2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2.ppt

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1、2复数的四则运算2.1复数的加法与减法1.1.复数加法和减法的运算法则：复数加法和减法的运算法则：设设z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di(a=c+di(a，b b，c c，dR)dR)，则则z z1 1zz2 2=(a c)+(b d)i(a c)+(b d)i.【思考思考】两个实数的和仍然是一个实数，两个虚数的和仍然还两个实数的和仍然是一个实数，两个虚数的和仍然还是一个虚数吗？是一个虚数吗？提示：提示：不一定是不一定是.如如(4+3i)+(4-5i)=8-2i(4+3i)+(4-5i)=8-2i，(2+3i)+(4-(2+3i)+(4-3i)=63i)=6，可见两个虚数

2、的和可能是一个虚数，也可能是，可见两个虚数的和可能是一个虚数，也可能是一个实数一个实数.2.2.加法运算律：加法运算律：设设z z1 1，z z2 2，z z3 3CC，有，有(1)(1)交换律：交换律：z z1 1+z+z2 2=z z2 2+z+z1 1.(2)(2)结合律：结合律：(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).【思考思考】复数的加法和减法运算是如何转化为实数的运算的？复数的加法和减法运算是如何转化为实数的运算的？提示：提示：复数的加法和减法运算通过转化为实部、虚部复数的加法和减法运算通过转化为实部、虚部间的运算，转化为实数

3、间的运算间的运算，转化为实数间的运算.3.3.复数加减运算的几何意义复数加减运算的几何意义z z1 1，z z2 2CC，设设 分分别别与复数与复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di(a=c+di(a，b b，c c，dR)dR)相相对应对应，且，且 不共不共线线 加法加法减法减法运算运算法法则则z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)iz z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)+(b-d)i加法加法减法减法几何几何意意义义复数的和复数的和z z1 1+z+z2 2与与向量向量 的坐的坐标对应标对应 复数的差复数的

4、差z z1 1-z-z2 2与向与向量量 的坐的坐标对应标对应 【思考思考】复数与复平面内的向量一一对应，如何从向复数与复平面内的向量一一对应，如何从向量加减法的几何意义出发讨论复数加量加减法的几何意义出发讨论复数加(减减)法的运算？法的运算？提示：提示：复数的加减法可以按照向量的加减法来进行复数的加减法可以按照向量的加减法来进行.按按照平行四边形法则或三角形法则作出与照平行四边形法则或三角形法则作出与z z1 1zz2 2对应的向对应的向量，再转化为相应的复数的加减法即可量，再转化为相应的复数的加减法即可.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”

5、)”)(1)(1)复数与复数相加减后结果只能是实数复数与复数相加减后结果只能是实数.()(2)(2)在复平面内，向量在复平面内，向量 对应的复数是对应的复数是2+i2+i，则向量，则向量 对应的复数在第三象限对应的复数在第三象限.()(3)|(3+2i)-(1+i)|(3)|(3+2i)-(1+i)|表示点表示点(3(3，2)2)与点与点(1(1，1)1)之间的距之间的距离离.()提示：提示：(1).(1).复数与复数相加减后依然是复数，可能复数与复数相加减后依然是复数，可能为实数，也可能为虚数为实数，也可能为虚数.(2).(2).向量向量 对应的复数为对应的复数为-2-i-2-i，在复平面的

6、第三，在复平面的第三象限象限.(3).(3).由复数减法的几何意义可知该命题正确由复数减法的几何意义可知该命题正确.2.2.已知复数已知复数z z1 1=3+4i=3+4i，z z2 2=3-4i=3-4i，则，则z z1 1+z+z2 2=()A.8iA.8iB.6B.6C.6+8iC.6+8iD.6-8iD.6-8i【解析解析】选选B.zB.z1 1+z+z2 2=(3+4i)+(3-4i)=(3+3)+(4-4)i=6.=(3+4i)+(3-4i)=(3+3)+(4-4)i=6.3.3.复数复数z z1 1=3-2i=3-2i，z z2 2=4+5i=4+5i，则，则z z1 1-z-z

