随机过程及其应用精.ppt

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1、随机过程及其应用第1页，本讲稿共14页(1)零初值：x(0)=0(2)平稳增量：即任给 ,0h,x(t)-x(s)与x(t+h)-x(s+h)同分布(3)独立增量：即对任何正整数n和任意非负实数：有 相互独立(4)单跳跃：即limP(x(t+h)-x(t)2)/h=0 (t 0)(5)随机性：即0P(x(t+h)-x(t)=0)0的伯松过程，第4页，本讲稿共14页令M(t)=M(1,t)+M(2,t)+M(n,t),则M(t),t 0为强度n 的伯松过程。设第n个到达系统的顾客的时刻为 (n),则T(n)=(n)-(n-1)表第n个和第n-1个顾客相继到达的时间间隔。下面的定理3.3描述了伯

2、松过程的一个等价定义。定理3.3x(t),t 0是强度为 的伯松过程的等价条件为T(n),n=1,2,是相互独立同分布的随机序列，且其分布是参数为 的负指数分布。第5页，本讲稿共14页泊松过程的定数结束检验法检验：H0:过程x(t),t 0为泊松过程.H1:过程x(t),t 0不是泊松过程其方法如下：(1)对一个顾客流，首先确定一个较大的数n,然后观察并纪录顾客相继到达的时刻s(1)s(2)0时，y(t)=Z(1)+Z(2)+Z(x(t)第9页，本讲稿共14页则称y(t),t 0为复合泊松过程。定理3.5:设y(t),t 0是一个复合泊松过程，则：(1)y(t),t 0具有独立增量(2)y(t

3、),t 0具有平稳增量(3)令Z(1)的特征函数为f(u)则y(t)的特征函数为 (4)若E 则E(y(t)=tE(Z(1),var(y(t)=tE(Z(1)例5 设某人寿保险公司保险单持有人在时刻第10页，本讲稿共14页 索取保险金 的权利。设 是相 互 独立 的 具 有公共分布的随机 变量，再设 在0，t）内死亡的个数为 ，是一个强度为 的泊松过 程，则保险公司在0，t）内 准备 支付 的总保险金额 为 第11页，本讲稿共14页例6 设保险公司开业时的本金为 ，单位时间的营运成本为 ，0，t）内投保的人数为 是一个强度为 的 泊松 过程 。第i个投保人的保费收入为 ，设 独立同分布。则在0

4、，t）内保险 公司的收入为：第12页，本讲稿共14页例7：设0,t)内到达商场的顾客数Z(t),且Z(t),t 0是强度为 的泊松过程；进入商场的第n个顾客是否购物是随机的，设为x(n),且x(n)独立同分布，P(x(n)=1)=P(第n个人购了物）=p,P(x(n)=0)=q当“x(n)=1”时第n个顾客的购物金额是随机的，设为w(n),并设w(n)是独立同分布的故进入商场的第n个顾客（不论他购物与否）的购物金额为x(n)w(n).设y(t)表0,t)时段内某商场的销售额，则第13页，本讲稿共14页Y(t)=x(1)w(1)+x(2)w(2)+x(z(t)w(z(t).由定理3.5可算得E(y(t),var(y(t).当商场举行促销活动时，可由此算盈亏平衡点。注：Ew(1)x(1)=EE(w(1)|x(1)=Ew(1)|x(1)=0)P(x(1)=0)+E(w(1)|x(1)=1)p(x(1)=1)=E(w(1)|x(1)=1)p第14页，本讲稿共14页