2013版高中全程复习方略配套课件：42平面向量的基本定理及向量坐标运算（人教A版·数学文）浙江专用.ppt

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1、第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算三年三年8 8考考 高考指数高考指数:1.1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题解决简单问题;2.2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示；掌握平面向量的正交分解及坐标表示；3.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查

2、重点量共线条件的应用是考查重点.2.2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题为主题为主.1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理已知：已知：e1 1,e2 2是同一个平面内的两个是同一个平面内的两个_._.条件：对于这一平面内的任一向量条件：对于这一平面内的任一向量a,_,_实数实数1 1,2 2满足满足a=_.=_.结论：不共线的向量结论：不共线的向量e1 1,e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一叫做表示这一平面内所有向量的一组基底组基底.不共线向量不共线向量有且只有一对有且只有一对1 1e1 1+2 2e2 2【即时应

3、用即时应用】判断下列关于基底的说法是否正确（请在括号内画判断下列关于基底的说法是否正确（请在括号内画“”或或“”）.（1 1）在）在ABCABC中，中，可以作为基底可以作为基底.().()（2 2）在）在ABCDABCD中，中，可以作为基底，但可以作为基底，但 不能作为不能作为基底基底.().()（3 3）能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的）能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的.().()（4 4）零向量不能作为基底）零向量不能作为基底.().()【解析解析】由基底的定义可知（由基底的定义可知（1 1）（）（2 2）（）（4 4）正确；（）正确；（3 3）只要）只要是同一平面内两个不

4、共线的向量都可作为一组基底，故（是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，故（3 3）错）错误误.答案：答案：(1)(1)（2 2）（3 3）（4 4）2.2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示（1 1）向量的夹角）向量的夹角定义：已知如图，两个定义：已知如图，两个_a和和b，作，作 则向量则向量a与与b的夹角是的夹角是_._.范围：向量范围：向量a与与b的夹角的范围是的夹角的范围是_._.当当0 0时时,a与与b_._.当当180180时时,a与与b_._.当当=90=90时时,a与与b_._.非零向量非零向量或或AOBAOB0 0180180同向同向反向反向垂直垂直(2)(2)平面向

5、量的正交分解平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解为两个向量正交分解是把一个向量分解为两个_._.(3)(3)平面向量的坐标表示：平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与在直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成可表示成a=x a=x i+y+yj，由于，由于a与数对与数对(x,yx,y)是一一对应的，因此是一一对应的，因此向量向量a的坐标是的坐标是_,_,记作记作a=(=(x,yx,y)，其中，其中a在在x x轴上的

6、坐标轴上的坐标是是_，a在在y y轴上的坐标是轴上的坐标是_互相垂直的向量互相垂直的向量x xy y（x,yx,y）(4)(4)规定：规定：相等的向量坐标相等的向量坐标_，坐标，坐标_的向量是相等的向量；的向量是相等的向量；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系置无关，只与其相对位置有关系相同相同相同相同【即时应用即时应用】(1)(1)思考：在思考：在ABCABC中，向量中，向量 的夹角为的夹角为ABCABC，是否正，是否正确？确？提示：提示：不正确不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同求两向量的

7、夹角时，两向量起点应相同.向量向量 的夹角为的夹角为-ABC.-ABC.（2 2）已知）已知A A（2 2，0 0），），a=（x+3x+3，x-3y-5x-3y-5），若），若a=，O O为原为原点，则点，则x=_,y=_.x=_,y=_.【解析解析】答案：答案：-1 -2-1 -23.3.平面向量坐标运算平面向量坐标运算向量的向量的加、减加、减法法实数与实数与向量的向量的积积向量的向量的坐标坐标【即时应用即时应用】(1)(1)已知已知a=（1 1，1 1），），b=（1 1，-1-1），则），则(2)(2)已知点已知点A A（-1-1，-5-5）和向量）和向量a=(2,3).=(2,3).

8、若若 则点则点B B的的坐标为坐标为_._.(3)(3)设设a=(-1,2),=(-1,2),b=(1,-1),=(1,-1),c=(3,-2),=(3,-2),且且c=p pa+q+qb,则实数则实数p p、q q的的值分别为值分别为_、_.【解析解析】(1)(1)(2)(2)设设B B（x,yx,y），则），则 =（x,yx,y）-(-1,-5)=3(2,3),-(-1,-5)=3(2,3),(x,yx,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).（3 3）（3 3，-2-2）=p=p（-1-1，2 2）+q(1,-1)=(-p+q,2p-q)

9、,+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),答案：答案：（1 1）（2 2）（）（5 5，4 4）（3 3）1 41 44.4.平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab_._.x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0【即时应用即时应用】（1 1）已知）已知a=(-1,3),=(-1,3),b=(x,-1),=(x,-1),且且a、b共线，则共线，则x=_.x=_.（2 2）设）设a=(1,1),=(1,1),b=(-1,0),=(-1,0),若向量若向量a+b与向量与向量c=(