7、2 2对应的点在对应的点在()A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限【解析解析】选选C.zC.z1 1-z-z2 2=(3=(32i)2i)(4+5i)=-1-7i(4+5i)=-1-7i，对应的，对应的点的坐标为点的坐标为(-1(-1，-7)-7)，在第三象限，在第三象限.4.4.设设z z1 1=3+i=3+i，z z2 2=-4+2i=-4+2i，z z3 3=2-3i=2-3i，则，则z z1 1+z+z2 2-z-z3 3=_._.【解析解析】z z1 1+z+z2 2-z-z3 3=(3+i)+(-4+2i)-(2-3i)=

8、-3+6i.=(3+i)+(-4+2i)-(2-3i)=-3+6i.答案：答案：-3+6i-3+6i类型一复数的加法与减法运算类型一复数的加法与减法运算【典例典例】1.1.已知复数已知复数z z满足满足|z|i+z=1+3i|z|i+z=1+3i，则，则z=z=_._.2.2.计算：计算：(2+3i)+(-2+i)+(1-3i).(2+3i)+(-2+i)+(1-3i).【思维思维引引】1.1.可利用待定系数法求得可利用待定系数法求得.2.2.可根据复数的加可根据复数的加(减减)法法则计算法法则计算.【解析解析】1.1.设设z=x+yi(xz=x+yi(x，yR)yR)，则，则|z|=|z|=

9、所以所以|z|i+z=|z|i+z=i+x+yi=i+x+yi=1+3i=1+3i，所以，所以 解得解得 所以所以z=1+i.z=1+i.答案：答案：1+i1+i2.2.原式原式=4i+(1-3i)=1+i.=4i+(1-3i)=1+i.【内化内化悟悟】1.1.若若z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di，则，则z z1 1zz2 2如何计算？如何计算？提示：提示：根据复数运算法则：根据复数运算法则：z z1 1zz2 2=(ac)+(bd)i.=(ac)+(bd)i.2.2.若若z=x+yi(xz=x+yi(x，yR)yR)，则，则|z|z|是什么？是什么？提示：提

10、示：当当z=x+yi(xz=x+yi(x，yR)yR)时，时，|z|=|z|=【类题类题通通】复数加减运算的方法技巧复数加减运算的方法技巧(1)(1)复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行无括号，可从左到右依次进行.(2)(2)当利用交换律，结合律抵消掉某些项的实部与虚部当利用交换律，结合律抵消掉某些项的实部与虚部时，准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提时，准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率高解题的准确率.【习练习练破破】(1)(1)若复数若复数z z满足满足z+i-3=3-iz+i-3=3

11、-i，则，则z=_.z=_.(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=_(a(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=_(a，bR).bR).(3)(3)已知复数已知复数z z满足满足|z|+z=1+3i|z|+z=1+3i，则，则z=_.z=_.【解析解析】(1)(1)因为因为z+i-3=3-iz+i-3=3-i，所以，所以z=6-2i.z=6-2i.(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.(3)(3)设设z=x+yi(xz=x+

12、yi(x，yR)yR)，|z|=|z|=所以所以|z|+z=(+x)+yi=1+3i|z|+z=(+x)+yi=1+3i，所以所以 解得解得 所以所以z=-4+3i.z=-4+3i.答案：答案：(1)6-2i(1)6-2i(2)-a+(4b-3)i(2)-a+(4b-3)i(3)-4+3i(3)-4+3i【加练加练固固】(1)z(1)z1 1=2+3i=2+3i，z z2 2=-1+2i.=-1+2i.求求z z1 1+z+z2 2，z z1 1-z-z2 2.(2)(2)计算：计算：【解析解析】(1)z(1)z1 1+z+z2 2=2+3i+(=2+3i+(1+2i)=1+5i1+2i)=1

