二重积分精选课件.ppt

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1、关于二重积分第一页，本课件共有33页一一 二重积分的定义二重积分的定义第二页，本课件共有33页积积积积分分分分区区区区域域域域积积分分和和被被积积函函数数积积分分变变量量被被积积表表达达式式面面面面积积积积元元元元素素素素第三页，本课件共有33页注：注：1 在二重积分定义中，对区域在二重积分定义中，对区域D的划分的划分是任意的，故是任意的，故如果在直角坐标系中用平如果在直角坐标系中用平边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域则则故在直角坐标系中，故在直角坐标系中，都是矩形闭区域。设矩形小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域的边长为的边长为和和行于坐标轴的直线网来

2、划分行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含，则除了包含，第四页，本课件共有33页0 xyD直角坐标系下面积元素直角坐标系下面积元素图示图示第五页，本课件共有33页2 存在性：当存在性：当在闭区域在闭区域D上连续时，函数上连续时，函数在D上的二重积分必定存在。以后总假定上的二重积分必定存在。以后总假定在在D 上上的二重积分是存在的。的二重积分是存在的。3 由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数在在D上的二重积分上的二重积分平面薄片的质量是面密度平面薄片的质量是面密度在薄片所占闭区域在薄片所占闭区域D上的上的二重积分：二重积分：第六页，本课件共有33页

3、4 二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：1）如果）如果则二重积分则二重积分解释解释为曲顶柱体的体积。为曲顶柱体的体积。2）如果）如果则二重积分则二重积分解释解释为曲顶柱体体积的负值。为曲顶柱体体积的负值。3）如果）如果则二重积分则二重积分解释为曲顶柱体体积的代数和。解释为曲顶柱体体积的代数和。（其中（其中xoy面上方柱体的体积取正，面上方柱体的体积取正，xoy面下方柱体的体积取负）面下方柱体的体积取负）。第七页，本课件共有33页二二 二重积分的性质二重积分的性质性质性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即：号的外面，即：性质性质2 函数的和（

4、或差）的二重积分等于函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。各个函数的二重积分的和（或差）。(Property of double integral)第八页，本课件共有33页性质性质3(区域可加性区域可加性)如果闭区域如果闭区域D被有限条曲线被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和于在个部分闭区域上的二重积分的和.为为D 之面积之面积性质性质4 如果在如果在D上上 （高为（高为1的平顶柱体的体积在数值上等于的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。）柱体的底面积。）第九页，本课件共有33

5、页性质性质5 若在若在D上，上，则：则：特别地，特别地，第十页，本课件共有33页性质性质6（估值定理）（估值定理）设在设在D上上f(x,y)的最大值为的最大值为M，最，最小值为小值为m，A为为D的面积，即的面积，即则则证明：证明：因为因为由性质由性质5所以所以第十一页，本课件共有33页性质性质7(中值定理中值定理)D连续，连续，之面积之面积,则在则在D上至少存在一上至少存在一使得：使得：点点在闭区域在闭区域第十二页，本课件共有33页三、利用直角坐标计算二重积分三、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有二重积分仅与被积函数及积分域有关关,为此为此,先介绍：先介绍：1、积分域、积

6、分域 D:第十三页，本课件共有33页如果积分区域为：如果积分区域为：（1）X-型区域型区域X型型 X型区域的特点型区域的特点：a、平行于、平行于y轴且穿过区域的直线轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；与区域边界的交点不多于两个；b、第十四页，本课件共有33页（2）Y-型区域：型区域：Y型型 Y型区域的特点型区域的特点：a、穿过区域且平行于、穿过区域且平行于x轴的直线与轴的直线与区域边界的交点不多于两个。区域边界的交点不多于两个。b、第十五页，本课件共有33页 2、X-型域下二重积分的型域下二重积分的计算计算:由几何意义，若由几何意义，若(x,y)0，则则此为平行截面面积为已知的立体的

7、体积此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形截面为曲边梯形面积为：面积为：第十六页，本课件共有33页yZ第十七页，本课件共有33页 注注:若若(x,y)0 仍然适用。仍然适用。注意注意:1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序:X-型域 先Y后X;3）积分限确定法:域中一线插域中一线插,内限定上下，内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：第十八页，本课件共有33页3、Y-型区域下二重积分的计算：型区域下二重积分的计算：同理：同理：Y型区域下型区域下第十九页，本课件共有33页 1）积分次序）积分次序:Y-型

8、域型域,先先x后后Y;2）积分限确定法）积分限确定法:“域中一线插域中一线插”,须用平行于须用平行于X轴的射线轴的射线穿插区域穿插区域。注意注意:第二十页，本课件共有33页 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限确确定积分限,一定要做到熟练、准确一定要做到熟练、准确。4、利用直系计算二重积分的步骤、利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型）根据积分域类型,确定积分次序；确定积

9、分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果）计算两次定积分，即可得出结果.第二十一页，本课件共有33页5、若区域为组合、若区域为组合域，如图则：域，如图则：0 6、如果积分区域既是、如果积分区域既是X型型，又是又是Y型型,则有则有第二十二页，本课件共有33页利用对称性和奇偶性利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性利用被积函数的奇偶性常常使二重积分的计算简化许多常常使二重积分的计算简化许多,避免出现繁琐避免出现繁琐的计算的计算.但在使用该方法时但在使用该方法时,要同时兼顾到被积函要同时兼顾到被积函数数的奇偶性的奇偶性面面,常用结论如下常用结论如下:(1)如果区

10、域如果区域关于关于 轴对称轴对称,则有则有当当时时的对称性的对称性,及积分区域及积分区域的对称性两方的对称性两方和积分区域和积分区域第二十三页，本课件共有33页当当时时其中其中(2)如果区域如果区域关于关于轴对称轴对称,则有则有第二十四页，本课件共有33页例例8计算计算其中积其中积分区域分区域 由曲线由曲线 与与 所围成所围成.解解令令因为因为 关于关于 轴轴且且故故完完对称对称,第二十五页，本课件共有33页例例9计算计算其中其中解法一解法一 先对先对 积分积分解法二解法二先对先对 积分积分解法三解法三利用对称性与奇偶性利用对称性与奇偶性完完第二十六页，本课件共有33页四四 利用极坐标系计算二

11、重积分利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。第二十七页，本课件共有33页1 1 直系与极系下的二重积分关系（如图）直系与极系下的二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：）二重积分转换公式：第二十八页，本课件共有33页（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角

12、坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”：第二十九页，本课件共有33页2 极系下的二重积分化为二次积分极系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。二重积分仍然需要化为二次积分来计算。第三十页，本课件共有33页（1）区域如图）区域如图1具体地（如图）具体地（如图）图图1第三十一页，本课件共有33页（2）区域如图）区域如图2图图2第三十二页，本课件共有33页感感谢谢大大家家观观看看第三十三页，本课件共有33页