2020版高中数学第四章定积分4.3.2简单几何体的体积课件北师大版选修2_2.ppt

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1、3.2简单几何体的体积简单旋转几何体的体积简单旋转几何体的体积如图，若函数如图，若函数y=f(x)y=f(x)，x=ax=a，x=bx=b以及以及x x轴围成的轴围成的平面图形绕平面图形绕x x轴旋转一周，则所得的旋转体的体积轴旋转一周，则所得的旋转体的体积V=V=【思考思考】1.1.由区间由区间c,dc,d上的连续曲线上的连续曲线x=x=(y)(y)，两直线，两直线y=cy=c与与y=dy=d及及y y轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y y轴旋转一周所成的旋转轴旋转一周所成的旋转体的体积是多少？体的体积是多少？提示：提示：V=V=2 2(y)dy.(y)dy.2.2.求由椭圆求由椭圆

2、 所围图形分别绕所围图形分别绕x x轴和轴和y y轴旋转一周所成的旋转体的体积轴旋转一周所成的旋转体的体积.提示：提示：绕绕x x轴：轴：V Vx x=绕绕y y轴：轴：V Vy y=【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)曲线曲线y=f(x)y=f(x)，x=-a(a0)x=-a(a0)，x=ax=a与与x x轴围成的图形绕轴围成的图形绕x x轴旋转一周所得旋转体体积为轴旋转一周所得旋转体体积为2 f2 f2 2(x)dx.(x)dx.()(2)y=x(2)y=x，x=-1x=-1，x=1x=1与与x x轴围成的图形绕轴围成的图

3、形绕x x轴旋转一周轴旋转一周所得旋转体体积为所得旋转体体积为0.0.()(3)y=x(3)y=x，y=x-1y=x-1与与x x轴围成的图形绕轴围成的图形绕x x轴旋转一周轴旋转一周所得旋转体体积为所得旋转体体积为 (x-1)(x-1)2 2dx(dx()提示：提示：(1)(1).体积为体积为 ff2 2(x)dx2 f(x)dx2 f2 2(x)dx.(x)dx.(2)(2).体积为体积为 xx2 2dx0.dx0.(3).(3).旋转体为大圆锥挖去一个小圆锥旋转体为大圆锥挖去一个小圆锥.2.2.我们知道我们知道 的几何意义是以的几何意义是以(0(0，0)0)为圆为圆心，心，1 1为半径的

4、单位圆在为半径的单位圆在x x轴上方部分轴上方部分(半圆半圆)的面积，的面积，则将该半圆绕则将该半圆绕x x轴旋转一周，所得几何体的体积可以轴旋转一周，所得几何体的体积可以表示为表示为()【解析解析】选选B.B.该半圆绕该半圆绕x x轴旋转一周，所得几何体是球轴旋转一周，所得几何体是球体，面积的积分是体积，半径体，面积的积分是体积，半径r=r=，面积为，面积为(1-x(1-x2 2)，所以所得几何体的体积可以表示为，所以所得几何体的体积可以表示为 3.3.由曲线由曲线y=y=和直线和直线x=1x=1及及x x轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕x x轴旋转一周所得几何体的体积为轴旋转一周所得几

5、何体的体积为()【解析解析】选选B.B.根据题意，几何体的体积根据题意，几何体的体积V=V=类型一求简单几何体的体积类型一求简单几何体的体积【典例典例】1.1.由由xy=4xy=4，x=1x=1，x=4x=4，y=0y=0围成的平面图形绕围成的平面图形绕x x轴旋转一周所得的旋转体的体积是轴旋转一周所得的旋转体的体积是_._.2.2.曲线曲线y=sin xy=sin x，x y=0 x y=0所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕x x轴轴旋转一周得到的旋转体的体积是旋转一周得到的旋转体的体积是_._.【思维思维引引】确定被积函数和积分区间，借助公式确定被积函数和积分区间，借助公式V=fV=f2