13、+5i，z z1 1-z-z2 2=2+3i-=2+3i-(1+2i)=3+i.1+2i)=3+i.(2)(2)类型二复数的加法与减法运算的综合问题类型二复数的加法与减法运算的综合问题【典例典例】1.1.在复平面上复数在复平面上复数-3-2i-3-2i，-4+5i-4+5i，2+i2+i所对应所对应的点分别是的点分别是A A，B B，C C，则平行四边形，则平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线 所对应的复数是所对应的复数是()A.5-9iA.5-9iB.-5-3iB.-5-3iC.7-11iC.7-11iD.-7+11iD.-7+11i2.2.已知复平面上，复数已知复平面上，复数z z1

14、 1=1+2i=1+2i，z z2 2=-2+i=-2+i，z z3 3=-1-2i=-1-2i对对应的点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第应的点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数四个顶点对应的复数.【思维思维引引】1.1.复数复数z=a+biz=a+bi在复平面上对应的向量为在复平面上对应的向量为 =(a=(a，b).b).2.2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.【解析解析】1.1.选选C.C.在复平面上复数在复平面上复数-3-2i-3-2i，-4+5i-4+5i，2+i2+i所所对应的点分别是对应的点分

15、别是A A，B B，C C，则，则 =(-3=(-3，-2)-2)，=(-4(-4，5)5)，=(2=(2，1)1)，所以平行四边形所以平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线BDBD满足满足 所对应的复数是所对应的复数是7-11i.7-11i.2.2.设复数设复数z z1 1，z z2 2，z z3 3所对应的点分别为所对应的点分别为A A，B B，C C，正方，正方形的第四个顶点形的第四个顶点D D对应的复数为对应的复数为x+yi(xx+yi(x，yR)yR)，方法一：方法一：=(x=(x，y)-(1y)-(1，2)=(x-12)=(x-1，y-2)y-2)；=(-1=(-1，-2)-(

16、-2-2)-(-2，1)=(11)=(1，-3).-3).因为因为 所以所以 解得解得 故点故点D D对应的复数为对应的复数为2-i.2-i.方法二：因为点方法二：因为点A A与点与点C C关于原点对称，点关于原点对称，点D D与点与点B B关于关于原点对称，所以原点原点对称，所以原点O O为正方形的中心，于是为正方形的中心，于是(-2+i)(-2+i)+(x+yi)=0+(x+yi)=0，所以所以x=2x=2，y=-1y=-1，故点，故点D D对应的复数为对应的复数为2-i.2-i.【内化内化悟悟】结合复数运算与向量运算的几何意义，说明如何应用结合复数运算与向量运算的几何意义，说明如何应用数

17、形结合思想解决复数问题数形结合思想解决复数问题.提示：提示：(1)(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理的变换转化成复数运算去处理.(2)(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中释，使复数作为工具运用于几何之中.【类题类题通通】复数的加法、减法运算的几何背景复数的加法、减法运算的几何背景(1)(1)复数的减法是复数加法的逆运算：设复数的减法是复数加法的逆运算：设z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di，a a，b

18、b，c c，dRdR，设，设z z1 1-z-z2 2=z=x+yi=z=x+yi，x x，yR.yR.则则z z1 1=z=z2 2+z+z，所以，所以a+bi=c+di+x+yi=(x+c)+(y+d)ia+bi=c+di+x+yi=(x+c)+(y+d)i，所以所以 所以所以 即即z z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)+(b-d)i，设设z z1 1对应对应 z z2 2对应对应 则则z z1 1-z-z2 2对应的向量为对应的向量为 这就是复数减法的几何意义这就是复数减法的几何意义.(2)(2)根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通根据题意画图得到的结论

19、，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用.【发散发散拓拓】在复平面内，在复平面内，z z1 1，z z2 2对应的点分别为对应的点分别为A A，B B，z z1 1+z+z2 2对应的点为对应的点为C C，O O为坐标原点为坐标原点.四边形四边形OACBOACB为平行四边形；为平行四边形；若若|z|z1 1+z+z2 2|=|z|=|z1 1-z-z2 2|，则四边形，则四边形OACBOACB为矩形；为矩形；若若|z|z1 1|=|z|=|z2 2|，则四边形，则四边形OACBOACB为菱形；为菱形；若若|z|z1 1|=|

