24-连续型随机变量及其概率密度定义：如果对于随机变量X的分布函数.ppt

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1、2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数为为 X 的的分布函数分布函数.定义：定义：设设 X 为随机变量，为随机变量，x 是任意实数是任意实数,称函数称函数分布函数的性质分布函数的性质F(x)单调不减，即单调不减，即F(x)右连续，即右连续，即例例1 设随机变量设随机变量X的分布律如下，求的分布律如下，求X的分布函数的分布函数X-123pk1/41/21/4例例2 已知离散型随机变量已知离散型随机变量X的分布函数为：的分布函数为：求求X的概率分布。的概率分布。X123pk1/21/102/52.4 连续连续型随机型随机变变量及其概率密度量及其概率密度定义：定义：如果对于随机变量如果对于随机

2、变量X的分布函数的分布函数F(x),存存在非负函数在非负函数f(x),使对于任意实数使对于任意实数x有有则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量,其中函数其中函数f(x)称为称为X的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度.在在 f(x)的连续点处，的连续点处，对于任意实数对于任意实数a,PX=a=0.与物理学中的质量线密度的定义相类似例例1 设随机变量设随机变量X具有概率密度为具有概率密度为(1)求常数求常数k.(2)求求X的分布函数的分布函数.(3)求求P(1X3.5)(1)由由 得得O341/2f(t)(2)X(2)X的分布函数为的分布函数为(3)P(1X3.5)P(1X3

3、.5)=F(3.5)-F(1)=F(3.5)-F(1)例例2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘米的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量X的分布函数的分布函数.若若0 x 2，P0 X x=kx2解：解：若若x0，因因X 0是不可能事件是不可能事件F(x)=PX x=0取取x=2,有有P0 X 2=22k.因为因为P0 X 2=1,故得故得k=1/4,即即P0 X x=x2/4若若x 2，因，因X

4、x是必然事件，是必然事件，F(x)=PX x=1.定义：定义：X X具有概率密度具有概率密度称称X X在区间在区间(a a,b b)上服从上服从均匀分布均匀分布，记为，记为X XU(U(a a,b b)例例3 设电阻值设电阻值R是一个随机变量是一个随机变量,均匀分布在均匀分布在900 1100.求求R落在落在950 1050 的概率的概率.定义：若定义：若 X 的概率密度为的概率密度为则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布，记，记作作XE()X 的分布函数为的分布函数为xf(x)01F(x)0 x用指数分布描述的实例有：用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间随机服务

5、系统中的服务时间电话问题中的通话时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命无线电元件的寿命动物的寿命动物的寿命对于任意的对于任意的 0 a 0)为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为m m,s s的的正态正态分布分布或或高斯高斯(Gauss)分布分布,记为记为XN(m m,s s2).为位置参数为位置参数(决定对称轴位置决定对称轴位置)为尺度参数为尺度参数(决定曲线分散性决定曲线分散性)可用正态变量描述的实例：可用正态变量描述的实例：各种测量的误差；各种测量的误差；人体的生理特征；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度

6、；金属线抗拉强度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；学生的考试成绩；X N(0，1)分布称为标准正态分布标准正态分布 n密度函数密度函数n分布函数分布函数标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算n公式n查表n例X N(0，1)一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算n定理定理n概率计算概率计算3s s法则法则例例5 设XN(1，4)，求 P(0X 3故至少要进行故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求次独立测量才能满足要求例例8 8 某单位招聘某单位招聘155155人，按考试成绩录用，共人，按考试成绩录用，共有有526526人报名。假设报名者的考试成绩人报名。假设报名者的考试成绩X X服从正服从正态分布，态分布，已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若从高分到低分依次人，若从高分到低分依次录录取，某人成取，某人成绩为绩为78分，分，问问此人能否被此人能否被录录取？取？解解设录取的最低分为设录取的最低分为 则应有则应有 某人某人78分，可被录取。分，可被录取。