10、2,1)=(2,1)共线，共线，则则=_.=_.【解析解析】（1 1）ab,(-1),(-1)2 2-3x=0,-3x=0,（2 2）a+b=(1,1)+(-1,0)=(-1,),=(1,1)+(-1,0)=(-1,),又又(a+b)c,(-1),(-1)1-2=0,=-1.1-2=0,=-1.答案：答案：（1 1）（2 2）-1-1 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用【方法点睛方法点睛】用平面向量基本定理解决问题的一般思路用平面向量基本定理解决问题的一般思路 先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向

11、量的运算来解决式，再通过向量的运算来解决.在基底未给出的情况下，合理地在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理些性质定理.【例例1 1】如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形ABCDABCD中，中，M M，N N分别为分别为DCDC，BCBC的的中点，已知中点，已知 试用试用c,d表示表示 ,.,.【解题指南解题指南】直接用直接用c,d表示表示 有难度，可换一个角度，有难度，可换一个角度，由由 表示表示 进而求进而求【规范解答规范解答】方法一方法一:设设则则 将将代入代入得得 代入代

12、入得得方法二方法二:设设因为因为M M，N N分别为分别为CDCD，BCBC的中点，的中点，所以所以因而因而即即【反思反思感悟感悟】1.1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同基底不同,表示也不同表示也不同.2.2.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算【

13、方法点睛方法点睛】1.1.向量的几种运算体系向量的几种运算体系（1 1）向量有三种运算体系，即几何表示下的几何运算，字母表）向量有三种运算体系，即几何表示下的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算示下的运算和坐标表示下的代数运算.（2 2）几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法）几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算细心计算.2.2.两向量相等的充要条件两向量相等的充要条件两向量两向量a=(x=(x1 1,y,y1 1)，b=(x=(x2 2

14、,y,y2 2)相等的充要条件是它们的对应坐相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等，即标分别相等，即 利用利用向量相等可列出方程组求其中向量相等可列出方程组求其中的未知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标的未知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问题等问题.【例例2 2】（1 1）(2012(2012杭州模拟）在平行四边形杭州模拟）在平行四边形ABCDABCD中，中，ACAC为一为一条对角线，条对角线，则则 =()=()（A A）（）（2 2，4 4）（B B）（）（1 1，1 1）（C C）（）（-1-1，-1-1）（D D）（）（-2-2，-4-4）（2 2）已知）已

15、知A A（2 2，3 3），），B B（5 5，4 4），），C C（7 7，1010），），求求若若 求求m,nm,n.【解题指南解题指南】（1 1）由向量的坐标运算法则求解即可）由向量的坐标运算法则求解即可.（2 2）利用利用 为点为点B B的坐标减去点的坐标减去点A A的坐标求解的坐标求解.利用向量相等列出关于利用向量相等列出关于m,nm,n的方程组求解的方程组求解.【规范解答规范解答】（1 1）选）选C.C.(2)(2)【反思反思感悟感悟】求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，以求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，以及求向量的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算和坐及求向量

16、的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算和坐标形式的性质与规律标形式的性质与规律.解题过程中要注意方程思想的运用及正确解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则使用运算法则.平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示【方法点睛方法点睛】利用两向量共线解题的技巧利用两向量共线解题的技巧（1 1）一般地，在求与一个已知向量）一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求共线的向量时，可设所求向量为向量为a(R(R)，然后结合其他条件列出关于，然后结合其他条件列出关于的方程，求的方程，求出出的值后代入的值后代入a即可得到所求的向量即可得到所求的向量.（2 2）如果已知两向量共线，求某

17、些参数的取值时，则利用）如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若若a=(x(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2)（a0）,则则ab的充要条件是的充要条件是x x1 1y y2 2=x=x2 2y y1 1”解题解题比较方便比较方便.【提醒提醒】注意注意0的方向是任意的的方向是任意的,若若a、b为非零向量，当为非零向量，当ab时，时，a,b的夹角为的夹角为0 0或或180180，求解时容易忽视其中一种情形而导致，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错出错.【例例3 3】已知已知a=(1,0),=(1,0),b=(2,1),(1)=(2,1),(1)当当k k

18、为何值时，为何值时，k k a-b与与a+2+2b共线？共线？（2 2）若）若 且且A A、B B、C C三点共线，求三点共线，求m m的值的值.【解题指南解题指南】（1 1）利用向量共线的充要条件列出关于）利用向量共线的充要条件列出关于k k的方程的方程求解即可求解即可.（2 2）可引入参数）可引入参数使使 求求m m，或利用，或利用 的坐标的坐标形式求形式求m.m.【规范解答规范解答】(1)k(1)k a-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