20、z|=|z2 2|且且|z|z1 1+z+z2 2|=|z|=|z1 1-z-z2 2|，则四边形，则四边形OACBOACB为正为正方形方形.【延伸延伸练练】若把本例若把本例2 2改为：改为：“复数复数z z1 1=1+2i=1+2i，z z2 2=-2+i=-2+i，z z3 3=-1-2i=-1-2i对应的点是一个平行四边形的三个顶点对应的点是一个平行四边形的三个顶点”，如何求这，如何求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数？请说明理由个平行四边形的第四个顶点对应的复数？请说明理由.【解析解析】设复数设复数z z1 1，z z2 2，z z3 3对应的点分别为对应的点分别为A A，B B，C

21、 C，平行四边形的第四个顶点平行四边形的第四个顶点D D对应的复数为对应的复数为x+yi(xx+yi(x，yR)yR)，若若ACAC为平行四边形的一条对角线，为平行四边形的一条对角线，则则 即即(x(x，y)-(1y)-(1，2)=(-12)=(-1，-2)-(-2-2)-(-2，1)1)，(x-1(x-1，y-2)=(1y-2)=(1，-3)-3)，所以所以 解得解得 故点故点D D对应的复数为对应的复数为2-i.2-i.若若BCBC为平行四边形的一条对角线，则为平行四边形的一条对角线，则 同理，同理，得点得点D D对应的复数为对应的复数为-4-3i.-4-3i.若若ABAB为平行四边形的一

22、条对角线，则为平行四边形的一条对角线，则 同理，同理，得点得点D D对应的复数为对应的复数为5i.5i.【习练习练破破】1.1.已知向量已知向量 对应的复数是对应的复数是5-4i5-4i，向量，向量 对应的复对应的复数是数是-5+4i-5+4i，则向量，则向量 对应的复数是对应的复数是()A.-10+8iA.-10+8iB.10-8iB.10-8iC.-8+10iC.-8+10iD.8-10iD.8-10i【解析解析】选选A.A.记记z z1 1=5-4i=5-4i，z z2 2=-5+4i=-5+4i，由复数的几何意，由复数的几何意义，知义，知 对应的复数为对应的复数为z z2 2-z-z1

23、 1=-10+8i.=-10+8i.2.2.复平面内有复平面内有A A，B B，C C三点，点三点，点A A对应的复数是对应的复数是3+i3+i，向，向量量 对应的复数是对应的复数是-2-4i-2-4i，向量，向量 对应的复数是对应的复数是-4-i-4-i，求，求B B点对应的复数点对应的复数.【解析解析】因为因为 表示的复数是表示的复数是2+4i2+4i，表示的复数表示的复数是是4+i4+i，所以所以 =(4+i)-(2+4i)=2-3i=(4+i)-(2+4i)=2-3i，故故 =(3+i)+(2-3i)=5-2i=(3+i)+(2-3i)=5-2i，所以所以B B点对应的复数为点对应的复

24、数为z zB B=5-2i.=5-2i.【加练加练固固】(1)(2019(1)(2019平顶山高二检测平顶山高二检测)如图所示，平行四边形如图所示，平行四边形OABCOABC的顶点的顶点O O，A A，C C分别对应的复数为分别对应的复数为0 0，3+2i3+2i，-2+4i.2+4i.求：求：表示的复数；表示的复数；表示的复数；表示的复数；表示表示的复数的复数.(2)(2)已知已知z z1 1，z z2 2CC，|z|z1 1|=|z|=|z2 2|=1|=1，|z|z1 1+z+z2 2|=|=求求|z|z1 1-z-z2 2|.|.【解析解析】(1)(1)因为因为A A，C C对应的复数

25、分别为对应的复数分别为3+2i3+2i，-2+4i-2+4i，由复数的几何意义，知由复数的几何意义，知 表示的复数分别为表示的复数分别为3+3+2i2i，-2+4i.-2+4i.因为因为 所以所以 表示的复数为表示的复数为-3-2i.-3-2i.因为因为 所以所以 表示的复数为表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.因为因为 所以所以 表示的复数为表示的复数为(3+2i)+(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.(-2+4i)=1+6i.(2)(2)根据复数加减法的几何意义，由根据复数加减法的几何意义，由|z|z1 1|=|z|=|z2 2|