6、 2(x)dx(x)dx，计算求解，计算求解.【解析解析】1.1.由由xy=4xy=4，x=1x=1，x=4x=4，y=0y=0围成的平面图形围成的平面图形绕绕x x轴旋转一周所得的旋转体的体积是轴旋转一周所得的旋转体的体积是V=V=答案：答案：12122.2.设旋转体的体积为设旋转体的体积为V V，则，则V=sinV=sin2 2xdxxdx=答案：答案：【类题类题通通】用定积分求简单几何体的体积的四个步骤用定积分求简单几何体的体积的四个步骤(1)(1)确定旋转体是由何平面图形旋转而来，并画出平面确定旋转体是由何平面图形旋转而来，并画出平面图形图形.(2)(2)确定平面图形各边的函数，确定积

7、分区间确定平面图形各边的函数，确定积分区间.(3)(3)根据图形，确定被积函数根据图形，确定被积函数.(4)(4)利用公式利用公式V=V=求定积分求定积分.【习练习练破破】已知已知f(x)f(x)为一次函数，且为一次函数，且f(x)=x f(t)dt+1.f(x)=x f(t)dt+1.(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的解析式的解析式.(2)(2)若若g(x)=xf(x)g(x)=xf(x)，求曲线，求曲线y=g(x)y=g(x)与与x x轴所围成的区轴所围成的区域绕域绕x x轴旋转一周所得到的旋转体的体积轴旋转一周所得到的旋转体的体积.【解析解析】(1)(1)设设f(x)=kx+b.

8、f(x)=kx+b.因为因为f(x)=x f(t)dt+1f(x)=x f(t)dt+1，所以所以kx+b=xkx+b=x +1 +1，所以所以kx+b=(2k+2b)x+1kx+b=(2k+2b)x+1，所以所以k=-2k=-2，b=1.b=1.所以所以f(x)=-2x+1.f(x)=-2x+1.(2)g(x)=x(2)g(x)=xf(x)=x(-2x+1)=-2xf(x)=x(-2x+1)=-2x2 2+x.+x.令令g(x)=-2xg(x)=-2x2 2+x=0+x=0，解得解得x=0 x=0或或x=.x=.所以曲线所以曲线y=g(x)y=g(x)与与x x轴所围成的区域绕轴所围成的区域

9、绕x x轴旋转一周所轴旋转一周所得到的旋转体的体积为：得到的旋转体的体积为：V=(-2xV=(-2x2 2+x)+x)2 2dx=.dx=.类型二求较复杂几何体的体积类型二求较复杂几何体的体积【典例典例】求由曲线求由曲线y=xy=x2 2与与y=y=所围成的平面图形所围成的平面图形绕绕x x轴旋转一周所得旋转体的体积轴旋转一周所得旋转体的体积.【思维思维引引】所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可得到，再利用定积分求解即可.【解析解析】曲线曲线y=xy=x2 2与与y=y=所围成的平面图形如图所围成的平面图形如图阴

10、影部分所示阴影部分所示.设所求旋转体的体积为设所求旋转体的体积为V V，根据图像可以看出，根据图像可以看出V V等于曲等于曲线线y=y=，直线，直线x=2x=2与与x x轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕x x轴旋转一轴旋转一周所得旋转体的体积周所得旋转体的体积(设为设为V V1 1)减去曲线减去曲线y=xy=x2 2，直线，直线x=2x=2与与x x轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕x x轴旋转一周所得旋转体的轴旋转一周所得旋转体的体积体积(设为设为V V2 2).).【内化内化悟悟】如何求较复杂旋转体如何求较复杂旋转体(组合体组合体)的体积？的体积？提示：提示：将旋转体分为几个简单几何

