重积分的对称性与轮换对称性精.ppt

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1、重积分的对称性与轮换对称性第1页，本讲稿共21页对称性对称性对于二重积分的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：当f(x)在区间上为连续的奇函数时,当f(x)在区间上为连续的偶函数时,第2页，本讲稿共21页这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分原点的区间上的定积分 在计算二重积分时，若积分区域具有某种对在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的。下面，我们将此结论类似地推广到二重积分下面，我们将

2、此结论类似地推广到二重积分第3页，本讲稿共21页解：解：第4页，本讲稿共21页积分区域积分区域D关于坐标区域内任意直线对称关于坐标区域内任意直线对称如果积分域如果积分域D关于直线关于直线y=ax+b对称，则二重积分对称，则二重积分其中其中D1为为D在以直线在以直线y=ax+b为轴的右半平面部分为轴的右半平面部分第5页，本讲稿共21页第6页，本讲稿共21页证明:若区域D对称于直线y=ax+b,不妨设a0，即倾斜角为锐角.首先，平移坐标轴，得坐标系xoy如上图即第7页，本讲稿共21页其次，将坐标系xoy沿逆时针方向旋转，旋转角为 (tan =a)使x轴与直线y=ax+b重合得新坐标系uov第8页，

3、本讲稿共21页第9页，本讲稿共21页第10页，本讲稿共21页雅可比行列式为雅可比行列式为:即证即证第11页，本讲稿共21页第12页，本讲稿共21页解：由于积分区域D关于直线x=1对称，被积函数 在区域D上关于（x-1）为奇函数y在区域D上关于（x-1）为偶函数第13页，本讲稿共21页补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性第14页，本讲稿共21页第15页，本讲稿共21页第16页，本讲稿共21页轮换对称性轮换对称性第17页，本讲稿共21页第18页，本讲稿共21页其中D是平面x=0，y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧第19页，本讲稿共21页解：因为积分曲面解：因为积分曲面D关于关于x，y，z具有轮换对称性，所以具有轮换对称性，所以 =第20页，本讲稿共21页谢谢！谢谢！第21页，本讲稿共21页