26、知，以知，以 为邻边的平行四边形为邻边的平行四边形OACBOACB是菱形是菱形.如图如图 对应的复数为对应的复数为z z1 1，对应的复数为对应的复数为z z2 2，所以所以 对应的复数为对应的复数为z z1 1+z+z2 2，所以，所以在在AOCAOC中，中，所以所以AOC=30AOC=30.同理得同理得BOC=30BOC=30，所以所以OABOAB为等边三角形，则为等边三角形，则 对应的复数对应的复数为为z z1 1-z-z2 2，所以，所以|z|z1 1-z-z2 2|=1.|=1.类型三复数的模及动点的轨迹问题类型三复数的模及动点的轨迹问题【典例典例】1.1.满足条件满足条件|z-i|

27、=|3+4i|z-i|=|3+4i|的复数的复数z z在复平面上在复平面上对应的点的轨迹是对应的点的轨迹是()A.A.一条直线一条直线B.B.两条直线两条直线C.C.圆圆D.D.椭圆椭圆2.2.若若zCzC，且，且|z+2|z+22i|=12i|=1，则，则|z z2 22i2i|的最小值是的最小值是多少？多少？【思维思维引引】平面内到定点的距离等于定长的点的轨平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么？迹是什么？提示：提示：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.【解析解析】1.1.选选C.C.由已知由已知|z-i|=5|z-i|=5，复数，复数z

28、z是以是以(0(0，1)1)为为圆心，以圆心，以5 5为半径的圆为半径的圆.所以轨迹为圆所以轨迹为圆.2.(2.(数形结合数形结合)如图所示如图所示因为因为|z-(-2+2i)|=1|z-(-2+2i)|=1，所以复数所以复数z z对应的点在以对应的点在以B(-2B(-2，2)2)为圆心，半径为为圆心，半径为r=r=1 1的圆上，的圆上，|z-2-2i|=|z-(2+2i)|z-2-2i|=|z-(2+2i)|的最小值表示圆上的点到的最小值表示圆上的点到A(2A(2，2)2)距离的最小值，距离的最小值，即即|z-(2+2i)|z-(2+2i)|minmin=|AB|-r=4-1=3.=|AB|

29、-r=4-1=3.【内化内化悟悟】1.1.若若z=x+yiz=x+yi，则，则|z|z|是什么？其几何意义是什么？是什么？其几何意义是什么？提示：提示：|z|=|z|=其几何意义是点其几何意义是点(x(x，y)y)到原点的到原点的距离距离.2.2.的几何意义是什么？的几何意义是什么？提示：提示：表示复平面上到点表示复平面上到点(-2(-2，2)2)的距离为的距离为1 1的点的轨迹，即以的点的轨迹，即以(-2(-2，2)2)为圆心，为圆心，1 1为半径的圆为半径的圆.【类题类题通通】(1)(1)复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)的模的模|z|=|z|=实际上就是实际上就是指复

30、平面上的点指复平面上的点Z Z到原点到原点O O的距离；的距离；|z|z1 1-z-z2 2|的几何意义的几何意义是复平面上的点是复平面上的点Z Z1 1，Z Z2 2两点间的距离两点间的距离.(2)(2)复数复数z z、复平面上的点、复平面上的点Z Z及向量及向量 相互联系，即相互联系，即z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)Z(aZ(a，b)b)【习练习练破破】复数复数z z满足条件满足条件|z+2i|-|z-2i|=2|z+2i|-|z-2i|=2，则复数，则复数z z所对应的点所对应的点Z Z的轨迹是的轨迹是()A.A.射线射线B.B.双曲线的上支双曲线的上支C.C.双曲线双曲线D.D.双曲线的右支双曲线的右支【解析解析】选选B.B.复数复数z z满足满足|z+2i|-|z-2i|=2|z+2i|-|z-2i|=2，则复数，则复数z z所所对应的点对应的点Z Z的轨迹是以的轨迹是以(0(0，-2)-2)，(0(0，2)2)为焦点的双曲为焦点的双曲线的上支线的上支.