：问题：0 xy1b即这是积分区间为即这是积分区间为1，+）的积分。）的积分。解：解：由于这个图形不是封闭的曲边梯由于这个图形不是封闭的曲边梯形形,而在而在x轴的正方轴的正方 向是开口的，向是开口的，第四页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20235 5显然当显然当b改变时，改变时，曲边梯形的面积也随之改变

3、，曲边梯形的面积也随之改变，则所求曲边梯形的面积为则所求曲边梯形的面积为1.1.第五页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20236 6一、无穷积分的概念一、无穷积分的概念.定义定义:设函数 f(x)在区间a,+)上连续,任取b a,如果极限存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a,+)上的广义积分广义积分,记作(1)第六页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20237 7这时记号 不再表示数值了。例如：oyxb1这时也称广义积分 收敛;若上述极限不存在,就称广义积分 发散,第七页，本课

4、件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20238 8 类似地,设函数 f(x)在区间(,b上连续,取a b,如果极限存在,(2)这时也称广义积分 收敛;若上述极限不存在,就称广义积分 发散.即即 f(x)在无穷区间(,b上广义积分广义积分,记作则称此极限为函数第八页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20239 9设函数设函数 f(x)在区间在区间(,+)上连续上连续,都收敛都收敛,则称上述两个广义积分之和为函数则称上述两个广义积分之和为函数 f(x)在区间在区间(,+)上广义积分上广义积分.(3)

5、如果广义积分如果广义积分 记作记作即即第九页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20231010 这时这时,也称广义积分也称广义积分 收敛收敛;否则就称广义积分否则就称广义积分 发散发散.上述三种广义积分统称为上述三种广义积分统称为:无穷限的广义积分（无穷限的广义积分（无穷积分无穷积分）.第十页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20231111解解：注注:为方便起见为方便起见,把把aboxy第十一页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20

6、231212第十二页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20231313解解:加加第十三页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20231414证证:当 p=1时 当 p 1时 第十四页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20231515结论结论类似于类似于p级数级数第十五页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20231616练习练习1.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值确定下列无穷

7、积分是否收敛，若收敛算出它的值.解：解：第十六页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20231717第十七页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20231818第十八页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20231919作业作业1：下列无穷积分是否收敛？：下列无穷积分是否收敛？若收敛，算出它们的值若收敛，算出它们的值.作业作业2：求下列无穷积分：求下列无穷积分：第十九页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.20

8、2301.03.20232020二、无穷积分的性质二、无穷积分的性质（1）、）、对于无穷限积分也有换元法则.（2）、）、（3）、）、（4）、）、第二十页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20232121Cauchy收敛原理(准则)：和无穷级数类似，反常积分也有绝对收敛绝对收敛和条件收敛条件收敛的概念：第二十一页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20232222定理：定理：绝对收敛的反常积分一定收敛，绝对收敛的反常积分一定收敛，但收敛的却不一定绝对收敛但收敛的却不一定绝对收敛.(见例题见例

9、题8)第二十二页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20232323三、无穷积分与数项级数的关系三、无穷积分与数项级数的关系二者有密切的联系二者有密切的联系:由函数极限与数列极限的关系知：由函数极限与数列极限的关系知：并且有同一极限值并且有同一极限值.海涅定理海涅定理第二十三页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20232424分析分析:第二十四页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20232525第二十五页，本课件共有44页10.1 无穷

10、限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20232626oyx12345第二十六页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20232727四四.无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法1.比较判别法比较判别法:则有则有:第二十七页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.202328282.极限形式极限形式:则则:第二十八页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20232929.柯西判别法柯西判别法:第二十九页，本课件共有44页10.1

11、 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.202330304.极限形式极限形式:第三十页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20233131例例4：解：解：参考函数参考函数第三十一页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20233232例例5：解：解：第三十二页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20233333解：解：加加.讨论讨论 的收敛性，的收敛性，根据比较判别法根据比较判别法第三十三页，本课件共有44页10.1 无

12、穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20233434例例6：解：解：故故由柯西判别法极限形式第三十四页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20233535第二中值定理第二中值定理（作用相当于级数中的阿贝尔变换）（作用相当于级数中的阿贝尔变换）有阿贝尔判别法有阿贝尔判别法判判别法与别法与狄利克雷判别法狄利克雷判别法两种判别法证明需要用如下中值定理两种判别法证明需要用如下中值定理第三十五页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20233636特别地特别地利用第二中值定理可以证

13、明利用第二中值定理可以证明A-判别法和判别法和D-判别法判别法第三十六页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20233737*.阿贝尔判别法阿贝尔判别法了解内容了解内容第三十七页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20233838例例8：证明：证明：由由A-判别法知，所讨论级数收敛判别法知，所讨论级数收敛.第三十八页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20233939*.狄利克雷判别法狄利克雷判别法了解内容了解内容第三十九页，本课件共有44

14、页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20234040例例7：证明：证明：先证明此积分收敛先证明此积分收敛第四十页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20234141再证明此积分收敛非绝对收敛再证明此积分收敛非绝对收敛第四十一页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20234242例例9：证明：证明：第四十二页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.20234343作业：作业：p 64.2（单）（单）8（双）（双）第四十三页，本课件共有44页10.1 无穷限反常积分无穷限反常积分01.03.202301.03.2023感感谢谢大大家家观观看看第四十四页，本课件共有44页