19、kka-b与与a+2+2b共线，共线，2(k-2)-(-1)2(k-2)-(-1)5=0,5=0,即即2k-4+5=0,2k-4+5=0,得得(2)(2)方法一方法一:A:A、B B、C C三点共线，三点共线，即即2 2a+3+3b=(=(a+m+m b),),方法二：方法二：AA、B B、C C三点共线，三点共线，8m-3(2m+1)=0,8m-3(2m+1)=0,即即2m-3=0,2m-3=0,【反思反思感悟感悟】1.1.利用已知列方程求解参数是解该类问题的关利用已知列方程求解参数是解该类问题的关键键.2.2.若若 则则A A、B B、C C三点共线，注意这一结论的应用三点共线，注意这一结

20、论的应用.【易错误区易错误区】忽视向量平行的充要条件致误忽视向量平行的充要条件致误【典例典例】(20112011湖南高考）设向量湖南高考）设向量a,b满足满足|a|=|=b=(2,1),=(2,1),且且a与与b的方向相反，则的方向相反，则a的坐标为的坐标为_._.【解题指南解题指南】设设a=b(0),0),利用利用|a|=|=列出关于列出关于的方程的方程求解即可求解即可.【规范解答规范解答】a与与b方向相反，方向相反，可设可设a=b（00）,a=(2,1)=(2,).=(2,1)=(2,).由由|a|=|=解得解得=-2,=-2,或或=2(=2(舍舍)，故，故a=(-4,-2).=(-4,-

21、2).答案：答案：（-4-4，-2-2）【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示在解答本题时有两点容易出错在解答本题时有两点容易出错:（1 1）误认为）误认为“a与与b的方向相反的方向相反ab”致使设致使设a=b出现出现增解（增解（4 4，2 2）.（2 2）知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致错解或）知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致错解或无法解题无法解题.备备考考建建议议解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下几点易解决平面向量基本定理与坐标

22、表示问题时还有以下几点易错，在备考时要高度关注错，在备考时要高度关注:（1 1）遗漏零向量，零向量与任一向量平行）遗漏零向量，零向量与任一向量平行;（2 2）混淆向量共线与向量垂直的充要条件）混淆向量共线与向量垂直的充要条件.1.(20121.(2012湖州模拟）已知平面向量湖州模拟）已知平面向量a=(x,1),=(x,1),b=(-x,x=(-x,x2 2),),则向量则向量a+a+b平行于平行于()()（A A）x x轴轴 （B B）第一、三象限的角平分线）第一、三象限的角平分线（C C）y y轴轴 （D D）第二、四象限的角平分线）第二、四象限的角平分线【解析解析】选选C.C.a+b=(

23、0,1+x=(0,1+x2 2),),a+b平行于平行于y y轴轴.2.(20122.(2012上海模拟上海模拟)设设e1 1，e2 2是平面内一组基向量，且是平面内一组基向量，且a=e1 1+2+2e2 2,b=-=-e1 1+e2 2,若若e1 1+e2 2=a+b,则则+=()=()【解析解析】选选B.B.不共线，不共线，a,b不共线不共线.3.(20113.(2011上海高考）设上海高考）设A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4是平面上给定的是平面上给定的4 4个不同个不同点，则使点，则使 成立的点成立的点M M的个数为的个数为()()（A A）0 0 （B B）1 1

24、 （C C）2 2 （D D）4 4【解析解析】选选B.B.方法一：取特殊值，令方法一：取特殊值，令A A1 1(0,0),A(0,0),A2 2(0,1),A(0,1),A3 3(1,1),(1,1),A A4 4(1,0),(1,0),则满足则满足 的条件的点有且仅有的条件的点有且仅有1 1个，即为正方形个，即为正方形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4的中心，故选的中心，故选B.B.方法二：设方法二：设M M（x,yx,y）,A,Ai i=(=(x xi i,y,yi i)(i)(i=1,2,3,4),=1,2,3,4),则则 =（x xi i-x,yx,yi i-y-y）.由由得得点点M M只能有一个，故选只能有一个，故选B.B.4.(20114.(2011北京高考）已知向量北京高考）已知向量若若a-2-2b与与c共线，则共线，则k=_.k=_.【解析解析】又又a-2-2b与与c共线，共线，（a-2-2b）c,解得解得k=1.k=1.答案：答案：1 15.(20125.(2012台州模拟）已知台州模拟）已知若若A,B,CA,B,C三点共线，则三点共线，则m=_.m=_.【解析解析】1 1(1-m)-2(2-m)=0,(1-m)-2(2-m)=0,即即1-m-4+2m=0,1-m-4+2m=0,m=3.m=3.答案：答案：3 3