11、体，借助公式将旋转体分为几个简单几何体，借助公式V=fV=f2 2(x)dx(x)dx分别求出体积，再相加或相减分别求出体积，再相加或相减.【类题类题通通】关于求较复杂的几何体的体积的两个技巧关于求较复杂的几何体的体积的两个技巧(1)(1)拆分拆分.可将几何体拆分成可将几何体拆分成n n个小的几何体，再分别求个小的几何体，再分别求出各部分几何体的体积后求和出各部分几何体的体积后求和.(2)(2)合并合并.若所求的几何体可以合并为一个若所求的几何体可以合并为一个(n(n个个)规则的规则的几何体，则要先合并再求积分几何体，则要先合并再求积分.因此需要对图形进行详因此需要对图形进行详细分析，再采用恰

12、当的方式求定积分细分析，再采用恰当的方式求定积分.【习练习练破破】设平面图形由设平面图形由 上的曲线上的曲线y=sin xy=sin x及直线及直线y=y=，x=x=围成，求此图形绕围成，求此图形绕x x轴旋转一周所得旋转体的体轴旋转一周所得旋转体的体积积.【解析解析】先画草图先画草图.设设f(x)=sin xf(x)=sin x，x x ，g(x)=.g(x)=.f(x)f(x)与与g(x)g(x)的交点为的交点为 【加练加练固固】如图，求由抛物线如图，求由抛物线y y2 2=8x(y0)=8x(y0)与直线与直线x+y-6=0 x+y-6=0，及，及y=0y=0所围成的图形绕所围成的图形绕

13、x x轴旋转一周所得几何体的体积轴旋转一周所得几何体的体积.【解题指南解题指南】求出曲线的交点坐标，确定被积函数和求出曲线的交点坐标，确定被积函数和积分区间，写出定积分计算求解积分区间，写出定积分计算求解.【解析解析】解方程组解方程组 所以所以y y2 2=8x=8x与直线与直线x+y-6=0 x+y-6=0的交点坐标为的交点坐标为(2(2，4).4).所求几何体的体积所求几何体的体积 类型三求旋转几何体体积的实际应用类型三求旋转几何体体积的实际应用【生活情境生活情境】某电厂冷却塔外形是由双曲线的一部分某电厂冷却塔外形是由双曲线的一部分(如图所示如图所示)绕其中轴绕其中轴(即双曲线的虚轴即双曲

14、线的虚轴)旋转所成的曲旋转所成的曲面，其中面，其中A A、AA是双曲线的顶点，是双曲线的顶点，C C、CC是冷却塔上是冷却塔上口直径的两个端点，口直径的两个端点，B B、BB是下底直径的两个端点，是下底直径的两个端点，已知已知AA=14 mAA=14 m，CC=18 mCC=18 m，BB=22 mBB=22 m，塔高，塔高20 m.20 m.(1)(1)写出该双曲线方程；写出该双曲线方程；(2)(2)求冷却塔的容积求冷却塔的容积.(.(精确到精确到1 m1 m3 3，塔壁厚度不计，塔壁厚度不计，取取3.14)3.14)【转化模板转化模板】1.1.建建数学建模，利用定积分求容积数学建模，利用定

15、积分求容积.2.2.设设设双曲线方程为设双曲线方程为 =1(a0=1(a0，b0).b0).3.3.解解(1)(1)设设B(11B(11，y y1 1)，C(9C(9，y y2 2)，双曲线方程为，双曲线方程为 =1(a0=1(a0，b0)b0)，则，则a=AA=7a=AA=7，又因为点，又因为点B B、C C在双曲线上，在双曲线上，所以所以 =1=1，=1=1，由已知，由已知，y y2 2-y-y1 1=20=20，由由，得，得y y1 1=-12=-12，y y2 2=8=8，b=7 .b=7 .故双曲线方程为故双曲线方程为 =1.=1.(2)(2)由双曲线方程，得由双曲线方程，得x x2 2=y=y2 2+49.+49.设冷却塔的容积为设冷却塔的容积为V mV m3 3，则，则V=V=经计算，得经计算，得V4 249.V4 249.4.4.答答冷却塔的容积约为冷却塔的容积约为4 249 m4 249 m3 3.