2-习题课复变函数复变解析.ppt

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1、1二、内容提要二、内容提要复数复数复变函数复变函数极限极限连续性连续性代代数数运运算算乘乘幂幂与与方方根根复复数数表表示示法法几何表示法几何表示法 向量表示向量表示法法三角及指数表示法三角及指数表示法复复球球面面复复平平面面扩扩充充曲线曲线与区域与区域判别判别定理定理极限极限的计算的计算2一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1.复数运算和各种表示法复数运算和各种表示法2.复变函数以及映射的概念复变函数以及映射的概念1.复数方程表示曲线以及不等式表示区域复数方程表示曲线以及不等式表示区域2.映射的概念映射的概念3一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1.解析函数的概

2、念；解析函数的概念；2.函数解析性的判别函数解析性的判别1.解析函数的概念；解析函数的概念；2.初等函数中的多值函数及主值的概念初等函数中的多值函数及主值的概念3.解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系4第二章内容第二章内容复复变函数变函数导数导数微分微分解析函数解析函数初等解初等解析函数析函数指指 数数 函函 数数三三 角角 函函 数数对对 数数 函函 数数 幂幂 函函 数数 调和函数调和函数解析函数解析函数的判定方法的判定方法可可导导与与微微分分的的关关系系可可导导与与解解析析的的判判定定定定理理双双 曲曲 函函 数数5 1.1.复数的概念复数的概念61)两复数的和两复数的和2)

3、两复数的积两复数的积 3)两复数的商两复数的商 2.复数的代数运算复数的代数运算74)共轭复数共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数.共轭复数的性质共轭复数的性质8 3.3.复数的其它表示法复数的其它表示法（1 1）几何表示法）几何表示法9（2 2）向量表示法）向量表示法复数的模复数的模(或绝对值或绝对值)10 模的性质模的性质三角不等式三角不等式复数的辐角复数的辐角11辐角的主值辐角的主值12（3）三角表示法）三角表示法利用欧拉公式利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成称为复数称为复数 z 的指数表示式的指数表

4、示式.（4）指数表示法）指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成13 4.复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 1)乘积与商乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.则有则有14 几何意义几何意义复数相乘就是把模相乘复数相乘就是把模相乘,辐角相加辐角相加.从几何上看从几何上看,两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为15 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商;两个两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差

5、复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.则有则有16 2)幂与根幂与根(a)n次幂次幂:17 (b)(b)棣莫佛公式棣莫佛公式18 6.曲线与区域曲线与区域（1 1）邻域）邻域（2 2）内点）内点19 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点,那末那末G 称为称为开集开集.(4)(4)区域区域 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件,则称它则称它为一个区域为一个区域.(a)D是一个是一个开集开集；(b)D是是连通的连通的,即即D中任何两点都可以用完全中任何两点都可以用完全属于属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.(3)(3)开集开集20(5)(5)边界

6、点、边界边界点、边界 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域,如果点如果点P P 不属不属于于D,但在但在P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的点中的点,这样的这样的P P点我们称为点我们称为D的的边界点边界点.(7)(7)有界区域和无界区域有界区域和无界区域D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界.(6)区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域.闭区域闭区域 21 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线(或若尔或若尔当曲线当曲线).).(8)(8)简单曲线简单曲线22(9)(9)光滑曲线光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所

7、组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线.任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成将复平面唯一地分成三个互不相交的点集三个互不相交的点集.简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质23(10)(10)单连通域与多连通域单连通域与多连通域 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B,如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线,而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B,就称为就称为单连通域单连通域.一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域,就称就称为多连通域为多连通域.从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕从几何上看，单连通域就是无洞、无割

8、痕的域的域.24 7.复变函数的概念复变函数的概念(1)(1)复变函数的定义复变函数的定义25(2)(2)映射的定义映射的定义26函数极限的定义函数极限的定义注意注意:8.8.复变函数的极限复变函数的极限27 极限计算的定理极限计算的定理28与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似.极限运算法则极限运算法则29（1 1）连续的定义）连续的定义 9.9.复变函数的连续性复变函数的连续性30 连续的充要条件连续的充要条件连续的性质连续的性质31有理整函数有理整函数(多项式多项式)有理分式函数有理分式函数 特殊的特殊的:在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也

9、是连续的.321 1）导数的定义）导数的定义1.复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分332)2)可导与连续可导与连续 函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但函数但函数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.3)3)求导公式与法则求导公式与法则34354)4)复变函数的微分复变函数的微分36可导与微分的关系可导与微分的关系371)1)定义定义 2.解析函数解析函数382)可导与可导与解析的判定解析的判定39403)3)解析函数的判定方法解析函数的判定方法413.调和函数和共轭调和函数调和函数和共轭调和函数 任何在任何

10、在 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和虚部它的实部和虚部都是都是 D 内的调和函数内的调和函数.42定理定理 区域区域D D内的解析函数的虚部为实部的共轭内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数调和函数.共轭调和函数共轭调和函数43初等函数的定义：初等函数的定义：指数函数指数函数对数函数对数函数幂函数幂函数三角函数三角函数44同同实数范围内不同的地方实数范围内不同的地方1.复数不能比较大小复数不能比较大小45学习复变数初等函数时，主要掌握以下内容：1.导数2.奇偶性3.周期性4.解析性5.有界性6.函数的零点7.相关的公式8.注意比较和一元实变函数的区别46例例1 如果如果f(z)=u(x

11、,y)+i v(x,y)是一解析函数，是一解析函数，且且f (z)0，那么曲线族那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里必互相正交，这里C1、C2常数常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，i)uy、vy 均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy,uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交即：两族曲线互相正交.47ii)uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时

12、，不妨设uy=0，则，则k1=，k2=0（由（由C-R方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的一条是铅直的,它们仍互相正交。它们仍互相正交。481-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10 xyx=c1y=c20K1不存在K2=049例例1 指出不等式指出不等式中点中点z的轨迹所在范围。的轨迹所在范围。解：解：因为因为所以所以于是于是有有三、典型例题三、典型例题50它表示在圆它表示在圆外且属于左半平面的外且属于左半平面的xy-1无界，单连通，区域无界，单连通

13、，区域所有点的集合所有点的集合.51解解52例例3 解方程解方程解解53解解例例4 4 试求试求 函数值及其主值函数值及其主值:令令 得主值得主值:54例例5 5 函数函数 在何处在何处可导，何处解析可导，何处解析.解解故故 仅在直线仅在直线 上可导上可导.故故 在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析.55例例6 6 设设 为解析函数，求为解析函数，求 的值的值.解解 设设故故由于由于 解析，所以解析，所以即即故故56例例7 解解两边同时求导数两边同时求导数所以上面两式分别相加减可得所以上面两式分别相加减可得5758 设设 为为 平面上任意一定点平面上任意一定点,当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有解解例例8 8 研究研究 的可导性的可导性.59当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有例例8 8 研究研究 的可导性的可导性.60证证例例9 96162例例1010 讨论函数讨论函数 在原点的可导性在原点的可导性.故故 在原点不可导在原点不可导.解解当当 沿正虚轴沿正虚轴 趋于趋于0时，有时，有63